AR-mallin (1) esitys on seuraava:
$ Y_t = c + ϕY_ {t-1} + ε_t $
missä $ c = (1 -ϕ) μ $ ( $ c $ on vakio).
Haluan ymmärtää siellä olevat laskelmat ovat AR: n (1) autokovarianttia koskevan yleisen kaavan takana, joka on $ γ (h) = \ operaattorin nimi {Var} (Y_t) ⋅ϕ ^ {| h |} $
Tein toistaiseksi seuraavat vaiheet – aloitin $ γ (1) $ :
$ \ operaattorin nimi {Cov} (Y_t, Y_ {t-1}) = γ (1) = $
$ = \ operaattorin nimi {Cov} (ϕY_ {t-1} + ε_t, ϕY_ {t-2} + ε_t) = $
$ = \ operaattorin nimi {Cov} (ϕY_ {t-1}, ϕY_ {t-2}) + \ operaattorin nimi {Cov} (ϕY_ {t-1}, ε_t) + \ operaattorin nimi {Cov} ( ε_t, ϕY_ {t-2}) + \ operaattorin nimi {Cov} (ε_t , ε_t) $
$ γ (1) = ϕ ^ 2γ (1) + ??? + ??? + σ ^ 2 $
Kuten näette, tästä eteenpäin en voi jatkaa, koska en tiedä mitkä ovat arvot $ \ operaattorin nimi {Cov} (ϕY_ {t-1}, ε_t) $ ja $ \ operaattorin nimi {Cov} ( ε_t, ϕY_ {t-2}) $
Kaikki apu ovat erittäin arvostettuja. Kiitos etukäteen.
Vastaa
Anna ”s kirjoittaa $ \ gamma ( 1) $ : $$ \ begin {align} \ gamma (1) & = cov (Y_t, Y_ {t -1}) = cov (c + \ phi Y_ {t-1} + \ epsilon_t, Y_ {t-1}) \\ & = cov (c, Y_ {t- 1}) + \ phi cov (Y_ {t-1}, Y_ {t-1}) + cov (\ epsilon_t, Y_ {t-1}) \\ & = \ phi \ gamma (0) \ end {tasaus} $$
koska $ cov (c, Y_ {t-1}) = cov (\ epsilon_t, Y_ {t-1}) = 0 $ , (ts. aiempi tulos on riippumaton tulevasta syötteestä).
Vastaavasti $ \ gamma (2) = cov (Y_t, Y_ {t-2}) = cov (\ phi Y_ {t-1} + c + \ epsilon_t, Y_ {t-2}) = \ phi \ gamma (1) = \ phi ^ 2 \ gamma (0) $ .
Jos jatkamme tällä tavalla, saat $ cov (Y_t, Y_ {th}) = \ phi \ gamma (h-1) = … \ phi ^ h \ gamma (0) $ , missä $ h \ geq0 $ . Yleistäminen negatiiviselle $ h $ tuottaa $ \ gamma (h) = \ phi ^ {| h |} \ gamma (0) $ , missä $ \ gamma (0 ) = var (Y_t) $ .
PS kaikki tämä analyysi olettaa, että $ \ epsilon_t $ on WSS, joten $ y_t $ LTI-suodatusominaisuudesta.
Kommentit
- ensimmäisellä rivillä on kirjoitusvirhe .. henkilöllisyysmerkki on väärin.
- Ensimmäisellä rivillä haluaisin korvaa kolmas ” + ” -merkki ” = ” merkki: $ cov (c + \ phi Y_ {t-1} + \ epsilon_t, Y_ {t-1}) = cov (c, Y_ {t-1}) + \ phi cov (Y_ { t-1}, Y_ {t-1}) + cov (\ epsilon_t, Y_ {t-1}) $
- Yritin muokata @Jesperin osoittamaa kirjoitusvirhettä muuntamalla kyseisen + -merkkiin ja teki siitä vääremmän :). Näen, että syy johtuu renderoinnista. Vaikka tex-lauseiden järjestys on oikea, ne näytettiin eri järjestyksessä. Joka tapauksessa olen ’ käyttänyt tasauslausekkeita ja tehnyt siitä paljon selvemmän. Toivottavasti se ’ on ok.
- Onko ehdollisen automaattisen kovarianssin lauseke sama? Eli $ Cov [Y_ {t_0 + n + h}, Y_ {t_0 + n} | F_ {t_0}] = \ phi ^ h Var [Y_ {t_0 + n} | F_ {t_0}] = \ phi ^ h \ sigma ^ 2 \ frac {1- \ phi ^ {2n}} {1- \ phi ^ 2} $ pidät?
vastaus
Alkaen antamastasi sisällöstä:
$ y_ {t} = c + \ phi y_ {t-1} + \ epsilon_ {t} \ tag {1} $
Missä $ c = (1 – \ phi) \ mu $
Voimme kirjoittaa uudestaan $ (1) $ as:
\ begin {array} \ y_ {t} & = & c + \ phi y_ {t-1} + \ epsilon_ {t} \\ & = & (1 – \ phi) \ mu + \ phi y_ {t-1} + \ epsilon_ {t} \\ & = & \ mu – \ phi \ mu + \ phi y_ {t-1} + \ epsilon_ {t} \\ \ end {array}
Sitten
$ y_ {t} – \ mu = \ phi (y_ {t-1} – \ mu) + \ epsilon_ {t} \ tag {2} $
Jos annamme $ \ tilde {y_ {t}} = y_ {t} – \ mu $ , niin yhtälö $ (2) $ voidaan kirjoittaa seuraavasti:
$ \ tilde {y} _ {t} = \ phi \ tilde {y} _ {t-1} + \ epsilon_ {t} \ tag {3} $
Varianssi
$ (3) $ saadaan neliöimällä lauseke ja ottamalla odotukset, joka päättyy:
\ begin { taulukko} \ \ tilde {y} _ {t} ^ 2 & = & (\ phi \ tilde {y} _ {t -1} + \ epsilon_ {t}) ^ 2 \\ & = & (\ phi \ tilde {y} _ {t -1}) ^ 2 + 2 \ phi \ tilde {y} _ {t-1} \ epsilon_ {t} + (\ epsilon_ {t}) ^ 2 \\ & = & \ phi ^ {2} \ tilde {y} _ {t-1} ^ {2} + 2 \ phi \ tilde {y} _ {t-1} \ epsilon_ {t} + \ epsilon_ {t} ^ 2 \ end {array}
Vastaa nyt odotusta:
$ E (\ tilde {y} _ {t} ^ 2) = \ phi ^ {2} E (\ tilde {y} _ {t-1} ^ {2}) + 2 \ phi E (\ tilde {y } _ {t-1} \ epsilon_ {t}) + E (\ epsilon_ {t} ^ 2) $
Hänen e kutsumme:
- $ \ sigma_ {y} ^ {2} $ on paikallaan olevan prosessin varianssi.
- Yhtälön oikean reunan toinen termi on nolla, koska $ \ tilde {y} _ {t-1} $ ja $ \ epsilon_ {t} $ ovat riippumattomia, ja molempien odotukset ovat tyhjät.
- Oikealla oleva viimeinen termi on innovaation varianssi, jota merkitään nimellä $ \ sigma ^ {2} $ (huomaa, että tämän alaindeksi).
Lopuksi
$ \ sigma_ {y} ^ {2} = \ phi ^ {2} \ sigma_ { y} ^ {2} + \ sigma ^ {2} $
Jos ratkaisemme prosessin varianssin, nimittäin $ \ sigma_ { y} ^ {2} $ , meillä on:
$ \ sigma_ {y} ^ {2} = \ frac {\ sigma ^ 2 } {1 – \ phi ^ 2} \ tag {4} $
Autokovariaatio
Käytämme samaa temppua, jota käytämme kaavalle $ (3) $ . $ h $ -jaksoilla erotettujen havaintojen välinen autokovariaatio on silloin:
\ begin {array} \ \ gamma_ {h} & = & E [(y_ {t – h} – \ mu) (y_ {t} – \ mu)] \\ & = & E [(\ tilde {y} _ {t – h}) (\ tilde {y } _ {t})] \\ & = & E [\ tilde {y} _ {t – h} (\ phi \ tilde {y} _ {t – 1} + \ epsilon_ {t}) \\ \ end {array}
Innovaatiot eivät ole korreloineet sarjan aiempien arvojen kanssa span class = ”math-container”> $ E [\ tilde {y} _ {th} \ epsilon_ {t}] = 0 $ ja meille jää jäljelle:
$ \ gamma_ {h} = \ phi \ gamma_ {h-1} \ tag {5} $
$ h = 1, 2, \ ldots $ ja $ \ gamma_ {0} = \ sigma_ {y} ^ 2 $
$ AR (1) $ span -tapauksessa >, yhtälöstä $ (5) $ tulee:
$ \ gamma_ {1} = \ phi \ gamma_ {0} $
Ja käyttämällä yhtälön $ (4) $ tulosta: $ \ gamma_ {0} = \ sigma_ {y} ^ {2} = \ frac {\ sigma ^ 2} {1 – \ phi ^ 2} $ päädymme
$ \ gamma_ {1} = \ frac {\ sigma ^ 2} {1 – \ phi ^ 2} \ phi $
Alkuperäinen lähde: Andrés M.Alonso & Carolina García-Martos dioja. Saatavilla täältä: http://www.est.uc3m.es/amalonso/esp/TSAtema4petten.pdf