Satunnaisen prosessin näyte annetaan seuraavasti:
$$ x (t) = A \ cos (2 \ pi f_0t) + Bw (t) $$
missä $ w (t) $ on valkoisen kohinan prosessi, jonka keskiarvo on $ 0 $ ja tehospektritiheys $ \ frac {N_0} {2 } $ ja $ f_0 $, $ A $ ja $ B $ ovat vakioita. Etsi automaattinen korrelaatiofunktio.
Tässä yritän ratkaisua:
Olkoon $ a = 2 \ pi f_0t $ ja $ b = 2 \ pi f_0 (t + \ tau) $
\ begin {tasaa} \ text {Autokorrelaatio} x (t) & = E \ vasen \ {x (t) x ( t + \ tau) \ oikea \} \\ & = E \ vasen \ {\ vasen (A \ cos (a) + Bw (t) \ oikea) \ vasen (A \ cos (b) + Bw (t + \ tau) \ oikea) \ oikea \} \\ & = E \ {A ^ 2 \ cos (a) \ cos (b) + AB \ cos (a) w (t + \ tau) + AB \ cos (b) (wt) \\ & \ quad + B ^ 2w (t) w (t + \) tau) \} \\ & = E \ vasen \ {A ^ 2 \ cos (a) \ cos (b) \ oikea \} + E \ vasen \ {AB \ cos (a) w (t + \ tau) \ oikea \} + E \ vasen \ {AB \ cos (b) (wt) \ oikea \} \\ & \ quad + E \ vasen \ {B ^ 2w (t) w (t + \ tau) \ oikea \} \\ & = E \ vasen \ {A ^ 2 \ cos (a) \ cos (b) \ oikea \} + E \ vasen \ {B ^ 2w (t) w (t + \ tau) \ oikea \} \\ & = E \ vasen \ {A ^ 2 \ cos (a) \ cos (b) \ oikea \} + B ^ 2 \ vasen (R_w (\ tau) \ oikea) \\ & = E \ vasen \ {A ^ 2 \ cos (a) \ cos (b) \ oikea \} + B ^ 2 \ vasen (\ frac {N_0} {2} \ oikea) ( \ delta (\ tau)) \\ \ end {tasaus}
Odotustermit melun kanssa ovat kaikki 0 dollaria (viimeinen on vain valkoisen kohinan automaattinen korrelaatio … siten yksinkertaistaminen edellä. Trigonometristen identiteettien käyttö: $$ \ cos (a) \ cos (b) = \ frac 12 \ vasen [\ cos (a + b) + \ cos (a – b) \ oikea] $$
meillä on:
\ begin {align} \ text {Autokorrelaatio} x (t) & = E \ vasen \ {A ^ 2 \ cos (a ) \ cos (b) \ oikea \} + B ^ 2 \ vasen (\ frac {N_0} {2} \ oikea) (\ delta (\ tau)) \\ & = E \ vasen \ {\ vasen (A ^ 2 \ oikea) \ frac 12 \ vasen [\ cos (a + b) + \ cos (ab) \ oikea] \ oikea \} + B ^ 2 \ vasen (\ frac {N_0} {2} \ oikea) (\ delta (\ tau)) \\ & = \ vasen (\ frac {A ^ 2} {2} \ oikea) \ vasen [E \ {\ cos (a + b) \} + E \ {\ cos (ab) \} \ oikea] + B ^ 2 \ vasen (\ frac {N_0} {2} \ oikea) (\ delta (\ tau)) \\ \ end {align}
Käsittelemme vakioehtoja, joten odotusaika menee pois ja alistuu alkuperäisissä olosuhteissamme: $$ \ frac {A ^ 2} 2 \ vasen [\ cos (2 \ pi f_o (2t + \ tau) + \ cos (2 \ pi f_o \ tau) \ oikea] + B ^ 2 \ vasen (\ frac {N_0} {2} \ oikea) (\ delta (\ tau)) $$
Jostain syystä en voi auttaa, mutta mielestäni tein jotain väärin laskemalla kyseisen autokorrelaation … sen oletetaan olevan $ \ tau $: n funktio, mutta on a $ t $ on siellä … Arvostan sitä suuresti, jos joku osaa osoittaa minua oikeaan suuntaan tai selittää, mitä minä sekaisin. En tiedä onko sillä merkitystä, mutta tässä luokassa käsittelemme vain laaja-alaista paikallaan pysyvää prosessia.
Kommentit
- Ellet varmista, että satunnainen prosessi $ x (t) $ on WSS, sinun ei pitäisi odottaa sen ACF: n olevan pelkästään $ \ tau $: n funktio. Siksi näyttää siltä, että tässä on oikein sisällyttää aikaehdot $ t $. Mutta luulen, että $ x (t) $: n sisällä oleva kosini-termi saattaa sisältää joko satunnaisen amplitudin tai satunnaisen vaiheen, jonka unohdat kirjoittaa, niin sinulla voi olla mahdollisuus päästä eroon aikaelementistä $ t $, jos haluat niin paljon joten …
- Prosessi $ \ {A \ cos (2 \ pi f_0t) \} $ on syklostaattinen prosessi (täyttää niiden aikasiirtymien stationaarisuusvaatimukset, jotka ovat $ (2 \ pi f_0) ^ {- 1} $) kerrannaisia eivätkä lainkaan WSS-prosessia. Huomaa esimerkiksi, että edes keskifunktio $ E [x (t)] $ ei ole vakio, kuten sen pitäisi olla WSS-prosessille. Kuten @ Fat32 sanoo (+1), olet ehkä unohtanut sisällyttää satunnaisvaiheen $ \ Theta $ $ x (t) $ -määritykseesi (WS-stationaarisuudelle tarvittava ominaisuus on, että $ E [\ cos (2 \ Theta) ] = E [\ sin (2 \ Theta)] = 0 $, joka pätee malliin $ \ Theta \ sim U (0,2 \ pi) $ tai $ P \ {\ Theta = n \ pi / 2 \} = \ frac 14 $ hintaan $ n = 0,1,2,3 $).
Vastaa
Luulen, että sinä ”Olemme tehneet melkein kaiken oikein, mutta sinulla on ongelma laskettaessa $ t $: n odotusarvoa. Sinun pitäisi laskea kosini-funktion odotusarvo. Valitettavasti se ei yksinkertaisesti” mene pois ”kuten kirjoitit.
Tutustu Wikipedia-sivulle . Sieltä löydät toisen tarkemman kaavan funktion $ f automaattisen korrelaation funktiolle. (t) $:
$ R _ {\ textrm {ff}} (\ tau) = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ \ infty f (t + \ tau) \ bar {f} ( t) \, \ textrm {d} t $.
(Huomaa, että verrattuna Wikipedia-sivuun, minulla on ollut vapaus käyttää muuttujaa $ t $ integraatiossa $ u $: n sijaan, whi ch olisi matemaattisesti tarkempi versio.)
Kuten tästä yhtälöstä näet, ”integroit” riippuvuuden t: stä, ja todellakin sinun pitäisi jättää funktio, joka on riippumaton $ t: stä. $.
Huomaa, että on myös versio, joka ei mene äärettömiin aikoihin, mutta on rajoitettu ajanjaksolle $ T $. Ehkä tämä versio on sopivampi tapauksessasi.Sama pätee tälle versiolle: $ t $ on integroitu erillään eikä sen pitäisi olla muuttuja tuloksena olevassa kaavassa.
Kommentit
- Sinä sekoittavat kahta eri käsitettä kirjoittaessasi ” Kuten tästä yhtälöstä näet, ” integroituvat pois ” riippuvuus $ t $: sta, ja todellakin sinun pitäisi jättää funktio, joka on riippumaton $ t $ ”
- Voit ota myös kaava Wikipedia-sivulta ilman $ t $ ja kirjoita $ R_ \ textrm {ff} (\ tau) = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ \ infty f (u + \ tau) \ bar {f} ( u) \, \ textrm {d} u $. Tärkeää tässä on, että molemmissa tapauksissa funktion $ f $ argumentti on t ja integroitu yli – joten lopputuloksessa ei ole enää $ t $, vaan vain $ \ tau $.
- @Dilip Saatat katsoa myös tätä ocw.mit.edu/courses/mechanical-engineering/… – tämä on pohjimmiltaan ensimmäinen tulos yksinkertaisen Google-haun jälkeen. Siellä, sivulla 22-2 (PDF-tiedoston sivu 3) on esimerkki autokorrelaatiofunktiosta, joka laskettiin tällä kaavalla ja on riippumaton $ t $: sta. Voit myös löytää matemaattisesti epätavallisen integraalimerkinnät edelliseltä sivulta.
- Kaukana olkoon minun epäillä kaavan pätevyyttä, jonka väität löytyvän Wikipediasta tai sitä opetetaan MIT-verkkokurssilla, mutta minusta tuntuu, että kohdassa \ begin {align} 2 \ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ cos (2 \ pi f_0t) \ cos (2 \ pi f_0 (t + \ tau)) dt & = \ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ cos (2 \ pi f_0 (2t + \ tau)) + \ cos (2 \ pi f_0 \ tau ) dt \\ & = \ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ cos (2 \ pi f_0 (2t + \ tau)) dt + \ int _ {- \ infty} \ infty \ cos (2 \ pi f_0 \ tau) dt \ end {tasaa} toinen integraali tälle toiselle riville (jonka integandi on vakio wrt $ t $) eroaa, ellei $ \ tau $ sattuisi olemaan sellainen, että $ \ cos (2 \ pi f_0 \ tau) = 0 $.
- @Dilip Olet oikeassa, tämä integraali eroaa toisistaan. Edes ensimmäinen integraali ei ole merkityksellinen, koska se ei lähene toisiaan. Tästä syystä vastauksessani on viimeinen kappale.