Etsin BEKK-monimuuttujan GARCH-mallia.
Tavallisessa GARCH-mallissa odotamme yleensä,
$$ h_t = \ omega + \ alpha u_ {t-1} ^ 2 + \ beta \ sigma_ {t-1} ^ 2 $$
Alfa ( $ \ alpha $ ) kerroin on huomattavasti pienempi kuin beeta ( $ \ beta $ ), katso esimerkiksi Verbeeks ”GARCH-opas modernille ekonometrialle”, jossa on noin 0,1 alfa ja 0,8 beeta.
Olen nyt siirtymässä monimuuttujaan, BEKK: iin (1 ),
$$ \ left [\ begin {matrix} h_ {11, t} & h_ {12 , t} \\ h_ {21, t} & h_ {22, t} \\\ end {matriisi} \ oikea] = \ vasen [\ begin {matrix} k_ { 11} & k_ {12} \\ k_ {21} & k_ {22} \\\ end {matrix} \ right] + \ vasen [\ begin {matrix} a_ {11} & a_ {12} \\ a_ {21} & a_ {22 } \\\ end {ma trix} \ right] \ left [\ begin {matrix} e_ {1, t-1} \\ e_ {2, t-1} \\\ end {matrix} \ right] \ left [\ begin {matrix} e_ {1, t-1} \\ e_ {2, t-1} \\\ end {matrix} \ right] ^ \ prime \ left [\ begin {matrix} a_ {11} & a_ {12} \\ a_ {21} & a_ {22} \\\ end {matrix} \ right] ^ \ prime $$
ts MV-ARCH (1),
Tietääkö kukaan sopivia parametreja $ A_ {ij} $ -matriisiin viitaten? Ja myös BEKK (1,1) GARCH-termillä
$$ H_t = C ^ \ ast {C ^ \ ast} ^ \ prime + A_ {11} \ varepsilon_ {t-1} \ varepsilon_ {t-1} ^ \ prime A_ {11} ^ \ prime + B_ {11} H_ {t-1} B_ {11} ^ \ prime $$
Tarvitsen sopivia parametriarvoja (kuten odotamme) A: lle ja B: lle . Ymmärrän, että tämä muuttuu huomattavasti tietojoukkojen jne. Välillä. Mutta yleensä mitä arvoja voimme odottaa?
Vastaa
Valitettavasti on ei suoria tarkastuksia $ a_ {ij} $ ”s: ssä ja $ b_ {ij} $ ” s-kertoimet BEKK-tapauksessa, kuten $ \ alpha + \ beta < 1 $ , takaavat GARCHin paikallaan pysymisen ja heikon aikariippuvuuden (1,1) tapaus. BEKK-tapauksessa olosuhteet ovat hieman mutkikkaampia.
Prosessi on paikallaan ja heikosti ajasta riippuvainen (siinä mielessä, että se on geometrisesti ergodinen Harris-toistuva Markov-ketju), jos kaikki $ k ^: n ominaisarvot 2 \ kertaa k ^ 2 $ matriisi $ A_ {11} \ otimes A_ {11} + B_ {11} \ otimes B_ {11} $ ovat alle 1 ja $ C ^ {\ ast} C ^ {\ ast \ prime} $ on positiivinen selvä, mutta näin on aina $ C ^ {\ ast} C ^ {\ ast \ prime} $ , koska se on rakenteeltaan positiivinen. $ \ otimes $ tarkoittaa Kronecker-tuotetta .
Lause 2 sisään Comte ja Lieberman (2003) sanovat, että tämä ehto varmistaa, että suurin todennäköisyyden estimaattori on johdonmukainen, ja jos oletamme edelleen, että prosessilla on äärellinen kuudennen asteen momentti, on $ E \ vasen \ | X ^ 6 \ oikea \ | < \ infty $ , sitten lauseessa Hafner ja Preminger (2009) oleva lause 3 määrittää asymptoottisen normaalin MLE.
Tietojeni mukaan kirjallisuudessa ei esitetä suoria parametrirajoituksia, mikä takaa BEKK-prosessin rajalliset kuudennen kertaluvun momentit. Pedersen ja Rahbek (2014) liitteen lause C.1 tarjoavat riittävät olosuhteet Gaussin BEKK-prosessin ARCH-versiolle ( $ B_ {11} = 0 $ ), jos sinulla on $ E \ vasen \ | X ^ 6 \ oikea \ | < \ infty $ . Tämän edellytyksen mukaan kaikkien $ A_ {11} ⊗ A_ {11} $ -ominaisarvojen tulisi olla pienempiä kuin $ 15 ^ {- 1/3} \ noin 0,4055 $ .
- F. Comte ja O. Lieberman. Asymptoottinen teoria monivaiheisille GARCH-prosesseille. Journal of Multivariate Analysis, 84 (1): 61-84, 2003.
- C. M. Hafner ja A. Preminger. Asymptoottisesta teoriasta monivaiheisille GARCH-malleille. Journal of Multivariate Analysis, 100 (9): 2044 – 2054, 2009.
- R. S. Pedersen ja A. Rahbek. Monimuuttujavarianssi kohdistaminen bekk -garch-mallissa. The Econometrics Journal, 17 (1): 24–55, 2014.
kommentit
- Etkö ole varma, päteekö se tässä tutkittuun BEKK-muotoon, mutta McAleer " Mitä he eivät kertoneet sinulle BEKK-dynaamisen ehdollisen algebralaisesta (ei-olemassaolosta), matemaattisesta (ir-) säännöllisyydestä ja (ei-asymptoottisista) ominaisuuksista kovarianssimalli " (2019) osoittaa, että BEKKia ei ehkä edes ole olemassa, paitsi rajoitetuissa olosuhteissa, vetämällä matto alle 4500+ paperista, joissa viitataan BEKK: iin.
- @Duffau loistava vastaus, mutta onko sinulla ideoita siitä, mitä A: n ja B: n välisen kuilun pitäisi olla?
- Kiitos @FrancisOrigi! Muista siis, että A ja B ovat matriiseja, joten " aukosta " ei ole selkeää käsitystä. Dynaamisissa järjestelmissä, joissa prosessi on määritelty matriiseilla, usein jonkinlainen ominaisarvo määrää järjestelmän vakauden. Kuten BEKK: n kohdalla, vakautta (stationaarisuutta ja heikkoa riippuvuutta) säätelevät edellä kuvattujen transformoitujen matriisien ominaisarvot. Jos haluat oppia lisää, tarkastelen lineaarisia vektori-autoregressioita, ne ovat yksinkertaisin tyyppi, jossa on monivaihtedynamiikka. Ne vastaavat AR-malleja yksimuuttujamaailmassa.