Besselin suodattimen siirtofunktio määritetään besselipolynomien kautta. Jos tarkastellaan esimerkiksi toisen asteen suodatinta, siirtofunktio on: $$ H (s) = \ frac {3} {s ^ 2 + 3 * s + 3} $$ Halusin rakentaa simulaation tällaista suodatinta varten Sallen-Key-arkkitehtuurilla. Siksi tutustuin tähän TI-suunnitteluoppaaseen. He määrittelevät 2. asteen alipäästöjen siirtofunktion seuraavasti:
Ao on 1, koska haluan voiton olevan yhtenäisyyttä. Katsoin alla olevaa taulukkoa laskeaksesi C- ja R-arvot oikein.
Siksi siirtofunktio on: $$ H (s) = \ frac {1} {0.618 * s ^ 2 + 1.3617 * s + 1} $$
Suoritin simulaation ja katsoin bode-juovaa. Se osoitti halutun tuloksen (-3db: n rajataajuus oli laskettu).
En kuitenkaan ymmärrä miksi siirtofunktio näyttää niin erilaiselta. Se ei todellakaan ole Besselin polynomi. Tarkistin vaihevasteen ja havaitsin 0,4 prosentin ylityksen, kuten Bessel-suodattimelle voidaan odottaa. Siksi minulla on 3 kysymystä:
- Miksi ti-suunnitteluoppaan siirtofunktio ei ole besselin polynomi.
- Pitäisikö toisen asteen Bessel-suodattimen napa-sijainti olla sama kaikilla suodattimilla, joilla on tietty rajataajuus?
- Voiko toisen asteen besselin alipäästöllä olla erilainen Q-kerroin kuin 0,5773?
Kiitos!
Kommentit
- Viimeisen yhtälön H (s) nimittäjän vakion on oltava " 1 " " 3 " sijaan. Viimeinen kysymys: EI! Vain Q-tekijä määrää Besselin vastauksen.
- olet oikeassa, se oli kirjoitusvirhe. Ei vielä ole mitään tekemistä besselin polynomin kanssa.
- Miksi ei? Se on tyypillinen suodatintoiminto, jonka taajuusvaste on " Thomson-Bessel ". Mikä sinun ongelmasi on? Suodatintoiminto ei tietenkään ole identtinen matemaattisen Besselin polynomin " " kanssa.
- En ' ei ymmärrä, miksi sinulla on tämä matemaattinen määritelmä toisella puolella ja siirtofunktio, joka on täysin erilainen toisella puolella. Mistä nämä kertoimet tulevat?
- Ns. Bessel-suodattimien kertoimet lasketaan vaadittaessa, että päästökaistalla on mahdollisimman tasainen ryhmäviive (verrataan Butterworth-suodattimien maksimaalisesti tasaiseen amplitudiin) . Voidaan osoittaa, että kertoimien laskennassa käytämme tunnettuja Besselin polynominaaleja (tämä on melko mukana oleva menettely) – mutta tämä ei tarkoita, että siirtofunktion suuruudella olisi vastetta, joka näyttää Besselin funktiolta. Kuten mainittiin, se on matemaattinen menetelmä kertoimien löytämisen takana. OK?
Vastaa
Miksi siirto ti-suunnitteluoppaan funktio ei ole besselin polynomi.
Tarkastellaan kirjoitettua siirtofunktiota: –
\ $ H (s) = \ dfrac {1} {0.618s ^ 2 + 1.3617s + 1} \ $
Uudelleenjärjestäminen: –
\ $ H (s) = \ dfrac {1.6181} {s ^ 2 + 2.2034s + 1.6181} \ $
Yhtälö on nyt vakiomuodossa: \ $ H (s) = \ dfrac {\ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ zeta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} \ $
Ja selvästi \ $ \ omega_n \ $ = \ $ \ sqrt {1.6181} \ $, siis 2,2034 / \ $ \ sqrt {1.6181} \ $ = 1.732. Tämä bitti on tärkeä, koska se on \ $ \ sqrt3 \ $.
Besselin 2. asteen alipäästösuodattimelle 2 \ $ \ zeta \ $ = \ $ \ sqrt3 \ $, joten zeta on 0,866.
Kuvassa olen manipuloinut R: tä antamaan minulle vaimennussuhteen (zeta) tarkalleen 1,732 – katso huipun huippu askelvaste – 1,00433 volttia – täsmälleen oikea Besselille. Katsokaa ylempään käyrään piirrettyä vaiheviivettä – maksimaalisesti tasainen ja asteittain 90 astetta luonnollisella resonanssitaajuudella. Fd (vaimennettu taajuus) on tarkalleen 0,5 – viittaa myös Besseliin.
Voiko toisen asteen besselin alipäästöllä olla erilainen Q-kerroin kuin 0,5773?
0,5773 on \ $ \ sqrt3 \ $: n vastavuoroisuus, ei, sillä ei tule olla Q: ta Bessel LPF: lle.
Kommentit
- Syy polynomiin on erilainen taajuuden skaalaus. Skaalaamattomalla Besselillä (OP ': n ensimmäinen kaava) on \ $ \ omega_0 = \ sqrt {3} \ $, vaimennus ~ -1.597dB @ 1Hz – ei mitään epätavallista, Bessel on yleensä tasaisen ryhmän viive, ei taajuus – joten TI skaalasi sen siten, että se ' s klassisen -3dB.
- @aconcernedcitizen miksi et tekisi tästä vastausta sen sijaan, että kiinnittäisit sen vastaukseeni, ellet tietenkään ole liian hienovarainen, kun huomautat vastauksessani virhettä, jonka olen liian typerä tunnistamaan?
- Olin kirjoittanut tämän kommenttina, jotta vastauksen, johon kommentoin, voidaan tarvittaessa päivittää. Mutta jos sanot sen olevan vastaus, niin olkoon. En tiedä ' en tiedä mistä " tyhmä " tuli.
Vastaus
Bessel-suodattimella on, kuten oikein näytät ensimmäisessä kaavassa, \ $ \ omega_0 = \ sqrt { 3} \ $. Ei ole epätavallista, jos luulet, että normaalisti Bessel-suodatinta käytetään sen tasaisen ryhmän viiveen taajuuskäyttäytymisen sijaan (kuten @LvW sanoo kommentissaan). Mutta suodattimen käyttöönotto tällä siirtofunktiolla antaa ~ 1.597dB@1Hz vaimennus, joka ei tee vastauksesta klassista. Joten TI käytti taajuuden skaalausta siten, että vaimennus on -3dB @ 1Hz. Kun näin tapahtuu, neliötaajuus (syke) on \ $ \ phi \ $ = 1.618 …, minkä jälkeen he järjestivät termit uudelleen opamp-topologiansa mukaisiksi.