Voit liittää pallopinnan pinnalla olevia pisteitä puhtaisiin spin-tiloihin seuraavalla yksinkertaisella tavalla.

Pallon $ (n_x, n_y, n_z) $ piste liittyy operaattorin $ n_x \ sigma_x + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z $ ominaisvektoriin, jolla on positiivinen ominaisarvo, ja päinvastoin. Tämä sisältää kaikki spin 1/2 yhden hiukkasen spin tilat. Jos sinulla on Stern-Gerlach-laite, jonka magneettikentän epähomogeenisuus osoittaa suuntaan $ (n_x, n_y, n_z) $, se taipuu jatkuvasti säteen tietyssä suunnassa, kun sillä on tila, joka on ominaisuus $ n_x \ sigma_x + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z. $

Mutta eikö tämä ole kovin hämmentävää? Jos valitaan pohjois- ja etelänavat, molemmat tilat ovat samalla rivillä eikä enää ortogonaalinen,

Se ei ole sekaannuksestakaan. Geometria liittyy laboratorion fyysisen laitteen suuntaan, johon tilasi antaa luotettavia tuloksia.Vastakkaisesti suuntautunut laite antaa myös luotettavia tuloksia. Tämä on tavallista ortogonaalisten tilojen kohdalla, että teonorthgonaaliset tilat voivat olla saman operaattorin ominaispiirteitä.

Joten Bloch-pallon eri pisteet tunnistavat eri suuntaukset, jotka antavat ”ylös” -tuloksen eri tiloille. Älä sekoita mittauslaitteen suuntaa kolmiulotteisessa tilassa avaruusalueen geometrian kanssa.

niin miten voidaan valita mielivaltainen piste $ p $ pallon pinnalla ja hajottaa se mahdollisesti $ 0,1 $ -tilojen avulla, jotta löydetään $ a $ ja $ b $?

Se on päinvastoin. Kuinka päätit soittaa joksikin tilaksi 0 ja toisen 1? Valitsit satunnaisen suunnan ja kutsuit sitä z: ksi ja suunnittit laitteellesi magneettikentän epähomogeenisuuspisteen tällä tavalla. Se antoi sinulle ylös ja alas.

Mutta nyt voimme määrittää minkä tahansa pyöritystilan. Sinulla on mielivaltainen piste $ (n_x, n_y, n_z) $ ja etsi sitten ominaisvektori $ n_x \ sigma_x + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z. $ Positiivisella ominaisarvolla. Kutsu sitä $ \ left | s \ right \ rangle, $ ja sitten $$ \ left | s \ right \ rangle = \ langle 0 \ left | s \ right \ rangle \ left | 0 \ right \ rangle + \ langle 1 \ left | s \ oikea \ rangle \ vasen | 1 \ oikea \ rangle $$, joten on $ a $ ja $ b $, paitsi että et tiedä kokonaisvaihetta ja suuruutta, mutta yhden hiukkasen pyörimistilassa ei ole yhtä näistä .

Tarkoittaako tämä, että Bloch-palloa ei pidä pitää pätevänä perustana järjestelmällemme ja että se on vain visualisointiapu?

Ei, se tarkoittaa, että laboratorion geometriaa ei pidä sekoittaa Hilbert-avaruuden geometriaan. Fysiikka on kokeellista tiedettä, joten ne ovat ehdottomasti liittyvät, mutta ne eivät ole samat.

Jos haluat heijastaa vektorin eigenspace-tiloihin, et heijasta tarroja toisiinsa. Sinulla voi olla spin-tila ja toinen spin-tila, ja kun laitat yhden toiselle suunnatun Stern-Gerlach-laitteen läpi, spatiaaliset vapausasteet jakautuvat ja erottuvat yhdeksi, joka on ylöspäin siinä suunnassa, ja sellaiseksi, joka on spatiaalisesti siitä alaspäin. suuntaan ja spin-tila kirjaimellisesti muuttuu osoittamaan ylöspäin säteessä, joka nousi tilallisesti, ja osoittamaan alaspäin säteessä, joka meni alas. Joten yhden hiukkasen pyöriminen on sotkeutunut omaan sijaintiinsa.

Hilbert-projektion koko kertoo sinulle taivutettujen ja halkeilevien osien koon. Mutta et myöskään tarvitse kirjaimellisesti muistaa sellaiset säännöt. Jos kirjoitat Schrödinger-yhtälön Stern-Gerlach-laitteelle, palkki jakautuu ja jakautuu oikean kokoisiksi osiksi ja pyörii kohdakkain kahteen polarisaatioon, ja se tapahtuu ilman sinun käskemistä sitä tekemään niin.

Joten sitten linkoustila on selkeä. Se kertoo sinulle suunnan, johon se tulee luotettavasti, jos annat sille mahdollisuuden. Ja jos laitat sen eri suuntautuneeseen Stern-Gerlachiin, se pakotetaan menemään yhteen suuntauksen sallimista kahdesta suunnasta ja se jakautuu ja menee molempiin. Saadaksesi kunkin osan koot, voit kehittää Schrödinger-yhtälön tai laskea operaattorin ominaisvektorit $ n_x \ sigma_x + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z $ ja pisteyttää sen positiivisen ominaisarvon ominaisvektorin kanssa, joka on kohtisuorassa toiseen vektoriin nähden. p>

Ja kyllä, tähän on olemassa helpompia tapoja, ja voit saada siitä enemmän. Mutta toivottavasti näet toisen geometrian.

Voisitko näyttää, kuinka saadaan sitten $ cos \ theta / 2 $ ja $ e ^ {i \ phi } $ ehtoa?

Käytin Pauli-spin-operaattoreita, jos haluat valita perustan, voit kirjoittaa ne matriiseiksi (operaattori on vektoritilan funktio , matriisi edustaa operaattoria sen jälkeen, kun olet valinnut perustan; operaattori on olemassa ja se on sama riippumatta siitä, minkä perusteella voit myöhemmin valita vai ei. $$ n_x \ sigma_x + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z = \ vasen (\ begin {matrix} n_z & n_x-in_y \\ n_x + in_y & -n_z \ end {matrix} \ right). $$

Ja ominaisvektori positiivisella ominaisarvolla on $ \ left (\ begin {matrix} -n_x + in_y \\ n_z-1 \ end {matrix} \ right), $ ellei $ n_z = 1 $, se on $ \ left (\ begin {matrix} 1 \\ 0 \ end {matrix} \ right). $ Käsitellään tapausta $ n_z = 1 $ ensin, siinä tapauksessa $ a = 1 $ ja $ b = 0 $ ja $ \ theta = 0 $ joten $ a = \ cos (\ theta / 2) $, $ b = e ^ {i \ phi} \ sin (\ theta / 2) $ kaikki toimivat.

Jos haluat kirjoittaa ominaisvektorin yksikkövektoriksi, saat $ \ frac {1} {\ sqrt {2-2n_z}} \ left (\ begin {matrix} -n_x + in_y \\ n_z-1 \ end {matrix} \ right). $ Jos haluat säätää vaihetta siten, että ensimmäinen koordinaatti on oikea ja positiivinen, saat $ \ frac { 1} {\ sqrt {2-2n_z} \ sqrt {n_x ^ 2 + n_y ^ 2}} \ vasen (\ begin {matriisi} n_x ^ 2 + n_y ^ 2 \\ (n_x + in_y) (1-n_z) \ loppu {matriisi} \ oikea). $

Loppuosa on trigometria, esim. $ \ frac {n_x + in_y} {\ sqrt {n_x ^ 2 + n_y ^ 2}} = e ^ {i \ phi }. $ Joten meidän on vain näytettävä, että $ \ cos ( \ theta / 2) = \ sqrt {\ frac {n_x ^ 2 + n_y ^ 2} {2-2n_z}} $ ja tuo $ \ sin (\ theta / 2) = \ sqrt {\ frac {1-n_z} { 2}}.$ Jälkimmäinen on trig-identiteetti $ \ sin (\ theta / 2) = \ sqrt {\ frac {1- \ cos (\ theta)} {2}}. $

Edellinen on $$ \ sqrt {\ frac {n_x ^ 2 + n_y ^ 2} {2-2n_z}} = \ sqrt {\ frac {n_x ^ 2 + n_y ^ 2 + n_z ^ 2-n_z ^ 2} {2-2n_z}} $ $ $$ = \ sqrt {\ frac {1-n_z ^ 2} {2-2n_z}} = \ sqrt {\ frac {(1-n_z) (1 + n_z)} {2-2n_z}} $$ $$ = \ sqrt {\ frac {1 + n_z} {2}} = \ sqrt {\ frac {1+ \ cos (\ theta)} {2}} = \ cos (\ theta / 2). $$

Kommentit

• Miksi tarvitsemme 3D-pallon eikä vain ympyrän tasossa? Jos kuvittelemme qubitia atomin spinin tai sen superposition kahdeksi mahdolliseksi arvoksi … Mikä ’ on atsimutaalikulman physical fyysinen merkitys?

A. Kahden tilan järjestelmät

Olkoon kaksitilajärjestelmä, tilojen ollessa riippumattomia aika-aika-koordinaateista. Tässä tapauksessa järjestelmällä on uusi vapausaste . Klassinen esimerkki on hiukkanen, jolla on spin-kulmamomentti $ \: \ frac12 \ hbar \: $ .

Anna kahteen siellä olevaan tilaan perustilat \ begin {yhtälö} \ vert u \ rangle = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} \ equiv \ text {ylöspäin tila} \ ,, \ quad \ vert d \ rangle = \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} \ equiv \ text {alas tila} \ tag {01} \ label {01} \ end {yhtälö} nimeltä ylös ja alas tila.

Järjestelmän tila ilmaistaan tilavektorilla \ begin {yhtälö} \ vert \ psi \ rangle = \ xi \ vert u \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta \ vert d \ rangle \ quad \ text {where} \: \: \: \ xi, \ eta \ mathbb {C} \ quad \ text {ja} \: \: \: \ vert \ xi \ vert ^ {2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta \ vert ^ {2} = 1 \ tag {02} \ label {02} \ end {equation} Kompleksiluvut $ \: \ xi, \ eta \: $ ovat todennäköisyyksien amplitudit ja ei-negatiiviset realit $ \: \ vert \ xi \ vert ^ { 2}, \ vert \ eta \ vert ^ {2} \: $ todennäköisyydet olla järjestelmä tilassa $ \: \ vert u \ rangle, \ vert d \ rangle \: $ .

Järjestelmän tilojen Hilbert-tila on monessa suhteessa identtinen kompleksisen tilan (span-yksikön) kanssa $ \: \ mathbb {C} ^ {2} $ .

Järjestelmän havainnoitavaa kuvaa $ \: 2 \ times2 \: $ hermitian matrix A muodossa \ begin {yhtälö} A = \ begin {bmatrix} a_3 & a_1 \! \ boldsymbol {-} \! ia_2 \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ a_1 \! \ boldsymbol {+} \! ia_2 & a_4 \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad \ text {with} \: \: \: \ left (a_1, a_2, a_3, a_4 \ right) \ in \ mathbb {R} ^ {4} \ tag {03} \ label {03} \ end {equation} joten $ \: 2 \ kertaa2 lineaarinen tila \: $ hermiittimatriisit ovat monessa suhteessa identtiset $ \: \ mathbb {R} ^ {4} $ . Tavallisesta $ \: \ mathbb {R} ^ {4} \: $ -periaatteesta rakennetaan perusta tälle matriisitilalle \ begin {yhtälö} E_1 = \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad, \: \: \: E_2 = \ alkaa {bmatrix} 0 & \! \! \ boldsymbol {-} i \ vphantom {\ tfrac {a} {b} } \\ i & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad, \: \: \: E_3 = \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ Hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b }} \\ 0 & \! \! \ Hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad , \: \: \: E_4 = \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ Hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} { b}} \\ 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ v phantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ tag {04} \ label {04} \ end {equation}

Jos perustilat ovat $ \: \ vert u \ rangle, \ vert d \ rangle \: $ yhtälöstä \ eqref {01} vastaavat ominaisarvojen $ \: \ boldsymbol {+} 1, \ boldsymbol {-} 1 \: $ vastaavasti havaittavissa olevasta, tätä havainnoitavaa edustaisi matriisi
\ begin {yhtälö} \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b} } \\ 0 & \! \! \ Boldsymbol {-} 1 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ tag {05} \ label {05} \ end {equation} ei sisälly \ eqref {04}. Mutta perustan \ eqref {04} sijasta voisimme käyttää seuraavia lineaarisia yhdistelmiä niistä \ begin {tasaa} E ”_1 \! = \! E_1 \! = \! & \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom {\ tfrac { a} {b}} \\ 1 & \! \!\ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ qquad \ qquad \ quad \, E ”_2 \! = \! E_2 \! = \! \ aloita {bmatrix} 0 & \! \! \ boldsymbol {-} i \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ i & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ nonumber \\ E ”_3 \! = \! \ left ( E_3 \! – \! E_4 \ oikea) \! = \! & \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \\ 0 & \! \! \ boldsymbol {-} 1 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ qquad E ”_4 \! = \! \ vasen (E_3 + E_4 \ oikea) \! = \! \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ tag {06} \ label {06} \ end {align} ja symbolien ja järjestely

\ begin {equation} I = \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ hphantom { \ lihavoitu symboli {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom { \ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad, \: \: \: \ sigma_1 = \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad, \: \: \: \ sigma_2 = \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ boldsymbol {-} i \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ i & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom { \ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad, \: \: \: \ sigma_3 = \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \\ 0 & \! \! \ boldsymbol {-} 1 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ tag {07} \ label {07} \ end {equation} missä $ \: \ boldsymbol {\ sigma } = \ vasen (\ sigma_1, \ sigma_2, \ sigma_3 \ oikea) \: $ Pauli-matriisit .

Nyt perusasetukset $ \: \ vert u \ rangle, \ vert d \ rangle \: $ yhtälöstä \ eqref {01} ovat $ \: \ sigma_3 \: $ ominaista, joten se on ilmaistava alaindeksillä $ \: ” 3 ”\: $ \ begin {yhtälö} \ vert u_3 \ rangle = \ begin {bmatrix} \: \: 1 \: \: \ vphantom {\ dfrac { a} {b}} \\ \: \: 0 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ ,, \ quad \ vert d_3 \ rangle = \ begin {bmatrix} \: \: 0 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ \: \: 1 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ tunniste {08} \ label {08} \ end {equation} Tämä on tehtävä todennäköisyyksien amplitudille $ \: \ xi, \ eta \: $ myös \ begin {yhtälö} \ vert \ psi \ rangle = \ xi_3 \ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_3 \ vert d_3 \ rangle \ quad \ text {where} \: \: \: \ xi_3, \ eta_3 \ in \ mathbb {C} \ quad \ text {ja} \: \: \: \ vert \ xi_3 \ vert ^ {2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta_3 \ vert ^ {2} = 1 \ tag {09} \ label { 09} \ end {equation} Syynä tähän on se, että voimme käyttää Hilbert-tilan perustilana yhtä hyvin alkuperäisiä tiloja $ \: \ vert u_1 \ rangle, \ vert d_1 \ rangle \: $ ominaisarvoista $ \: \ boldsymbol {+} 1, \ boldsymbol {-} 1 \: $ / $ \: \ sigma_1 \: $ \ begin {yhtälö} \ vert u_1 \ rangle = \ frac {\ sqrt {2} } {2} \ begin {bmatrix} \: \: 1 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ \: \: 1 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} { b}} \ end {bmatrix} = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} \ vert d_3 \ rangle \ right) \ ,, \ quad \ vert d_1 \ rangle = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ begin {bmatrix} \: \: 1 \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ -1 \: \, \ vphantom { \ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {-} \ vert d_3 \ rangle \ right) \ tag {10} \ label {10} \ end {equation} siten, että \ begin {equation} \ vert \ psi \ rangle = \ xi_1 \ vert u_1 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_1 \ ve rt d_1 \ rangle \ quad \ text {where} \: \: \: \ xi_1, \ eta_1 \ in \ mathbb {C} \ quad \ text {ja} \: \: \: \ vert \ xi_1 \ vert ^ { 2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta_1 \ vert ^ {2} = 1 \ tag {11} \ label {11} \ end {equation} tai asiaankuuluva kohteelle $ \: \ sigma_2 \: $ \ begin {yhtälö} \ vert u_2 \ rangle = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ begin { bmatrix} \: \: 1 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ \: \: i \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix } = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ vasen (\ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} i \ vert d_3 \ rangle \ right) \ ,, \ quad \ vert d_2 \ rangle = \ frac { \ sqrt {2}} {2} \ begin {bmatrix} \: \: 1 \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ -i \: \, \ vphantom {\ dfrac {a} { b}} \ end {bmatrix} = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {-} i \ vert d_3 \ rangle \ right) \ tag {12} \ etiketti {12} \ end {equation} niin, että \ begin {equation} \ vert \ psi \ rangle = \ xi_2 \ vert u_2 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_2 \ vert d_2 \ rangle \ quad \ text {where} \: \: \: \ xi_2, \ eta_2 \ in \ mathbb {C} \ quad \ text {ja} \: \: \ vert \ xi_2 \ vert ^ {2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta_2 \ vert ^ {2} = 1 \ tag {13} \ label {13} \ end {equation} Ominaisuudet ovat $ \ vert u_1 \ rangle, \ vert d_1 \ rangle, \ vert u_2 \ rangle, \ vert d_2 \ rangle $ näkyvät kaavamaisesti kuvassa 04.

Nyt, \ begin {align} \ xi_1 & = \ tfrac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ xi_3 \ boldsymbol {+} \ eta_3 \ right) \ tag {14a} \ label {14a} \\ \ eta_1 & = \ tfrac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ xi_3 \ boldsymbol {-} \ eta_3 \ right) \ tag {14b} \ label {14b} \ end {align} so \ begin {tasaa} \ vert \ xi_1 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ mathrm {Re} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) \ tag { 15a} \ label {15a} \\ \ vert \ eta_1 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ mathrm {Re} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ oikea) \ tag {15b} \ label {15b} \ end {tasaa} Myös \ begin {tasaus} \ xi_2 & = \ tfrac {\ sqr t {2}} {2} \ left (\ xi_3 \ boldsymbol {-} i \ eta_3 \ right) \ tag {16a} \ label {16a} \\ \ eta_2 & = \ tfrac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ xi_3 \ boldsymbol {+} i \ eta_3 \ right) \ tag {16b} \ label {16b} \ end {align} so \ begin {tasaus} \ vert \ xi_2 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ mathrm {Im} \ vasen (\ xi_3 \ eta ^ {\ lihavoitu symboli {*}} _ 3 \ oikea) \ tag {17a} \ label {17a} \\ \ vert \ eta_2 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ mathrm {Im} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) \ tag {17b} \ label {17b} \ end {align} Yhtälöissä \ eqref {15a}, \ eqref {15b}, \ eqref {17a}, \ eqref {17b} $ \: z ^ {\ boldsymbol {*} } \: $ merkitsemme kompleksiluvun $ \: z \: $ ja kompleksikonjugaattia. $ \: \ mathrm {Re} \ left (z \ right), \ mathrm {Im} \ left (z \ right) \: $ todelliset ja kuvitteelliset osat $ \: z $ .

Koska $ \: \ vert \ xi_3 \ vert ^ {2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta_3 \ vert ^ {2} = 1 \: $ asetimme (katso kuva-01) \ begin {align} \ xi_3 & = \ cos \ omega_3 \ cdot e ^ {i \ alpha_3} \: \:, \ qquad 0 \ le \ omega_3 \ le \ frac {\ pi} {2} \ tag {18a} \ label {18a} \\ \ eta_3 & = \ sin \ omega_3 \ cdot e ^ {i \ beta_3} \ tag {18b} \ label {18b} \\ \ theta_3 & = 2 \ omega_3 = \ text {napakulma suhteessa $ x_3- $ -akseliin} \: \:, \ qquad 0 \ le \ theta_3 \ le \ pi \ tag {18c} \ label {18c} \ end {align} so \ begin {tasaus} \ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 & = \ cos \ omega_3 \ cdot e ^ { i \ alpha_3} \ sin \ omega_3 \ cdot e ^ {\ boldsymbol {-} i \ beta_3} = \ cos \ left (\ dfrac {\ theta_3} {2} \ right) \ cdot \ sin \ left (\ dfrac { \ theta_3} {2} \ right) \ cdot e ^ {\ boldsymbol {-} i \ left (\ beta_3 \ boldsymbol {-} \ alpha_3 \ right)} = \ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ cdot e ^ {\ boldsymbol {-} i \ phi_3} \ tag {19a} \ label {19a} \\ \ phi_3 & = \ beta_3 \ boldsymbol {-} \ alpha_3 = \ text {atsimuuttikulma suhteessa $ x_3- $ -akseliin} \: \:, \ qquad 0 \ le \ phi_3 \ le 2 \ pi \ tag { 19b} \ label {19b} \ end {align} Näissä määritelmissä \ begin {align} \ mathrm {Re} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ oikea) & = \ mathrm {Re} \ vasen (\ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ cdot e ^ {\ boldsymbol {- } i \ phi_3} \ right) = \ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ cos \ phi_3 = \ rho_3 \ cos \ phi_3 \ tag {20a} \ label {20a} \\ \ mathrm {Im} \ vasen (\ xi_3 \ eta ^ {\ lihavoitu symboli {*}} _ 3 \ oikea) & = \ mathrm {Im} \ left (\ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ cdot e ^ {\ boldsymbol {-} i \ phi_3} \ right) = \ boldsymbol {-} \ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ sin \ phi_3 = \ boldsymbol {-} \ rho_3 \ sin \ phi_3 \ tag {20b} \ label {20b} \\ \ rho_3 & = \ vert \ xi_3 \ vert \ cdot \ vert \ eta_3 \ vert = \ cos \ omega_3 \ sin \ omega_3 = \ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ tag {20c} \ label {20c} \ end {align} ja yhtälöt \ eqref {15a}, \ eqref {15b}, \ eqref {17a}, \ eqref {17b} tuottaa seuraavat todennäköisyydet \ begin {tasaa} \ vert \ xi_1 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ mathrm {Re} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ rho_3 \ cos \ phi_3 = \ frac12 \ left (1 \ boldsymbol {+} \ sin \ theta_3 \ cos \ phi_3 \ right) \ tag {21a} \ label {21a} \\ \ vert \ eta_1 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ mathrm {Re } \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ rho_3 \ cos \ phi_3 = \ frac12 \ left (1 \ boldsymbol {-} \ sin \ theta_3 \ cos \ phi_3 \ right) \ tag {21b} \ label {21b} \ end {tasaus} \ begin {align} \ vert \ xi_2 \ vert ^ {2 } & = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ mathrm {Im} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ rho_3 \ sin \ phi_3 = \ frac12 \ left (1 \ lihavoitu symboli {+} \ sin \ theta_3 \ sin \ phi_3 \ oikea) \ tag {22a} \ label {22a} \\ \ vert \ eta_2 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ mathrm {Im} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ rho_3 \ sin \ phi_3 = \ frac12 \ le ft (1 \ lihavoitu symboli {-} \ sin \ theta_3 \ sin \ phi_3 \ oikea) \ tag {22b} \ label {22b} \ end {tasaus}

Huomaa, että tila $ \ vert \ psi \ rangle $ yhtälöstä \ eqref {09} voidaan ilmaista muodossa \ begin {yhtälö} \ vert \ psi \ rangle \ boldsymbol {=} e ^ {i \ alpha_3} \ left [\ cos \ left (\ dfrac {\ theta_3} {2} \ right) \ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} e ^ {i \ phi_3} \ sin \ left (\ dfrac {\ theta_3} {2} \ right) \ vert d_3 \ rangle \ right] \ tag {23} \ label {23} \ end {equation} tai vaiheen ohittaminen kerroin $ e ^ {i \ alpha_3} $ \ begin {yhtälö} \ vert \ psi \ rangle \ boldsymbol {=} \ cos \ left (\ dfrac {\ theta_3} {2} \ right) \ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} e ^ {i \ phi_3} \ sin \ left (\ dfrac {\ theta_3} {2} \ right ) \ vert d_3 \ rangle \ tag {24} \ label {24} \ end {equation}

---

B. Pallossa – Pallossa

Kuvassa 01 on määritelmien \ eqref {18a}, \ eqref {18b} ja \ eqref {18c} yksityiskohdat. Tämä on tasonäkymä ympyrän $ \: \ rm {K_3} \ Xi $ tason pisteestä kuvassa 03. Huomaa, että tämä kuva-01 on kelvollinen, jos kaikki tilaukset $ \: ”3” \: $ korvataan $ \ : ”1” \: $ tai $ \: ”2” $ . Eri pisteiden määritelmä ja merkitys annetaan seuraavassa.

Kuvassa 02 näemme yhtälöiden \ eqref {21a}, \ eqref {21b} ja \ eqref {22a}, \ eqref {22b} geometrian. Tämä on tasokuva näkymästä $ \: x_3- $ -akselin positiivisten pisteestä.

Katso kolmiulotteinen näkymä kuvasta 03 täältä

Kuvassa 03 on halkaisijaltaan 1 pallo kolmiulotteisessa tilassa $ \: \ mathbb {R} ^ {3} \: $ ei ole sama kuin fyysinen tila. Pallossa kohta $ \: \ Xi \: $ edustaa järjestelmän tilaa \ begin {yhtälö} \ psi = \ xi_1 \ vert u_1 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_1 \ vert d_1 \ rangle = \ xi_2 \ vert u_2 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_2 \ vert d_2 \ rangle = \ xi_3 \ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_3 \ vert d_3 \ rangle \ tag {25} \ label {25} \ end {equation} Nyt $ \: \ jmath = 1,2 , 3 \: $ \ begin {align} \ rm A _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = point \ : \: päällä \: \: + 1/2 \: \: \: \: x _ {\ lihavoitu symboli {\ jmath}} \! – \! -akseli \: \: edustaa \: \: \: \: \ vert u _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: omavaltio \ tag {26.01} \ label {26.01} \\ \ rm B _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = piste \: \: päällä \: \: – 1/2 \: \: \: \: x _ {\ lihavoitu symboli {\ jmath}} \! – \! -akseli \: \: edustaa \: \ : \: \: \ vert d _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: eigenstate \ tag {26.02} \ label {26.02} \\ \ rm K _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = projec tion \: \: of: \: \: \: \: state \: \: point \: \: \ Xi \: \: on \: \: x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \! – \! axis \ tag {26.03} \ label {26.03} \\ \ Xi \ rm A _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ vert \ eta _ {\ boldsymbol {\ jmath} } \ vert = magnitude \: \: of::: todennäköisyys \: \: amplitudi \: \: \: \: \ vert d _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: eigenstate \ tag { 26.04} \ label {26.04} \\ \ Xi \ rm B _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ vert \ xi _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ vert = magnitudi \: \: \: \: todennäköisyys \: \: amplitudi \: \: \: \: \ vert u _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: omavaltio \ tag {26.05} \ etiketti {26.05} \\ \ rm K _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rm A _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ vert \ eta _ {\ boldsymbol {\ jmath }} \ vert ^ {2} = todennäköisyys \: \: \: \: \ vert d _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: eigenstate \ tag {26.06} \ label {26.06} \\ \ rm K _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rm B _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ vert \ xi _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ vert ^ { 2} = todennäköisyys \: \: \: \: \ vert u _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: eigenstate \ tag {26.07} \ label {26.07} \\ \ theta _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ angle (\ Xi \ mathrm O _ {\ lihavoitu symboli {\ jmath}} \ mathrm A _ {\ boldsymbol {\ jmath}}) = polaarinen \: kulma \: kanssa \: respect \: to \: \: x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \! – \ ! axis \ tag {26.08} \ label {26.08} \\ \ phi _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ angle (\ Xi \ mathrm O _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ mathrm A _ {\ lihavoitu symboli {\ jmath}}) = azimutaali \: kulma \: kanssa \: respect \: to \: \: x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \! – \! -akseli \ tunniste {26.09} \ label {26.09} \\ \ omega _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ angle (\ Xi \ mathrm B _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ mathrm K _ {\ boldsymbol {\ jmath}}) = puolet \: \: napa \: kulma \: \ theta _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ tag {26.10} \ label {26.10} \\ \ rm K_ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ Xi & = \ vert \ xi _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ vert \ cdot \ vert \ eta _ {\ boldsymbol {\ jmath} } \ vert = \ rho _ {\ boldsymbol {\ jmath}} = säde \: \: ympyrä, \: leikkaus \: \: \: sphere \ nonumber \\ & \ hphantom {=} \: \: with \: \: taso \: kautta \: kohta \: \ Xi \: normaali \: to \: \: x: {{boldsymboli {\ jmath}} \! – \ ! axis \ tag {26.11} \ label {26.11} \ end {align}

Kommentit

• kuten aina mahtava hahmo.
• En ’ ei ymmärrä, kun sanot (05) ei ole ’ t (04), ei ’ onko se $ E_3 $? En myöskään ’ ymmärrä miten $ E_3 – E_4 $: lla ei ole ’ t kaikkia nollia ja -2
• @ gary69: Tervetuloa PSE: hen. Kiitos paljon huomiostanne. Se oli kirjoitusvirhe yhtälössä $ \ eqref {04} $ I muokata oikealle. Kun tulevaisuudessa, kun saavutat mainetta, näet vastaukseni muokkaushistorian, huomaat, että tämä kirjoitusvirhe tehtiin 7. elokuuta 2020 25. elokuuta.

Pelkkä laajennettu kommentti virtaviivaistaa @Timaeuksen hienon vastauksen ikimuistoisempaan muotoon.

Tilavektori
$$ | \ psi \ rangle = \ begin {pmatrix} \ cos \ theta / 2 \\ e ^ {i \ phi} \ sin \ theta / 2 \ end {pmatrix} $$ määrittää puhtaan tilan tiheysmatriisin projektioperaattorinsa, $$ \ bbox [keltainen] {| \ psi \ rangle \ langle \ psi | = \ begin {pmatrix} \ cos ^ 2 \ theta / 2 & \ sin \ theta / 2 ~ \ cos \ theta / 2 ~ e ^ {- i \ phi} \\ \ sin \ theta / 2 ~ \ cos \ theta / 2 ~ e ^ {i \ phi} & \ sin ^ 2 \ theta / 2 \ end {pmatrix} = \ rho} ~.$$ Huomaa ilmeinen muuttumattomuus $ | \ psi \ rangle $ : n kaiken uudelleenajon alla.

Tämän idempotentin Hermitin tiheysmatriisin yleisten periaatteiden ”lauseke on ilmeisesti myös $ $ \ rho = \ frac {1} {2} (1 \! \! 1 + \ hat n \ cdot \ vec \ sigma), $$ ja $ \ hattu n = (\ sin \ theta \ cos \ phi, \; \ sin \ theta \ sin \ phi, \; \ cos \ theta) ^ T. $

Eli $ \ hat z $ -akseli kiertyy $ \ hat n $ -akselille täydellä (vierekkäisellä) kiertokulmalla , määritetään puolikulmainen (spinori, perus) operaattorilauseke.

Ajattele fotonikierrosta

Tämän konkreettisemman tapauksen ajatteleminen auttoi minua saamaan hyödyllisiä kuvia päähäni. On jopa tunnettua enemmän optiikkaan suuntautuva analoginen, joka kannattaa pitää mielessä: Poincaré-pallo .

Photon spin on kaksitilainen kvanttijärjestelmä , jonka Frobenius mainitsee , on Bloch-pallon mallinnus.

Photon spin on myös helppo ymmärtää / visualisoida / manipuloida kokeellisesti.

Fyysiset polarisointisuodattimet

Ensin Ajatelkaamme konkreettisinta mahdollista asiaa: polarisaattorisuodattimia.

Voit ajatella kahdenlaisia polarisaattorisuodattimia:

• lineaarinen polarisaattori, missä tahansa kulmassa välillä -90 ja 90.

  Esim tässä yksi 90 astetta:

  

  ja tässä yksi 45 astetta:

  

  ja tässä yksi 0 astetta:

  

  Lähde

  Wikipedia kuvaa muutamia tapoja luoda tällaisia suodattimia, ja yllä olevat kuvat ovat Polariod-suodattimia , joita käytetään aurinkolaseissa ja valokuvauksessa ja jotka ovat siten helposti saatavilla .

  Kvanttimekaniikan näkökulmasta 90 ja 0 asteen suunnat tekevät saman mittauksen: ainoa ero on, että toinen päästää fotonin ohittamaan, mutta toinen estää sen. Mutta voimme käyttää molempia yhtä määritä fotonin lineaarisen pystysuuntaisen polarisaation taso: sinun on vain otettava komplementti val ue.

  Ja koska jokainen mittaus vastaa Hermiittimatriisia , voimme edustaa sekä 0 että 90 yhdellä matriisilla:

  $$ M_0 = \ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \ end {bmatrix} $$

  Ja 45 asteen matriisi on:

  $ $ M_ + = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \ end {bmatrix} $$

• pyöreä polarisaattori, joka kuten Wikipedia selittää , tehdään yleensä neljännesaaltolevyllä + lineaarisella polarisaattori:

  

  Lähde .

  Sitä vastaava matriisi on:

  $$ M_i = \ alku {bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \\ \ end {bmatrix} $$

Yllä olevat matriisit ovat ns. Paulin matriiseja .

Joitakin mielenkiintoisia tilavektoreita

Annetaan nyt nimet 6 napalle, jotka edustavat kuutta mahdollista mielenkiintoista fotonitilaa Bloch-pallossa ja yritä ymmärtää, miten ne ovat vuorovaikutuksessa suodattimien kanssa.

Lähde .

$$ \ begin {alignat *} {4} & \ vert 0 \ rangle & & = & & \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} & & = \ text {lineaarinen 90 °} \\ & \ vert 1 \ rangle & & = & & \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} & & = \ text { lineaarinen 0 °} \\ & \ vert + \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} & & \ begin {bmatrix} 1 \\ 1 \ end {bmatrix} & & = \ text {lineaarinen 45 °} \\ & \ vert – \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} & & \ begin {bmatrix} 1 \\ – 1 \ end {bmatrix} & & = \ text {lineaarinen -45 °} \\ & \ vert i \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} & & \ begin {bmatrix } 1 \\ i \ end {bmatrix} & & = \ text {pyöreä myötäpäivään} \\ & \ vert -i \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} & & \ begin {bmatrix} 1 \\ – i \ end {bmatrix} & & = \ text {pyöreä vastapäivään} \\ \ end {alignat *} $$

Ensimmäinen asia, jonka huomaamme, on seuraava parit ovat kaikki perusta:

• $ \ vert 0 \ rangle $ ja $ \ vert 1 \ rangle $
• $ \ v ert + \ rangle $ ja $ \ vert – \ rangle $
• $ \ vert i \ rangle $ ja $ \ vert -i \ rangle $

Voisimme esimerkiksi edustaa:

$$ \ begin {alignat *} {3} & \ vert 0 \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (\ vert + \ rangle & & + \ vert – \ rangle) \\ & \ vert 1 \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (\ vert + \ rangle & & – \ vert – \ rangle) \\ & \ vert 0 \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (\ vert i \ rangle & & -i \ vert -i \ rangle) \\ & \ vert 1 \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (- i \ vert i \ rangle & & + i \ vert -i \ rangle) \ end {alignat *} $$

Sitten huomaamme myös, että:

• $ \ vert 0 \ rangle $ ja $ \ vert 1 \ rangle $ ovat $ M_0 $
• $ \ vert + \ rangle $ ja $ \ vert – \ rangle $ ovat $ M _ + $
• $ \ vert i \ rangle $ ja $ \ vert -i \ rangle $ ovat $: n ominaisvektoreita M_i $

Jos muistamme, että kvanttimekaniikan mittauksen tulos on ominaisarvon ominaisvektori, todennäköisyyden ollessa verrannollinen projektioon, saamme seuraavat näytetodennäköisyydet nämä kokeilut:

• $ \ vert 0 \ rangle $ tila:

  • lineaarinen polarisaattori 90 °: 100% läpäisy

  • lineaarinen polarisaattori 0 °: 0% läpäisy

  • lineaarinen polarisaattori 45 °: 45% läpäisy, koska:

    $$ \ vert 0 \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (\ vert + \ rangle + \ vert – \ rangle) $$

  • lineaarinen polarisaattori -45 °: 45% läpäisee

  • pyöreät polarisaattorit: 45% läpäisee.Tämä johtuu siitä, että lineaarinen tila 0 voidaan hajottaa kahteen pyöreään polarisaatioon:

    $$ \ vert 1 \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2 }} (- i \ vert i \ rangle + i \ vert -i \ rangle) $$

• $ \ vert 1 \ rangle $ :
  • lineaarinen 90 °: 0% kulku
  • lineaarinen 0 °: 100% läpäisy
  • lineaarinen 45 °: 45% kulkee
  • lineaarinen -45 °: 45% kulkee
  • pyöreä: 45% kulkee
• $ \ vert + \ rangle $ :
  • lineaarinen 90 °: 45% kulkee
  • lineaarinen 0 °: 45% kulkee
  • lineaarinen 45 °: läpäisee 100%
  • lineaarinen -45 °: 0% kulkee
  • pyöreät polarisaattorit: 45% kulkee
• $ \ vert i \ rangle $ :
  • lineaarinen 90 °: 45% kulkee
  • lineaarinen 0 ° : 45% kulkee
  • lineaarinen 45 °: 45% kulkee
  • lineaarinen -45 °: 45% kulkee
  • pyöreä myötäpäivään: 100% kulkee
  • pyöreä vastapäivään: 0% läpäisee

Suhteellinen vaihe

Yksi tärkeä muistaa klassinen intuitio on:

pyöreä polarisaatio == kaksi ortogonaalista lineaarista polarisaatiota 90 astetta vaiheen ulkopuolella:

Lähde .

Joten esimerkiksi :

$$ \ vert i \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end { bmatrix} + \ frac {i} {\ sqrt {2}} \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ vert 0 \ rangle + \ frac {i} {\ sqrt {2}} \ vert 1 \ rangle $$

meillä on 90 asteen suhteellinen vaihe $ i: n vuoksi $ suhteellinen vaihe-ero $ \ vert 0 \ rangle $ ja $ \ frac {i} {\ sqrt välillä {2}} \ vert 1 \ rangle $ .

Mutta lävistäjässä ne ovat vaiheittain suhteessa $ \ vert 0 \ rangle $ ja $ \ vert 1 \ rangle $ :

$$ \ vert + \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} + \ frac {i} { \ sqrt {2}} \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ vert 0 \ rangle + \ frac {1} {\ sqrt {2} } \ vert 1 \ rangle $$

joten suhteellinen vaihe on 0 tälle vaiheelle.

Kävele pallo

Yksi yleinen tapa edustaa tilaa Bloch-pallossa on antaa vain kaksi $ \ theta $ ja $ \ phi $ kulmat alla esitetyllä tavalla:

Lähde .

Koska pallo ei ole euklidinen, hyvä tapa visualisoida se on käydä läpi joitain helposti ymmärrettäviä polkuja sen ympärillä. Seuraavalle kuvalle tehdään kaksi polkua:

• aloita 0: sta, kulje +, 1, -: n läpi ja palaa takaisin 0: een
• aloita 0: sta, kulje i: n läpi , 1, -i ja palaa takaisin kohtaan 0

Lähde .

Kävely välillä + – i, -, -i ja takaisin + jätetään harjoituksena: ympyrästä tulee vino pimennys, ja se ohenee alamäkiä yhä enemmän 45 asteen viivaksi.

Tämä johtaa kulmien selkeään tulkintaan:

• $ \ theta $ : mitä suurempi se on, sitä todennäköisemmin $ \ vert 1 \ rangle $ tulee verrattuna $ \ vert 0 \ rangle $
• $ \ phi $ : suhteellinen vaihe $ \ vert 0 \ rangle $ ja $ \ vert 1 \ rangle $ välillä. Tätä suhteellista vaihetta ei voida havaita pysty- tai vaakasuuntaisella polarisaattorilla.

Kuinka voimme laskea 4 reaaliluvusta tilaan vain 2 ?

Bloch-pallolla voimme edustaa tilaa vain kahdella todellisella parametrilla: kulmat $ \ theta $ ja $ \ phi $

Mutta täsmällisemmissä täyden tilan vektoreissa näyttää olevan 2 kompleksilukua, ja siksi 4 reaalilukua:

$$ \ begin {alignat *} {4} & \ begin {bmatrix} a + ib \\ c + id \ end {bmatrix} \\ \ end {alignat *} $$

Miksi jokin numeroista on poistettava, on helppoa: koko todennäköisyyden on oltava olla 1 ja niin:

$$ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = 1 $$

joten siinä vaiheessa olemme jo rajoitettu 3-palloon .

Toinen on mielenkiintoisempi: voimme poistaa toisen parametrin, koska tilan globaalia vaihetta ei voida havaita millään kokeilla ja niin voimme vapaasti valita sen mielivaltaisesti.

Globaali vaihe on kuvitteellinen luku. Luvun moduulin on oltava 1, jotta kokonais todennäköisyys säilyisi. Kokeet eivät pysty havaitsemaan globaalia vaihesiirtymistä, koska mittauksen tulokset:

$$ k_0 \ vert 0 \ rangle + k_1 \ vert 0 \ rangle $$

missä tahansa suodattimissa on sama kuin mittauksessa:

$$ \ text {phase} \ kertaa k_0 \ vert 0 \ rangle + \ text {phase} \ kertaa k_1 \ vert 0 \ rangle $$

koska $ | \ text {phase} | = 1 $ .

Luonnollinen valinta on siksi valita globaali vaihe, joka kiertää tilaa siten, että $ \ vert 0 \ rangle -kerroin $ : sta tulee reaaliluku eli asetetaan $ b = 0 $ .

Joten esimerkiksi kertomalla kuvitteellisella luvulla, voisimme kartoittaa yleisemmät tilat rajoitetuimpiin, kuten

$$ \ begin {alignat *} {2} & \ begin {bmatrix} i \\ 0 \ end {bmatrix} \ times -i & & = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} & & = \ vert 0 \ rangle \\ & \ begin {bmatrix} -i \\ 0 \ end {bmatrix} \ kertaa i & & = \ begin {bmatrix } 1 \\ 0 \ end {bmatrix} & & = \ vert 0 \ rangle \\ & \ begin {bmatrix} 0 \\ – 1 \ end {bmatrix} \ kertaa -1 & = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} & & = \ vert 0 \ rangle \\ & \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ begin {bmatrix} i \\ i \ loppu {bmatrix}) \ kertaa -i & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ begin {bmatrix } 1 \\ 1 \ end {bmatrix} & & = \ vert + \ rangle \\ \ end {alignat *} $$

Miksi Pauli-matriiseja on tarkalleen kolme?

Mielestäni tällä on selviä syvällisiä ja selkeitä matemaattisia syitä, jotka liittyvät siihen, että ne ovat 2×2-hermiittisen matriisitilan perusta, kuten mainitaan: / div> ja https://en.wikipedia.org/wiki/Bloch_sphere#Pure_states ja se on ydin kysymykseen, miksi Bloch-pallo on käytetty, mutta en ole ymmärtänyt sitä täysin.

Mutta käytännöllisemmällä tavalla: kolme haluamaamme mittauslaitetta Cribed ovat ainoat kolme mahdollisuutta (globaaliin kiertoon saakka), että yhden läpikäynnin jälkeen menetät kaikki tiedot kahdesta muusta (50% todennäköisyys kahdessa muussa kokeessa).

Siksi ne ovat kohtisuorassa tietyssä mielessä ja maksimaalinen, koska mikään muu kokeilu, jonka voisimme lisätä tähän kokeilujoukkoon, jotta tämä ominaisuus säilyisi.

Pelaa Quirkilla

https://algassert.com/quirk

Tämä on toinen hyödyllinen ehdotus. Napsauta näitä kuvia, kunnes kaikella on järkeä.