Jotta diagonalisoitaisiin kvadraattitermi antiferromagneettisessa Heisenberg-mallissa, voimme ottaa käyttöön Bogoliubov-muunnoksen: $ a_k = u_k \ alpha_k + v_k \ beta_k ^ \ dagger $, $ b_k ^ \ dagger = v_k \ alpha_k + u_k \ beta_k ^ \ dagger $. Tämä muunnos voi diagonalisoida hamiltonilaisen asteen termin:
\ begin {align} H & = \ sum_k (a ^ \ dagger_ka_k + b ^ \ dagger_kb_k + \ gamma_ka ^ \ dagger_kb ^ \ dagger_k + \ gamma_ka_kb_k) \\ & = \ summa _ {\ bf {k}} \ begin {pmatrix} a _ {\ bf {k}} ^ \ tikari & b _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma _ {\ bf {k }} \\\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} a _ {\ bf {k}} \\ b _ {\ bf {k}} ^ \ tikari \ end {pmatrix} \\ & = \ summa _ {\ bf {k}} \ begin {pmatrix} \ alpha _ {\ bf {k}} ^ \ tikari & \ beta _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{ k}} \\ v_ {k} & u_ {k} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma_ {\ bf {k}} \\\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{k}} \\ v_ {k} & u_ {k} \ loppu {pm atrix} \ begin {pmatrix} \ alpha _ {\ bf {k}} \\ \ beta _ {\ bf {k}} ^ \ dagger \ end {pmatrix} \\ & = \ sum _ {\ bf {k}} \ begin {pmatrix} \ alpha _ {\ bf {k}} ^ \ dagger & \ beta _ {\ bf {k}} \ end { pmatrix} \ begin {pmatrix} \ epsilon_k & 0 \\ 0 & \ epsilon_k \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} \ alfa _ {\ bf {k}} \\ \ beta _ {\ bf {k}} ^ \ tikari \ end {pmatrix} \ end {tasaus}
kanssa $ \ epsilon_k = \ sqrt {1- \ gamma_k ^ 2}, u_k = \ sqrt {\ frac {1+ \ epsilon_k} {2 \ epsilon_k}}, v_k = – \ frac {\ gamma_k} {\ sqrt {2 \ epsilon_k (1+ \ epsilon_k)}} $ . Mutta muunnos U: $ \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{k}} \\ v_ {k} & u_ { k} \ end {pmatrix} $ ei ole yhtenäinen, koska $ u_k, v_k $ ovat todellisia, $ U ^ \ tikari \ neq U ^ {- 1} $.
Eikö bosonien määrää ole säilytetty , joten muunnos ei välttämättä ole yhtenäinen? Onko bosonin transformaatiolle rajoituksia?
Kommentit
- Tärkeää on, että muunnoksen jälkeen vakiokommutointisuhteet ovat edelleen voimassa.
- liittyvät: physics.stackexchange.com/q/53158
vastaus
Olet oikeassa, Bogoliubov-muunnokset eivät ole yleensä yhtenäisiä. Määritelmän mukaan
Bogoliubov-muunnokset ovat lineaarisia muunnoksia luomis- / tuhoamisoperaattoreista, jotka säilyttävät algebralliset suhteet niiden joukossa.
Algebralliset suhteet ovat pääasiassa kommutointi / antikommutointisuhteet , jotka määrittelevät bosoniset / fermioniset operaattorit. Missään määritelmässä ei määritelty, että muunnoksen tulisi olla yhtenäinen. Itse asiassa Bogoliubov-muunnos (yleisimmässä muodossaan) on symplektinen bosoneille ja ortogonaalinen fermioneille . Kummassakaan tapauksessa Bogoliubovin muunnos ei ole yhtenäinen. Bosonien Bogoliubov-muunnos vastaa oskillaattoreiden lineaarista kanonista muunnosta klassisessa mekaniikassa (koska bosonit ovat oskillaattoreiden kvantteja), ja tiedämme, että lineaariset kanoniset muunnokset ovat symplektisiä klassisen vaihetilan symplektisen rakenteen vuoksi.
Joten tarkemmin sanottuna, mitkä ovat Bogoliubov-muunnosten rajoitukset? Tarkastellaan joko bosonien $ b_i $ tai fermionien $ f_i $ yksittäisten hiukkasten $ n $ tapausta (jossa $ i = 1,2, \ cdots, n $ merkitsee yksittäisten hiukkasten tiloja, kuten momentin ominaistiloja). Sekä $ b_i $ että $ f_i $ eivät ole hermitiläisiä operaattoreita, jotka eivät ole kovin käteviä yleiskäsittelylle (koska emme voi yksinkertaisesti käsitellä $ b_i $: ta ja $ b_i ^ \ dagger $: a itsenäisenä perustena, koska ne ovat edelleen yhteydessä toisiinsa. Siksi päätämme kirjoittaa operaattorit uudelleen seuraaviksi lineaarisiksi yhdistelmiksi (ajatuksena ajatuksesta hajottaa kompleksiluku kahdeksi reaaliluvuksi, kuten $ z = x + \ mathrm {i} y $): $$ \ aloita {split} b_i & = a_i + \ mathrm {i} a_ {n + i} \\ b_i ^ \ tikari & = a_i – \ mathrm {i} a_ {n + i} \ end {split} \ qquad \ begin {split} f_i & = c_i + \ mathrm {i} c_ {n + i} \\ f_i ^ \ tikari & = c_i- \ mathrm {i} c_ {n + i} \ end {split} $$ missä $ a_i = a_i ^ \ tikari $ ja $ c_i = c_i ^ \ dagger $ (hintaan $ i = 1,2, \ cdots, 2n $) ovat hermitiläisiä operaattoreita (analoginen reaalilukuihin).Heidän on perittävä kommutaatio- tai antikommutaatiosuhteet ”monimutkaisista” bosoneista $ b_i $ ja fermioneista $ f_i $: $$ \ begin {split} [b_i, b_j ^ \ dagger] = \ delta_ {ij}, [b_i, b_j] = [b_i ^ \ tikari, b_j ^ \ tikari] = 0 & \ Rightarrow [a_i, a_j] = \ frac {1} {2} g_ {ij} ^ a \\ \ {f_i, f_j ^ \ tikari \} = \ delta_ {ij}, \ {f_i, f_j \} = \ {f_i ^ \ tikari, f_j ^ \ tikari \} = 0 & \ Rightarrow \ {c_i, c_j \} = \ frac {1} {2} g_ {ij} ^ c \ end {split} $$ missä $ g_ {ij} ^ a $ ja $ g_ {ij} ^ c $ kutsutaan joskus kvanttimittariksi bosonien ja fermionien osalta. Matriisilomakkeissa ne annetaan $$ g ^ a = \ mathrm {i} \ left [\ begin {matrix} 0 & \ mathbb {1} _ {n \ kertaa n} \\ – \ mathbb {1} _ {n \ kertaa n} & 0 \ end {matrix} \ right] \ qquad g ^ c = \ left [\ begin { matriisi} \ mathbb {1} _ {n \ kertaa n} & 0 \\ 0 & \ mathbb {1} _ {n \ kertaa n} \ loppu {matriisi} \ oikea], $$ ja $ \ mathbb {1} _ {n \ kertaa n} $ on identiteettimatriisi $ n \ kertaa n $. Joten luomis- / tuhoamisoperaattoreiden algebrallisten suhteiden säilyttäminen on kvanttimittarin säilyttäminen . Operaattoreiden $ a_i $ ja $ c_i $ yleiset lineaariset muunnokset ovat muodossa $$ a_i \ – \ sum_ {j} W_ {ij} ^ a a_j \ qquad c_i \ – \ sum_ {j} W_ {ij} ^ c c_j, $$ missä muunnosmatriisielementtien $ W_ {ij} ^ a, W_ {ij} ^ c \ in \ mathbb {R} $ on oltava todellisia, jotta voidaan varmistaa, että operaattorit $ a_i $ ja $ c_i $ pysyvät Hermitian muutoksen jälkeen. Kvanttimittarin säilyttäminen edellyttää sitten $$ W ^ ag ^ a W ^ {a \ intercal} = g ^ a \ qquad W ^ cg ^ c W ^ {c \ intercal} = g ^ c. $$ Joten mikä tahansa todellinen lineaarinen muunnos, joka täyttää edellä mainitut ehdot, on Bogoliubov-muunnos yleisimmassa mielessä. Sitten kvanttimittarin ominaisuudesta riippuen Bogoliubov-muunnos on joko symplektinen tai ortogonaalinen. Bosonisen kvanttimittarin osalta $ g ^ a = -g ^ {a \ intercal} $ on antisymmetrinen , joten muunnos $ W ^ a $ on symplektinen . Fermionisen kvanttimittarin osalta $ g ^ c = g ^ {c \ intercal} $ on symmetrinen , joten muunnos $ W ^ c $ on ortogonaalinen .
kommentit
- Voiko kukaan suositella resurssia saadakseen lisätietoja tästä formalismista, ts. luomis- / tuhoamisoperaattoreiden hajoamisesta nimellä ” kompleksiluvut ” ja kvanttimittarin säilyttäminen?
Vastaus
Kvanttimekaanisen muunnoksen yhtenäisyyttä ei määritä se, miten se sekoittaa luomisen ja tuhoamisen operaattorit. (Ei ole väliä millainen matriisi — ortogonaalinen, symplektinen tai yhtenäinen — on mukana sekoittamisessa!) Pikemminkin yksi tulisi tutkia, liittyykö muunnos Hilbert-avaruuteen vaikuttavaan yhtenäiseen operaattoriin.
Mainittu Bogoliubov-muunnos OP voidaan esittää seuraavasti ($ \ textbf {k} $ – riippuvuus on estetty): $$ \ hattu {a} \ \ \ oikeanpuoleinen \ \ \ hattu {a} ^ {\ prime} = \, \ cosh \ lambda \, \ hattu {a} \, + \, \ sinh \ lambda \, \ hattu {b } ^ {\ dagger}, \\ \ hattu {b} ^ {\ dagger} \ \ \ rightarrow \ \ \ hat {b} ^ {\ prime \, \ dagger} = \, \ sinh \ lambda \, \ hattu {a} \, + \, \ cosh \ lambda \, \ hat {b} ^ {\ dagger}, $$, jossa $ \ lambda $ on todellinen luku. Tämä muunnos on yhtenäinen vain ja vain, jos on olemassa yhtenäinen operaattori $ U $ siten, että $$ \ hat {a} ^ {\ prime} = U \ hat {a} U ^ {- 1}, \\ \ hat {b} ^ {\ prime \, \ dagger} = U \ hattu {b} ^ {\ tikari} U ^ {- 1}. $$ Nämä suhteet täyttävät tosiaan seuraavalla valinnalla: $$ U = \ exp \ Big [\ lambda (\ hat {a} \ hat {b } – \ hattu {b} ^ {\ tikari} \ hattu {a} ^ {\ tikari}) \ Big], $$, joten muunnos on yhtenäinen.
vastaus
Anna minun työskennellä matriisiyhtälön $$ H = \ sum _ {\ bf {k}} tämän osan kanssa \ begin {pmatrix} a _ {\ bf {k}} ^ \ tikari & b _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma _ {\ bf {k}} \\\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 \ end {pmatrix} \ begin { pmatrix} a _ {\ bf {k}} \\ b _ {\ bf {k}} ^ \ tikari \ end {pmatrix} = \ summa _ {\ bf {k}} \ begin {pmatrix} \ alpha _ {\ bf {k }} ^ \ tikari & \ beta _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} u_k & v_ {{k}} \\ v_ {k} & u_ {k} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma _ {\ bf {k}} \\\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{k}} \\ v_ {k} & u_ {k} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix } \ alpha _ {\ bf {k}} \\ \ beta _ {\ bf {k}} ^ \ dagger \ end {pmatrix} $$ Tärkeää on, että kenttien muunnos voidaan nähdä sekä trans matriisin muodostuminen $$ \ Gamma ~ = ~ \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma _ {\ bf {k}} \\\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 \ end {pmatrix} ~ \ rightarrow ~ \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{k}} \\ v_ {k } & u_ {k} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma _ {\ bf {k}} \ \\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{k}} \\ v_ {k} & u_ {k} \ end {pmatrix} ~ = ~ M ^ \ tikari \ Gamma M, $$ missä $ M ^ \ tikari ~ = ~ M $. Tämän determinantti on $ det (M \ Gamma M) ~ = ~ det (M) det (\ Gamma) det (M) $ $ = ~ det (\ Gamma) $ $ M $: n determinantti antaa sitten $ u_k ^ 2 ~ – ~ v_k ^ 2 ~ = ~ 1 $. Nämä voidaan sitten esittää $ u_k ~ = ~ sinh (k) $ ja $ v_k ~ = ~ cosh (k) $.
Arvioi nyt kommutaattori $ [a_k, ~ a ^ \ dagger_k] $ $$ [a_k, ~ a ^ \ tikari_k] ~ = ~ u_k ^ 2 [\ alfa_k, ~ \ alpha_k ^ \ tikari] ~ + ~ v_k ^ 2 [\ beta ^ \ tikari_k, ~ \ beta_k] ~ = ~ u_k ^ 2 [\ alpha_k, ~ \ alpha_k ^ \ tikari] ~ – ~ v_k ^ 2 [\ beta_k, ~ \ beta ^ \ tikari_k]. $$ Kommutaattoreille $ [\ alpha_k, ~ \ alpha_k ^ \ dagger] ~ = ~ [\ beta_k, ~ \ beta_k ^ \ dagger] ~ = ~ 1 $ ja näemme sitten $ [a_k, ~ a_k ^ \ dagger] ~ = ~ 1 $. Sama pätee selvästi $ [b_k, ~ b_k ^ \ dagger] ~ = ~ 1 $ Tämä tarkoittaa, että kaikki järjestelmät, joissa on $ N \ hbar $ toimintayksiköt, ovat vakioita. Järjestelmän vaihetilan tilavuudessa ei ole muutoksia. tämä tarkoittaa sitten, että Bogoliubov-muunnokset ovat käytännössä yhtenäisiä.
Kommentit
- Joten yleiset yhtenäiset muunnokset ’ s määritelmät ovat pidempiä $ U ^ {\ dagger} = U ^ {- 1} $, jotka opimme oppikirjasta? En ymmärrä ’ en ymmärrä ’ Tämä tarkoittaa, että mikä tahansa järjestelmä, jolla on Nℏ toimintayksikköä, on vakio. Järjestelmän vaihetilan tilavuudessa ei ole muutoksia ’, haluatko selittää sen?
- Muuten, onko muunnokselle rajoituksia bosonijärjestelmän (Hamiltonin)?
- @ZJX En ymmärrä miksi Lawrence sanoi, että bosoniset Bogoliubov-muunnokset ovat ” tosiasiallisesti yhtenäinen ”. Luulen, että heidän pitäisi olla sympaattisia yleensä. Rajoitus johtuu bosonisten operaattoreiden määritelmän säilyttämisestä (siten, että bosoniset operaattorit pysyvät bosonina muutoksen aikana). Bosonic-järjestelmästä (Hamiltonin) ei tule mitään rajoituksia. Niin kauan kuin hamiltonilainen on erakko, se on laillinen hamiltonilainen. Kaikki hamiltonilaisille sovelletut symplektiset muunnokset ovat laillisia Bogoliubov-muunnoksia.
Vastaa
Ei, se on yhtenäinen transformaatio, mutta vain kun tarkastelet Hamiltonin elektronin reikää yhdessä.
kommentit
- Mutta tässä mallissa on kyse spinista, se ’ ei ole fermion, eikö?