Tässä haluamme osoittaa, että Box-Muller-menetelmä tuottaa parin riippumattomat vakio-Gaussin satunnaismuuttujat . Mutta en ymmärrä, miksi käytämme determinanttia? Minulle, kun sinulla on kaksi riippumatonta muuttujaa, niveltiheystoiminto on vain kahden tiheysfunktion tulo. Joku voi selittää minulle determinantin merkityksen tässä? Ole hyvä.
kommentit
- Muuttujien " muutos " liittyy siirtymiseen X: stä Y: hen, ja siksi kertoa muunnoksen jakobilaisella muunnoksella, joka on edellä kuvattu tekijä. Katso esimerkiksi ehdotus 8 täältä math.uah.edu/stat/dist/Transformations.html
- Ok, ymmärrän kiitos Alex vastauksestasi.
Vastaa
Olkoon $ Z = \ sqrt {-2 \ ln (X_1)} $, Meillä on
\ begin {tasaus} \ mathbb {P} \ vasen [Z \ leq z \ right] = \ mathbb { P} \ vasen [-2 \ ln (X_1) \ leq z ^ 2 \ oikea] = \ mathbb {P} \ vasen [\ ln (X_ 1) \ geq – \ frac {z ^ 2} {2} \ right] = 1 – \ mathbb {P} \ biggl [X_1 < \ exp \ left (- \ frac {z ^ 2} {2} \ right) \ biggr] \, \ end {align} $ X_1 $ on määritelty yhtenäisesti $ [0, 1] $: ssa, siksi $$ \ mathbb {P} [Z \ leq z] = 1 – \ int_0 ^ {\ exp (-z ^ 2/2)} \, dt = 1 – \ exp \ vasen (- \ frac {z ^ 2} {2} \ oikea). $$ Todellakin $$ f_Z (z) = \ aloita {tapaukset} \ exp \ vasen (- \ frac {z ^ 2} {2} \ oikea), \ quad z > 0 \\ 0 \ qquad \ qquad, \ quad \ text {ow} \ end {cases} $$ anna $ W = 2 \ pi X_2 $. Siksi $ X_2 $ on tasaisesti jaettu dollariin $ [0,1] $, joten $$ f_W (w) = \ begin {cases} \ frac {1} {2 \ pi}, \ quad 0 < w \ le 2 \ pi \\ 0 \, \, \, \ ,, \ quad \ text {ow} \ end {cases} $$ Koska $ X_1 $ ja $ X_2 $ ovat riippumattomia, $ Z $ ja $ W $ tulisi olla riippumattomia. Meillä on $$ f_ {Z, W} (z, w) = f_ {Z} (z) f_ {W} (w) = \ begin {cases} \ frac {1} {2 \ pi} \ exp \ left (- \ frac {z ^ 2} {2} \ oikea), \ quad z > 0 \ quad \ text {ja} \ quad 0 < w \ le 2 \ pi \\ 0 \ qquad \ qquad \ quad \ ,, \ quad \ text {ow} \ end {cases} $$ Määritä funktio $ q: (0, \ infty) \ kertaa ( 0,2 \ pi] \ – \ mathbb {R} ^ 2 $ siten, että $ q (z, w) = (z \ cos (w), z \ sin (w)) $ siis $$ \ mathbb {P} _ {Y_1, Y_2} = \ mathbb {P} _ {Z, W} \ circ q ^ {- 1} $$ toisin sanoen $$ q_ {Y_1, Y_2} (y_1, y_2) = \ frac {f_ { Z, W} (q ^ {- 1} (y_1, y_2))} {| \ det (q ”(q ^ {- 1} (y_1, y_2))) |} $$ voimme näyttää helposti $$ z = \ sqrt {y_1 ^ 2 + y_2 ^ 2} $$ sitten $$ q_ {Y_1, Y_2} (y_1, y_2) = \ frac {1} {2 \ pi} \ exp \ vasen (- \ frac {y_1 ^ 2 + y_2 ^ 2} {2} \ oikea) $$
vastaus
Voidaan nähdä, että $ Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2 = -2 \ log {X_2} $ ja että $ Y_2 \ yli Y_1 $ $ = \ tan (2 \ pi X_1) $ .
Siksi $ X_1 = {1 \ yli {2 \ pi}} {\ arctan {Y_2 \ yli Y_1}} $ ja $ X_2 = \ exp {- (Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2) \ yli 2} $ .
Erotuksen saaminen $ dX_1 = {1 \ yli {2 \ pi}} {{- Y_2dY_1 + Y_1dY_2} \ yli {Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2}} $ .
Vastaavasti $ dX_2 = {\ exp {- {Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2} \ yli 2} (Y_1 dY_1 + Y_2dY_2)} $ .
Siksi Jacobian $ \ mathbb J $$ ({{X_1, X_2} \ yli {Y_1, Y_2}}) $ = $ 1 \ yli {2 \ pi} $ $ \ exp {- (Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2) \ yli 2 } $ .
PDF-tiedostoille muodossa $ f_ {X_1, X_2} (x_1, x_2) $ $ \ mathbb J $$ ({{X_1, X_2} \ yli {Y_1, Y_2}}) = $ $ f_ {Y_1, Y_2} (y_1, y_2) $ ,
se antaa $ f_ {Y_1, Y_2} (y_1, y_2) = $ $ \ sqrt {1 \ yli {2 \ pi}} $ $ \ exp {-y_1 ^ 2 \ yli 2} $ $ \ sqrt {1 \ yli {2 \ pi}} $ $ \ exp {-y_1 ^ 2 \ yli 2} $
osoittaa, että $ Y_1, Y_2 $ ovat riippumattomia Gaussin satunnaismuuttujia.
Commen ts
- $ X_1 $ -välin tulisi olla (0,1), mutta $ X_1 = \ frac {1} {2 \ pi} \ arctan {\ frac {Y_2 } {Y_1}} $ on $ (- \ frac {1} {4}, \ frac {1} {4}) $