Ero kokonaislukujen ja desimaalilukujen välillä

”Laskeminen” (mikä johtaa numeroiden laskemiseen) on erityinen (epäselvyyksiä) ”mittaus” -tapa, jossa ”mittarin / yksikön” rooli näkyy paremmin. Luonnollisesti (luulen) luonnollinen yksikkö, johon ”laskemisessa” viitataan, on jokin asiaankuuluva atomiyksikkö (kuten ”koko, operatiivinen henkilö”, ei pikemminkin toiminnallinen pienempi osa henkilöä).

Toisin sanoen laskeminen implisiittisesti mittaa yksikköä pienimmän / mahdollisen atomin / toiminnallisen toimenpiteen (usein niin yleisesti implisiittinen, että siitä ei ole keskustelua).

Harrastajaanalogi syntyy, kun edistyneemmät ala-asteet altistetaan ensin ajatus siitä, että äärettömät summat (alias ”sarja”) kuuluvat ”integraalien” sateenvarjon alle, mutta ”laskentamittauksella” … ja että erillisillä joukkoilla on ainakin yksi luonnollinen säännöllinen, positiivinen Borel-mitta, nimittäin laskentamitta. / p>

Kommentit

• 1. Siihen viittasin alkulauseessani, joten olen tietysti samaa mieltä ja pidän sävystä, jonka annat sille. 2. Mutta miten vastaat aivan raaka-alkajille, jotka kysyvät ” Miksi ’ voimme sanoa 0,04 DekaPeople, koska voimme sanoa 0,04 KiloPeople? Jotenkin se, että 0,04 DekaPeople = 0,4 People ja 0,04 KiloPeople = 40 People ei auta: heidän näkemyksensä mukaan kun toimimme desimaalimetrisessä järjestelmässä, ei pitäisi turvautua vieraisiin näkökohtiin ja asioiden ei pitäisi riippua siitä, onko ” nimittäjä ” on Ihmiset tai litraa maitoa .
• @schremmer, minä ’ väitän, että ilman ” turvautumista vieraisiin näkökohtiin ” aritmeettisella on edelleen järkevää, varmaa, mutta osuvuus / sovellettavuus voi joskus kärsiä. Kontekstilla on merkitystä.
• Konteksti on tietenkin välttämätön, kuten tapahtuu suurimman osan ajasta. Nämä ovat kuitenkin niin sanottuja kehitysopiskelijoita, ja heidän on hyvin vaikea saada huomioon logiikkaa.Mutta sitten, kun he alkavat, he luonnollisesti ripustavat sellaisiin asioihin. Yritän kertoa heille, että he voivat aina kertoa ” nimittäjältä ”, mihin he ovat samaa mieltä, mutta he vaativat silti että ” pitäisi olla sääntö ” riippumatta siitä, puhummeko ihmisistä litraa maitoa. Tätä en tiedä ’ en tiedä miten vastata.
• @schremmer, saatat kertoa heille, että kaikkea (edes matematiikassa) ei voida vähentää luettelo yksiselitteisistä säännöistä. Ymmärrän, että on olemassa erilaisia kehitystilanteita, mutta yritän silti vakuuttaa opiskelijoille kaikilla tasoilla, että heidän ei pidä keskeyttää omaa kriittistä harkintaansa … mutta / ja että heillä on vastuu käyttää sitä sen sijaan, että käyttäisit vain maagista ajattelua tai vetoaisi selittämättömiin ” sääntöihin ”.
• Vastaukseni kysymykseen kuten ” Miksi ’ ei voida sanoa 0,04 DekaPeople [0,4 henkilöä] ” on, että voimme varmasti sanoa jotain sellaista. Esimerkiksi. Kysymys: Mikä on Falklandinsaarten väestötiheys neliökilometriä kohden? Vastaus: 0,26 henkilöä. linkki

Miksi emme voi sanoa ” 0,04 henkilöä ”, koska voimme sanoa ” 0,04 KiloPeople ”?

Jotkut määrät (esim. Ihmiset) ovat erilliset määrät ja jotkut (esim. metrit, dollarit) ovat jatkuvia suuruuksia.

Seuraava keskustelu on peräisin täältä . (Olen korostanut sanat ” luonnollinen numero ” ja ” desimaali. ”)

Määrien luokittelu

Määrä on joko erillinen tai jatkuva . Diskreetti määrä on laskettavan joukon suuruus (sellainen, jonka elementit ovat ”toisistaan erillään ja erikseen erillisiä”). Sen numeroarvo on luonnollinen luku (”jakamista pienemmäksi määräksi kuin yksikköä ei voida pitää”) ja sen yksikkö on selvä alussa. Esimerkki erillisestä suuruudesta on ”kolme poikaa”.

Jatkuva määrä on ”jatkuvuuden” (”jatkuva kokonaisuus, joka voidaan jakaa mihin tahansa määrään pienempiä osia”) suuruus siten, että ”mikä tahansa kaksi tällaista kokonaisuutta voidaan yhdistää suuremmaksi ”). Sen numeerista arvoa (a desimaali tai murto-osaa) ja sen yksikköä ”ei ole määritetty a priori . ” Esimerkki jatkuvasta määrästä on ”kolme dollaria”.

Jatkuva määrä on joko laaja tai intensiivinen . Ensimmäinen ilmaisee leveyden tai suuruuden (kuten pinta-ala tai paino); jälkimmäinen ilmaisee laatua tai voimakkuutta (kuten tiheys tai nopeus). Laajassa määrässä on additiivisuutta: kahden ruumiin liiton attribuutti on yhtä suuri kuin kahden ruumiin attribuuttien summa. Voimakkaalla määrällä ei ole additiivisuutta. Esimerkiksi kahden ruumiin paino on välttämättä niiden painojen summa, mutta kahden ruumiin nopeus ei välttämättä ole niiden nopeuksien summa.

Teksti on kirjoitettu matematiikan opettajille, mutta se voidaan muotoilla uudelleen, jotta aloittelijat ymmärtäisivät sen helpommin.)

Oma alkuperäinen vastaukseni (sisältyy tähän kontekstiin), johon OP toi ei käsitellyt aiottua kysymystä:

Joillakin määrillä, kuten esimerkiksi $ 1/3 $ litra, on desimaaliluvut ( $ 0. \ overline {3} $ litraa), mutta ei kokonaislukuesityksiä.

Kommentit

• Mitä tekemistä tällä on minun kysymykseni kanssa?
• Kysymyksesi oli ” Mihin vedät rajan kokonaiset ja desimaalit ja miten selität sen hyvin raaka-alkuvaiheessa oleville opiskelijoille, jotka haluavat ymmärtää ? ” I ehdotan, että piirrät viivan, kun desimaaliesitys ei pääty ja että tämän esimerkin tulisi olla selkeä ” hyvin raakalle alulle ” .
• @Hyvin käsittelemättömillä aloittelijoilla ei ole aavistustakaan siitä, mitä desimaali voi edustaa, puhumattakaan desimaaliesityksestä, joka ei pääty. Lisäksi 1/3 litraa maitoa on 1 , joka on kokonaisluku, joka numeroi asiat, _ joita _ litran maidon valmistamiseen kuluu 3, joten tässä on koko numerosi esitys.Joka tapauksessa sillä ei ole juurikaan tekemistä alkuperäisen kysymyksen kanssa.
• Joten miten olisi $ \ sqrt {2} $ metriä, tasasivuisen suorakulmion hypotenuusin pituuden kummallakin pituudella $ 1 $ mittari? Oletteko samaa mieltä siitä, että sillä on desimaaliesitys, mutta ei kokonaislukuesitystä?
• Tietysti, mutta mitä sillä on tekemistä alkuperäisen kysymyksen kanssa? Vastaat edelleen kysymykseen en koskaan kysynyt . Kysymykseni kääntyy ympäri: Miksi ’ t sanotaan ” 0,04 Ihmiset ” koska voimme sanoa ” 0.04 KiloPeople ”?

Mielestäni sekaannus johtuu suurelta osin siitä, että monet ihmiset löytävät metrijärjestelmän etuliitteet ( kilo- , centi- jne.) ja tunne desimaalit (jopa päättyvät) vähemmän intuitiivisiksi kuin heidän edustamansa ”mauton murtoluku”.

Jos joku kysyi minulta ”Kuinka 0,004 kilometriä, desimaaliluku, voi olla sama kuin 4 metriä, kokonaisluku ”? (kuten OP mainitsee kysymyksensä alla olevissa kommenteissa), vastaan tällä tavalla:

Onko sinua häiritsevä myös se, että $ 1 / 2 dollaria tusinaa munaa, murto-osa, on sama kuin 6 munaa, kokonaisluku?

Mitä seuraavaksi tapahtuu, riippuu kysyjän vastauksesta Oletetaan, että heidän vastauksensa on jotain: ”Okei, luulen saan sen. Mutta miksi voin sanoa” 0,04 kilopopulia ”, mutta en voi” sanoa ”0,04 ihmistä”? ”Siinä tapauksessa vastaisin :

Hämmentääkö sinua myös se, että voit keittää puoli tusinaa munaa, mutta et voi keittää puolta munaa?

Selkeästi näiden vastausten tarkoitus ei ole sulkea keskustelua zingerillä, vaan pikemminkin tuoda pinnalle taustalla olevat ongelmat: ” 1 kilopoperi ”tarkoittaa samaa kuin” 1000 ihmistä ”, ja sinulla voi olla puoli tuhatta ihmistä samalla tavalla kuin puolella kymmenestä munat. Toisaalta ei voi olla 1/7 $ tuhannesta ihmisestä, täsmälleen samalla tavalla kuin sinulla ei ole 1/7 dollaria kymmenestä munasta.

kommentit

• Minun ongelmani kysymyksessä, kuten ” Miksi ’ t sanomme ’ 0.04 Ihmiset ’ ”, että se on minusta tuntuu siltä kuin voimme varmasti sanoa niin. Se voi olla esimerkiksi väestötiheys neliökilometriä kohden tietyllä alueella. Itse asiassa 0,04 ihmistä on tosiasiallisesti väestötiheys (km ^ 2) Norjan Huippuvuorten ja Jan Mayenin saarilla. linkki .
• @mweiss Kehittämisopiskelijat, jotka alkavat esittää kysymyksiä, eivät pidä vastauksesta kysymykseen. He hylkäävät ”, häiritseekö sinäkin … ” ” opettajana temppu ”. Myöhemmin keskustelussa heillä ei tietenkään ole mitään vastalauseita perusteluihisi ja he itse asiassa sopivat siihen. Mielestäni heidän kysymyksensä kuitenkin mielestäni oikeastaan on, kuten kommentoin Paul Garrettille: ” kun toimimme desimaalimetrisessä järjestelmässä, ei pitäisi turvautua ulkopuolisiin näkökohtiin. ja asioiden ei pitäisi riippua siitä, onko ” nimittäjä ” Ihmiset vai litraa maitoa. ”