Minulla on jatkuva säde keskisarakkeen poikki (en ole varma, piirränkö sen oikein vai ei)
Siirtymä- ja voimakaavio on seuraavanlainen:
Ensimmäinen kaavio on taivutusmomentti, toinen aksiaalivoima, kolmas on siirtymä.
Mikä on rajaehto $ R_A $, $ R_B $ ja $ R_C $?
Mistä voin päätellä, se näyttää olevan
$ w (0) = w (L) = w ( 2L) = 0 $ (vastaa kolmen tuen taipumaa)
$ M (0) = M (2L) = 0 $ tai $ \ frac {d ^ 2w (0)} {dx ^ 2} = \ frac {d ^ 2w (2L)} {dx ^ 2} = 0 $ (vastaa hetkeä).
Mutta epäilen, että minulta puuttuu vielä joitain rajaehtoja voidakseni johdetaan koko siirtymän / voiman kaavio jatkoa varten ous palkki. Onko mitään reunaehtoja, joista olen unohtanut?
Vastaa
No, puuttuvat rinteiden yhteensopivuus keskitukessa :
$$ \ frac {dw (L ^ -)} {dx} = \ frac {dw (L ^ +)} {dx} $$
Jos kyseessä on symmetrinen geometria & kuormitettaessa, palkin kaltevuus keskituella on nolla.
Koska taivutusmomentilla ei ole johdannaista kohdassa x = L, täytyy johtaa molempien puoliskojen taipumat erikseen ja ”liittää” ne yhteensopivuuteen.
Päivitys: säteen taipumakaavan johtaminen:
Alkaen Euler-Bernoulli-säteen yhtälöstä (olettaen vakio EI) ja ottamalla x ulommasta tukee kohti keskustaa: $$ q = EI \ frac {dw ^ 4} {dx ^ 4} $$
Integrointi neljä kertaa:
$$ EI \ frac {d ^ 3 w} {dx ^ 3} = qx + A $$ $$ EI \ frac {d ^ 2 w} {dx ^ 2} = q \ frac {x ^ 2} {2} + Kirves + B $$ $$ EI \ frac {dw} {dx} = q \ frac {x ^ 3} {6} + A \ frac {x ^ 2} {2} + Bx + C $$ $$ EI w = q \ frac {x ^ 4} {24} + A \ frac {x ^ 3} {6} + B \ frac {x ^ 2} {2} + Cx + D $$
Ongelma on symmetrinen, ja rajaehdot ovat: $$ w (0) = w (L) = 0 $$ $$ \ frac {dw (L)} {dx} = 0 $$ $$ \ frac {d ^ 2 w (0)} {dx ^ 2} = 0 $$
Siksi voimme heti nähdä, että: $ B = D = 0 $
Meillä on nyt kaksi yhtälöä kahdella tuntemattomalla (A, C). Ratkaisemalla löydämme: $$ A = – \ frac {3 L q} {8} $$ $$ C = \ frac {L ^ 3 q} {48} $$
Voimme nyt korvata kaikki vakiot takaisin w: n yhtälöön. Tulosten yksinkertaistaminen:
$$ w = \ frac {qx} {48EI} (Lx) ^ 2 (L + 2 x) $$
Mikä on sama kuin viitattu tulos täällä (huomaa, että heidän koordinaattijärjestelmänsä keskellä on x = 0). Huomaa myös, kuinka tämä on täsmälleen sama tulos kuin -tuetulla ulokkeella . Tämä johtuu symmetriasta, eli säteen kaltevuus keskellä on nolla (mikä on sama rajaehto kuin uloketuki).
Voit myös korvata taivutusmomenttiyhtälöllä:
$$ M = EI \ frac {d ^ 2 w} {dx ^ 2} = \ frac {1} {8} qx (4 x-3 L) $$
kommentit
- a) kaltevuusolosuhteiden yhteensopivuudesta on hyötyä vain, jos jatkuvatoiminen säde voidaan mallintaa kahdeksi vertailupalkiksi. Kuinka se on hyödyllistä tässä tapauksessa? b) Miksi sanot, että taivutusmomentti on epäjatkuva $ L $: lla? kysymykseni hetkikaavio osoittaa selvästi, että se on jatkuva.
- Olisi kiitollinen, jos pystyt käsittelemään hieman tarkemmin ja jos pystyt osoittamaan, kuinka rajaolosuhteesi voivat johtaa jatkuvan säteen siirtymä- / taivutusmomenttikaavioon. .
- @Graviton, a) päivitän kysymyksen johdannaisella. b) olet oikeassa, olin hieman löysä matemaattisen terminologian suhteen. Tarkoitan sitä, että taivutusmomentilla ei ole johdannaista kohdassa x = L.