Aloittaakseni kotitehtävän ongelmana, melko pitkä.
Massapartikkeli, joka on 208 kertaa elektronin massa, liikkuu pyöreällä kiertoradalla varauksen $ + 3e $ ytimen ympärillä. Olettaen, että atomin Bohr-malli on sovellettavissa tähän järjestelmään,
- Johda lauseke $ n $ th Bohrin kiertoradan säteelle.
- Etsi $ n $ arvo joiden säde on yhtä suuri kuin ensimmäisen vetyradan säteet.
- Löydä säteilyn aallonpituus, kun pyörivä hiukkanen hyppää kolmannelta kiertoradalta ensimmäiselle.
Nyt tein ensimmäisen osan ja sain vastauksen oikein. Tässä mitä tein.
Oletetaan, että pyörivän hiukkasen massa on $ M $, sen nopeus on $ v $ ja $ M = 208 m_ {e} $. Sähköstaattinen voima on keskiosainen voima . Siksi
$$ \ begin {align} \ frac {Mv ^ 2} {r} & = \ frac {(ke) (3e)} { r ^ 2} \\ v ^ 2 & = \ frac {3ke ^ 2} {208m_ {e} r} \ end {tasaa} $$
Bohr-mallista
$$ m_ {e} vr = \ frac {nh} {2 \ pi} $$
missä $ h $ on Planckin vakio. Siksi
$$ v = \ frac {nh} {2 \ pi m_ {e} r} $$
Neliö se,
$$ v ^ 2 = \ frac {n ^ 2h ^ 2} {4 (\ pi) ^ 2 (m_e) ^ 2r ^ 2} $$
Yhdistetään kaksi yhtälöä, joissa on $ v ^ 2 $ ,
$$ \ frac {n ^ 2h ^ 2} {4 (\ pi) ^ 2 (m_e) ^ 2r ^ 2} = \ frac {3ke ^ 2} {208m_ {e} r} $$
Kun $ r $ on ratkaistu, saamme jotain tällaista,
$$ r = \ frac {n ^ 2h ^ 2} {4 (\ pi) ^ { 2} 3ke ^ {2} 208m_e} $$
Kaikki yllä olevat ovat oikein. Ongelma on toisessa ja kolmannessa osassa; kun laitan $ r = \ pu {0,53 * 10 ^ {- 10} m} $, en saa vaadittua vastausta. Kolmannen osan tarkastelemiseksi aloitin tavallisella Rydberg-yhtälöllä,
$$ \ frac {1} {\ lambda} = \ mathcal {R} Z ^ 2 \ left (\ frac {1} { n_f ^ 2} – \ frac {1} {n_i ^ 2} \ right) $$
Yhdistin jokaisen arvon, $ n_i = 3, n_f = 1, Z = 3 $; mutta taas ei saanut vastausta oikeaan.
Toisen osan vastaus on 25 $ (n = 25) $; ja kolmanteen on 55,2 pikometriä.
Vastaa
Vastaa toiseen osaan:
Tiedämme $ M = 208m_e $ , $ Z = 3 $ , $ \ hbar = \ frac {h} {2 \ pi} $ .
Ensimmäisessä osassa on virhe, sellaisena kuin se on
$$ \ begin {tasaus} & & \ frac {Mv ^ 2} {r } & = \ mathcal {k_e} \ cdot \ frac {(\ mathcal {e}) (Z \ mathcal {e})} {r ^ 2} \\ & & Mvr & = n \ hbar \\ \ merkitsee & & r & = \ frac {n ^ 2 \ hbar ^ 2} {M \ cdot \ mathcal {k_e} \ cdot Z \ mathcal {e} ^ 2} \ end {tasaa} $$
Tunnemme myös Bohrin säteen:
$$ a_0 = \ mathcal {k_e} \ cdot \ frac {\ hbar ^ 2} {m_e \ cdot \ mathcal {e} ^ 2} \ noin 5 {,} 29 \ cdot 10 ^ {-11} \ mathrm {m} $$
Siksi voimme kirjoittaa ja peruuttaa:
$$ \ begin {tasaa} & & r & = a_0 \\ & & \ frac {\ color {\ green} {\ hbar ^ 2}} {\ color {\ red} {\ mathcal {k_e}} \ cdot m_e \ cdot \ color {\ navy} {\ mathcal {e} ^ 2}} & = \ frac {n ^ 2 \ color {\ green} {\ hbar ^ 2} } {M \ cdot \ color {\ red} {\ mathcal {k_e}} \ cdot Z \ color {\ navy} {\ mathcal {e} ^ 2}} \\ \ siksi & & Z \ frac {M} {m_e} & = n ^ 2 \\ \ siksi & & n & = \ sqrt {Z \ cdot208} noin 25 \ end {tasaa} $$
Kolmas osa:
Rydberg-kaava annetaan muodossa
$$ \ frac {1} {\ lambda _ {\ mathrm {vac}}} = \ mathcal {R} Z ^ 2 \ vasen (\ frac {1} {n_1 ^ 2} – \ frac {1} {n_2 ^ 2} \ oikea) $$
Rydberg $ \ mathcal {R} $ vakio, joka on määritelty elektronin lähettämälle fotonille. Oletetaan, että ytimen massa on 7 atomiyksikköä (kolme protonia + neljä neutronia). Ottaen huomioon, että $ m_p \ noin 1836m_e $ , saavutamme
$$ \ mathcal {R} = \ frac {\ mathcal {R} _ \ infty} {1+ \ frac {M} {T}} = \ frac {\ mathcal {R} _ \ infty} {1+ \ frac {208m_e} {7 \ cdot1836m_e}} $$
Nyt Rydberg-vakio on muutettava sisällyttämään hiukkasen massa:
$$ \ mathcal {R} _ \ infty = \ frac {M e ^ 4} {8 c \ varepsilon_0 ^ 2 h ^ 3} = 208 \ mathcal {R} _ {m_e, \ infty} $$
Kanssa $ \ mathcal {R} _ {m_e, \ infty} = 1.097 \ cdot 10 ^ 7 ~ \ mathrm {m ^ {- 1}} $ ( wikipedia ), pääsin $ \ lambda_ \ mathrm {vac} = 55.6 ~ \ mathrm {pm} $ .
Ottamatta huomioon pienennettyä massaa, eli $ \ mathcal {R} \ approx \ mathcal {R} _ \ infty $ $ \ lambda_ \ mathrm {vac} = 54,8 ~ \ mathrm {pm} $ .
Molemmat arvot ovat kohtuullisen lähellä annettua ratkaisua.
(Jos kysymys koski todella müonia, tarkempi painosuhde on 206,77 ja vastaavat aallonpituudet 55,1 pm ja 56,0 pm.)