Kiertoradan etsiminen Bohr-mallin ja Rydberg-yhtälön avulla

Aloittaakseni kotitehtävän ongelmana, melko pitkä.

Massapartikkeli, joka on 208 kertaa elektronin massa, liikkuu pyöreällä kiertoradalla varauksen $ + 3e $ ytimen ympärillä. Olettaen, että atomin Bohr-malli on sovellettavissa tähän järjestelmään,

  1. Johda lauseke $ n $ th Bohrin kiertoradan säteelle.
  2. Etsi $ n $ arvo joiden säde on yhtä suuri kuin ensimmäisen vetyradan säteet.
  3. Löydä säteilyn aallonpituus, kun pyörivä hiukkanen hyppää kolmannelta kiertoradalta ensimmäiselle.

Nyt tein ensimmäisen osan ja sain vastauksen oikein. Tässä mitä tein.

Oletetaan, että pyörivän hiukkasen massa on $ M $, sen nopeus on $ v $ ja $ M = 208 m_ {e} $. Sähköstaattinen voima on keskiosainen voima . Siksi

$$ \ begin {align} \ frac {Mv ^ 2} {r} & = \ frac {(ke) (3e)} { r ^ 2} \\ v ^ 2 & = \ frac {3ke ^ 2} {208m_ {e} r} \ end {tasaa} $$

Bohr-mallista

$$ m_ {e} vr = \ frac {nh} {2 \ pi} $$

missä $ h $ on Planckin vakio. Siksi

$$ v = \ frac {nh} {2 \ pi m_ {e} r} $$

Neliö se,

$$ v ^ 2 = \ frac {n ^ 2h ^ 2} {4 (\ pi) ^ 2 (m_e) ^ 2r ^ 2} $$

Yhdistetään kaksi yhtälöä, joissa on $ v ^ 2 $ ,

$$ \ frac {n ^ 2h ^ 2} {4 (\ pi) ^ 2 (m_e) ^ 2r ^ 2} = \ frac {3ke ^ 2} {208m_ {e} r} $$

Kun $ r $ on ratkaistu, saamme jotain tällaista,

$$ r = \ frac {n ^ 2h ^ 2} {4 (\ pi) ^ { 2} 3ke ^ {2} 208m_e} $$

Kaikki yllä olevat ovat oikein. Ongelma on toisessa ja kolmannessa osassa; kun laitan $ r = \ pu {0,53 * 10 ^ {- 10} m} $, en saa vaadittua vastausta. Kolmannen osan tarkastelemiseksi aloitin tavallisella Rydberg-yhtälöllä,

$$ \ frac {1} {\ lambda} = \ mathcal {R} Z ^ 2 \ left (\ frac {1} { n_f ^ 2} – \ frac {1} {n_i ^ 2} \ right) $$

Yhdistin jokaisen arvon, $ n_i = 3, n_f = 1, Z = 3 $; mutta taas ei saanut vastausta oikeaan.

Toisen osan vastaus on 25 $ (n = 25) $; ja kolmanteen on 55,2 pikometriä.

Vastaa

Vastaa toiseen osaan:

Tiedämme $ M = 208m_e $ , $ Z = 3 $ , $ \ hbar = \ frac {h} {2 \ pi} $ .

Ensimmäisessä osassa on virhe, sellaisena kuin se on

$$ \ begin {tasaus} & & \ frac {Mv ^ 2} {r } & = \ mathcal {k_e} \ cdot \ frac {(\ mathcal {e}) (Z \ mathcal {e})} {r ^ 2} \\ & & Mvr & = n \ hbar \\ \ merkitsee & & r & = \ frac {n ^ 2 \ hbar ^ 2} {M \ cdot \ mathcal {k_e} \ cdot Z \ mathcal {e} ^ 2} \ end {tasaa} $$

Tunnemme myös Bohrin säteen:

$$ a_0 = \ mathcal {k_e} \ cdot \ frac {\ hbar ^ 2} {m_e \ cdot \ mathcal {e} ^ 2} \ noin 5 {,} 29 \ cdot 10 ^ {-11} \ mathrm {m} $$

Siksi voimme kirjoittaa ja peruuttaa:

$$ \ begin {tasaa} & & r & = a_0 \\ & & \ frac {\ color {\ green} {\ hbar ^ 2}} {\ color {\ red} {\ mathcal {k_e}} \ cdot m_e \ cdot \ color {\ navy} {\ mathcal {e} ^ 2}} & = \ frac {n ^ 2 \ color {\ green} {\ hbar ^ 2} } {M \ cdot \ color {\ red} {\ mathcal {k_e}} \ cdot Z \ color {\ navy} {\ mathcal {e} ^ 2}} \\ \ siksi & & Z \ frac {M} {m_e} & = n ^ 2 \\ \ siksi & & n & = \ sqrt {Z \ cdot208} noin 25 \ end {tasaa} $$

Kolmas osa:

Rydberg-kaava annetaan muodossa

$$ \ frac {1} {\ lambda _ {\ mathrm {vac}}} = \ mathcal {R} Z ^ 2 \ vasen (\ frac {1} {n_1 ^ 2} – \ frac {1} {n_2 ^ 2} \ oikea) $$

Rydberg $ \ mathcal {R} $ vakio, joka on määritelty elektronin lähettämälle fotonille. Oletetaan, että ytimen massa on 7 atomiyksikköä (kolme protonia + neljä neutronia). Ottaen huomioon, että $ m_p \ noin 1836m_e $ , saavutamme

$$ \ mathcal {R} = \ frac {\ mathcal {R} _ \ infty} {1+ \ frac {M} {T}} = \ frac {\ mathcal {R} _ \ infty} {1+ \ frac {208m_e} {7 \ cdot1836m_e}} $$

Nyt Rydberg-vakio on muutettava sisällyttämään hiukkasen massa:

$$ \ mathcal {R} _ \ infty = \ frac {M e ^ 4} {8 c \ varepsilon_0 ^ 2 h ^ 3} = 208 \ mathcal {R} _ {m_e, \ infty} $$

Kanssa $ \ mathcal {R} _ {m_e, \ infty} = 1.097 \ cdot 10 ^ 7 ~ \ mathrm {m ^ {- 1}} $ ( wikipedia ), pääsin $ \ lambda_ \ mathrm {vac} = 55.6 ~ \ mathrm {pm} $ .

Ottamatta huomioon pienennettyä massaa, eli $ \ mathcal {R} \ approx \ mathcal {R} _ \ infty $ $ \ lambda_ \ mathrm {vac} = 54,8 ~ \ mathrm {pm} $ .

Molemmat arvot ovat kohtuullisen lähellä annettua ratkaisua.

(Jos kysymys koski todella müonia, tarkempi painosuhde on 206,77 ja vastaavat aallonpituudet 55,1 pm ja 56,0 pm.)

Vastaa

Sähköpostiosoitettasi ei julkaista. Pakolliset kentät on merkitty *