Kuinka ' summataan ' keskihajonta?

Lyhyt vastaus: Keskiarvot varianssit ; niin voit ottaa neliöjuuren saadaksesi keskimääräisen keskihajonta .

Esimerkki

Month MWh StdDev Variance ========== ===== ====== ======== January 927 333 110889 February 1234 250 62500 March 1032 301 90601 April 876 204 41616 May 865 165 27225 June 750 263 69169 July 780 280 78400 August 690 98 9604 September 730 76 5776 October 821 240 57600 November 803 178 31684 December 850 250 62500 =========== ===== ======= ======= Total 10358 647564 ÷12 863 232 53964 

Ja sitten keskimääräinen keskihajonta on sqrt(53,964) = 232

Alkaen Normaalisti jakautuneiden satunnaismuuttujien summa :

Jos $ X $ ja $ Y $ ovat riippumattomia satunnaismuuttujia, jotka ovat normaalijakautuneita (ja siten myös yhdessä), niin myös niiden summa jakautuu normaalisti

… kahden itsenäisen normaalisti summa hajautetut satunnaismuuttujat ovat normaalia, keskiarvonsa ollessa kahden keskiarvon summa ja varianssin ollessa kahden varianssin summa

Ja Wolfram Alpha ”s Normaali summajakauma :

On hämmästyttävää, että kahden summan jakauma normaalisti hajautettu itsenäinen vaihtelee $ X $ ja $ Y $ keinoilla ja v arianssit $ (\ mu_X, \ sigma_X ^ 2) $ ja $ (\ mu_Y, \ sigma_Y ^ 2) $ ovat vastaavasti toinen normaalijakauma

$$ P_ {X + Y} (u) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi (\ sigma_X ^ 2 + \ sigma_Y ^ 2)}} e ^ {- [u – (\ mu_X + \ mu_Y)] ^ 2 / [2 (\ sigma_X ^ 2 + \ sigma_Y ^ 2)]} $$

mikä tarkoittaa

$$ \ mu_ {X + Y} = \ mu_X + \ mu_Y $$

ja varianssia

$$ \ sigma_ {X + Y} ^ 2 = \ sigma_X ^ 2 + \ sigma_Y ^ 2 $$

tietosi:

• summa: 10,358 MWh
• varianssi: 647,564
• keskihajonta: 804.71 ( sqrt(647564) )

Joten vastaamaan kysymykseesi:

• Kuinka keskihajonta ”summataan” ?

• Summataan ne neliöllisesti:

  s = sqrt(s1^2 + s2^2 + ... + s12^2) 

Käsitteellisesti summaat varianssit , ota sitten neliöjuuri saadaksesi keskihajonnan.

Koska olin utelias, halusin tietää keskimääräisen kuukausittaisen keskimääräisen tehon ja sen keskihajonta . Induktion kautta tarvitsemme 12 normaalijakaumaa, jotka:

• summaavat keskiarvon 10,358
• summan varianssin 647,564

Se olisi 12 keskimääräistä kuukausijakaumaa:

• keskiarvo 10,358/12 = 863.16
• 647,564/12 = 53,963.6
• varianssi sqrt(53963.6) = 232.3

Voimme tarkistaa kuukausittaiset keskimääräiset jakaumamme lisäämällä ne yhteen 12 kertaa, jotta voimme nähdä, että ne sama kuin vuotuinen jakauma:

• Keskiarvo: 863.16*12 = 10358 = 10,358 ( oikea )
• Varianssi: 53963.6*12 = 647564 = 647,564 ( oikea )

Huomautus : i ”jätän kaavakuvien muuntamisen jollekin, joka tuntee esoteerisen lateksimatematiikan, ja formula code pinonvaihto-muotoisiksi kaavoiksi.

Muokkaa : Siirtin lyhyen kohta, vastaa ylöspäin. Koska minun piti tehdä tämä uudelleen tänään, mutta halusin tarkistaa vielä, että keskimäärin varianssit .

Kommentit

• Tämä kaikki näyttää olettavan kuukausien olevan korreloimattomia – oletko tehnyt tämän oletuksen selkeästi missään? Miksi meidän on myös tuotava normaalijakauma? Jos ’ puhumme vain varianssista, se tuntuu tarpeettomalta – katso esimerkiksi vastaukseni täältä
• @Marco Koska mielestäni kuvissa on parempi ajatus ja se helpottaa kaiken ymmärtämistä.
• @Marco Uskon myös, että tämä kysymys alkoi (nyt lakkautetusta) stats.stackexchange -sivustosta. kaavojen seinä on vähemmän käytettävissä kuin yksinkertaisemmat, graafiset ja vähemmän tiukat käsittelyt.
• Epäilen, että tämä on oikein. Kuvittele kaksi tietojoukkoa, joista kullakin on vain yksi mittaus. Heidän varianssi kussakin joukossa on 0, mutta molempien mittausten joukon varianssi on suurempi kuin 0, jos datapisteet eroavat toisistaan.
• @Njol, luulen, että ’ s miksi oletetaan, että kaikilla muuttujilla on normaali jakauma. Ja voimme tehdä sen täällä, koska puhumme fyysisestä mittauksesta. Esimerkissä molempia muuttujia ei jaeta normaalisti.

Tämä on vanha kysymys, mutta vastaus hyväksytään ei ole oikeastaan oikea tai täydellinen. Käyttäjä haluaa laskea keskihajonnan 12 kuukauden ajalta, jolloin keskiarvo ja keskihajonta on jo laskettu kuukausittain. Jos oletetaan, että näytteiden määrä kuukaudessa on sama, on mahdollista laskea otoksen keskiarvo ja varianssi vuoden aikana kunkin kuukauden tiedoista. Oletetaan yksinkertaisuuden vuoksi, että meillä on kaksi tietojoukkoa:

$ X = \ {x_1, …. x_N \} $

$ Y = \ {y_1, …., y_N \} $

tunnetuilla näytekeskiarvon ja varianssiarvoilla, $ \ mu_x $ , $ \ mu_y $ , $ \ sigma ^ 2_x $ , $ \ sigma ^ 2_y $ .

Haluamme nyt laskea samat arviot kohteelle

$ Z = \ {x_1, …., x_N, y_1, …, y_N \} $ .

Ota huomioon, että $ \ mu_x $ , $ \ sigma ^ 2_x $ lasketaan seuraavasti:

$ \ mu_x = \ frac {\ sum ^ N_ {i = 1} x_i} {N} $

$ \ sigma ^ 2_x = \ frac {\ sum ^ N_ {i = 1} x ^ 2_i} {N} – \ mu ^ 2_x $

Keskiarvon ja varianssin arvioimiseksi kokonaisjoukosta meidän on laskettava:

$ \ mu_z = \ frac {\ sum ^ N_ {i = 1} x_i + \ sum ^ N_ {i = 1} y_i} {2N} = (\ mu_x + \ mu_y) / 2 $ , joka annetaan hyväksytyssä vastauksessa. Varianssilla tarina on kuitenkin erilainen:

$ \ sigma ^ 2_z = \ frac {\ sum ^ N_ {i = 1} x ^ 2_i + \ sum ^ N_ {i = 1} y ^ 2_i} {2N} – \ mu ^ 2_z $

$ \ sigma ^ 2_z = \ frac {1 } {2} (\ frac {\ sum ^ N_ {i = 1} x ^ 2_i} {N} – \ mu ^ 2_x + \ frac {\ sum ^ N_ {i = 1} y ^ 2_i} {N} – \ mu ^ 2_y) + \ frac {1} {2} (\ mu ^ 2_x + \ mu ^ 2_y) – (\ frac {\ mu_x + \ mu_y} {2}) ^ 2 $

$ \ sigma ^ 2_z = \ frac {1} {2} (\ sigma ^ 2_x + \ sigma ^ 2_y) + (\ frac {\ mu_x- \ mu_y} {2} ) ^ 2 $

Joten jos sinulla on varianssi jokaiselle osajoukolle ja haluat varianssin koko joukolle, voit keskittää kunkin osajoukon varianssit, jos niillä kaikilla on sama keskiarvo. Muussa tapauksessa sinun on lisättävä kunkin osajoukon keskiarvon varianssi.

Sanotaan, että tuotamme ensimmäisen vuosipuoliskon aikana tarkalleen 1000 MWh päivässä ja sekunneissa puolessa 2000 MWh päivässä. Sitten energiantuotannon keskiarvo ja varianssi sekunnin puoliskot ovat keskiarvoja 1000 ja 2000 ja varianssi molemmille puoliskoille 0. Nyt voimme olla kiinnostuneita kahdesta asiasta:

1- Haluamme laskea energiantuotannon varianssin koko vuodelle : sitten keskimäärin laskemalla nämä kaksi varianssia saavutamme nollan, mikä ei ole oikein, koska päivittäinen energia koko vuosi ei ole vakio. Tässä tapauksessa meidän on lisättävä kaikkien keskiarvojen varianssi kustakin osajoukosta. Matemaattisesti tässä tapauksessa mielenkiinnon kohteena oleva satunnaismuuttuja on energiantuotanto päivässä. Meillä on näytetilastot osajoukkojen yli ja haluamme laskea otoksen tilastot pidemmältä ajalta.

2- Haluamme laskea energiantuotannon varianssin vuodessa: Toisin sanoen olemme kiinnostuneita siitä, kuinka paljon energiantuotanto muuttuu vuodesta toiseen. Tässä tapauksessa varianssin keskiarvoistaminen johtaa oikeaan vastaukseen, joka on 0, koska tuotamme joka vuosi keskimäärin tarkalleen 1500 MHW. Matemaattisesti tässä tapauksessa satunnainen muuttuja on keskimääräinen energiantuotanto päivässä, jossa keskiarvo tehdään koko vuoden ajan.

kommentit

• hieno vastaus. Minun mielestäni sen laskeminen riippuu siitä, miten haluat esittää tuloksena olevan SD: n (ja minkä hypoteesin haluat käsitellä tällä SD: llä, jos yrität verrata toiseen tuulipuistoon jne.).

Haluan korostaa uudelleen virheellisyyttä osittain hyväksytyssä vastauksessa. Kysymyksen sanamuoto aiheuttaa sekaannusta.

Kysymyksellä on kunkin kuukauden keskiarvo ja StdDev, mutta on epäselvää, millaista osajoukkoa käytetään. Onko se koko tilan yhden tuuliturbiinin keskiarvo vai koko tilan päivittäinen keskiarvo? Jos se on kunkin kuukauden päivittäinen keskiarvo, et voi laskea yhteen kuukausittaista keskiarvoa saadaksesi vuosikeskiarvon, koska heillä ei ole samaa nimittäjää. Jos se on yksikön keskiarvo, kysymyksen tulee ilmoittaa

Voimme sanoa, että keskimääräisenä vuonna kukin turbiini tuulipuistossa tuottaa 10358 MWh, …

p: n sijaan >

Voimme sanoa, että keskimäärin tuulipuisto tuottaa keskimäärin 10358 MWh, …

Lisäksi Keskihajonta tai varianssi on vertailu joukon omaan keskiarvoon. Se EI sisällä tietoja vanhemman joukon iv keskiarvosta (isompi joukko, jonka komponentti laskettu joukko on).

Kuva ei välttämättä ole kovin tarkka, mutta se välittää yleisen ajatuksen. Kuvitellaan yhden tuulipuiston tuotos kuten kuvassa. Kuten näette, ” paikallisella ” varianssilla ei ole mitään tee ” globaalilla ” varianssilla riippumatta siitä, miten lisäät tai kerrot ne. Jos lisäät >

TL; DR

Annetaan useita päiviä, ja jokaiselle päivälle annetaan keskiarvo, näyte StdDev ja näytteiden lukumäärä, merkitään seuraavasti: $$ \ mu_d, \ \ sigma_d, \ N_d $$ Haluamme laskea keskiarvon ja StdDev-näytteen kaikkien päivien ajalta.

Keskiarvo on yksinkertaisesti painotettu keskiarvo: $$ \ mu = \ frac {\ sum {\ mu_dN_d}} {\ sum {N_d}} = \ frac {\ sum {\ mu_dN_d}} {N} $$

StdDev-näyte on tämä asia: $$ \ sigma = \ sqrt {\ frac {\ sum_ {d} {(\ sigma_d ^ 2 (N_d-1) + N_d (\ mu- \ mu_d) ^ 2})} {N-1}} $$ Missä alaindeksi d tarkoittaa päivää, jolta keräsimme keskiarvon, näytteen StdDev ja näytteiden määrän.

Tiedot

Meillä on ollut samanlainen ongelma, jossa meillä oli prosessi, joka laskee päivittäisen keskiarvon ja Näyte StdDev ja tallentaa se yhdessä päivittäisten näytteiden määrän kanssa. Tämän syötteen avulla jouduimme laskemaan viikoittaisen / kuukausittaisen keskiarvon ja StdDev. Näytteiden määrä päivässä ei ollut tapauksessamme vakio.

Merkitse keskiarvo, näyte StdDev ja koko sarjan näytteiden määrä muodossa: $$ \ mu, \ \ sigma \ ja \ N \ $$ ja päivälle d merkitse keskiarvoa, näyte StdDev ja näytemäärä seuraavasti: $$ \ mu_d, \ \ sigma_d, \ N_d $$ Koko joukon keskiarvon laskeminen on vain päivän painotettua keskiarvoa. Keskiarvot: $$ \ mu = \ frac {\ sum {\ mu_dN_d} } {\ sum {N_d}} = \ frac {\ sum {\ mu_dN_d}} {N} $$ Mutta asiat ovat paljon mukana, kun otetaan huomioon StdDev-näyte. Päivän StdDev-näytteellä on: $$ \ sigma_d = \ sqrt {\ frac {\ sum_ {N_d} (x_j- \ mu_d) ^ 2} {N_d-1} } $$ Ensin vähän siivousta: $$ \ sigma_d ^ 2 (N_d-1) = \ sum_ {N_d} (x_j- \ mu_d) ^ 2 $ $ Tarkastellaan seuraavaa yhtälön oikeanpuoleista termiä. Jos voimme saavuttaa tämän summan seuraavaan summaan päivässä: $$ \ sum_ {N_d} {(x_j- \ mu) ^ 2} $$ , summataan päivät antavat meille etsimämme, koska päivät ovat irti ja kattavat koko sarjan: $$ \ sum_ {d} {\ sum_ {N_d} {(x_j- \ mu ) ^ 2}} = \ sum_ {N} {(x_j- \ mu) ^ 2} $$ oivallus päästä päivittäisestä StdDevistä koko sarjaan ”StdDev” on huomata, että vaikka emme sinulla on päivittäiset näytteet, meillä on päivittäisten näytteiden summa päivittäisen keskiarvon kautta. Tämän oivalluksen perusteella toimikaa yllä olevan yhtälön oikeanpuoleisella termillä: $$ \ sum_ {N_d} (x_j- \ mu_d) ^ 2 = \ sum_ {N_d} {(x_j ^ 2-2x_j \ mu_d + \ mu_d ^ 2)} = \\ = \ summa_ {N_d} {(x_j ^ 2-2x_j \ mu_d + \ mu_d ^ 2)} + (\ summa_ {N_d} {\ mu ^ 2} – \ summa_ {N_d} {\ mu ^ 2}) + (2 \ summa_ {N_d} {x_j (\ mu- \ mu_d}) – 2 \ summa_ {N_d} {x_j (\ mu- \ mu_d}) ) $$ Tässä vaiheessa emme tehneet muuta kuin lisäsimme ja vähennimme termit, jotka nollaavat yhtälön pitämisen ennallaan. Nyt kun summaamme yli N _d kaikilla summilla, kirjoitetaan yhteenvedot hauskanpitoa ja voittoa varten: $$ \ vaativat {Cancel} = \ sum_ {N_d} {(x_j ^ 2-2x_j (\ cancel {\ mu_d} + \ mu- \ cancel { \ mu_d}) + \ mu ^ 2)} + \ summa_ {N_d} {\ mu_d ^ 2} – \ summa_ {N_d} {\ mu ^ 2} +2 \ summa_ {N_d} {x_j (\ mu- \ mu_d }) $$ Yhteenvedot ovat ohi j , joten summatermit, jotka eivät ole riippuvaisia j: stä, voidaan yksinkertaisesti kertoa N _d : $$ = \ sum_ {N_d} {(x_j ^ 2-2xxjj \ mu + \ mu ^ 2)} + N_d \ mu_d ^ 2- N_d \ mu ^ 2 + 2 \ summa_ {N_d} {x_j (\ mu- \ mu_d)} $$ Ja olemme lähestymässä: $$ = \ sum_ {N_d} {(x_j- \ mu) ^ 2} + N_d \ mu_d ^ 2-N_d \ mu ^ 2 + 2 \ sum_ {N_d} {x_j (\ mu- \ mu_d)} $$ Anna nyt käsitellä oikeanpuoleista termiä, koska emme voi käyttää x _j suoraan, mutta voimme käyttää sen summaa sen päivän keskiarvona. Kerro ja jaa N: llä _d , niin saat keskiarvon: $$ = \ sum_ {N_d} {(x_j- \ mu) ^ 2} + N_d \ mu_d ^ 2-N_d \ mu ^ 2 + 2 (\ mu- \ mu_d) {N_d} (\ frac {1} {N_d} \ summa_ {N_d} {x_j}) \\ = \ summa_ {N_d} {(x_j – \ mu) ^ 2} + N_d \ mu_d ^ 2-N_d \ mu ^ 2 + 2 (\ mu- \ mu_d) {N_d} \ mu_d $$ Tässä vaiheessa meillä on summa, joka meidän on laskettava koko joukko Sample StdDev ja kaikki muut termit ovat tunnettuja määriä, nimittäin päivän tilastot ja näytteiden lukumäärä.Liitä se takaisin yllä olevaan puhdistusvaiheeseen: $$ \ sigma_d ^ 2 (N_d-1) = \ sum_ {N_d} {(x_j- \ mu) ^ 2 } + N_d \ mu_d ^ 2-N_d \ mu ^ 2 + 2 (\ mu- \ mu_d) {N_d} \ mu_d \\ \ vasenkätinen nuoli \ sigma_d ^ 2 (N_d-1) -N_d \ mu_d ^ 2 + N_d \ mu ^ 2-2N_d \ mu_d (\ mu- \ mu_d) = \ sum_ {N_d} {(x_j- \ mu) ^ 2} \\ \ vasenkätinen nuoli \ sigma_d ^ 2 (N_d-1) + N_d (\ mu- \ mu_d) ^ 2 = \ sum_ {N_d} {(x_j- \ mu) ^ 2} $$ Olemme nyt valmiit laskemaan joukon ”S Sample StdDev: $$ \ sigma = \ sqrt {\ frac {\ sum_ {N} (x_j- \ mu) ^ 2} {N-1}} \\ = \ sqrt {\ frac {\ sum_ {d} {\ sum_ {N_d } (x_j- \ mu) ^ 2}} {N-1}} \\ = \ sqrt {\ frac {\ sum_ {d} {(\ sigma_d ^ 2 (N_d-1) + N_d (\ mu- \ mu_d ) ^ 2})} {N-1}} $$

kommentit

• Nimesi on minulle hieman hämmentävä se ei ’ t tee selväksi, mikä tarkoittaa, että & standardipoikkeamat ovat tunnettuja (oletettuja) parametreja & jotka ovat otosarvioita.
• Tunnettuja ovat Nd, Mu-d, Sigma-d, meidän on laskettava N, Mu, Sigma. N: n ja Mu: n laskeminen on triviaalia, Sigma on mukana.

Uskon, mitä saatat olla todella kiinnostunut siitä, onko standardivirhe eikä keskihajonta.

Keskiarvon vakiovirhe (SEM) on standardi poikkeama otoskeskiarvon populaatiokeskiarvosta, ja se antaa sinulle mitan kuinka hyvä vuotuinen MWh-estimaatisi on.

Se on erittäin helppo laskea: jos käytit dollaria n $ näytteitä saadaksesi kuukausittaiset MWh-keskiarvosi ja standardipoikkeamasi, laske vain keskihajonta kuten @IanBoyd ehdotti ja normalisoi sen otoksen kokonaiskoon mukaan. Toisin sanoen
$$ s = \ frac {\ sqrt {s_1 ^ 2 + s_2 ^ 2 + \ ldots + s_ {12} ^ 2}} {\ sqrt {12 \ kertaa n}} $$