Kuinka 64 = 65?

Tämä on kuuluisa fyysinen palapeli, joka voidaan sitoa fibonacci -sarja .

Vastataksesi esitettyyn kysymykseen kysymys on, että nämä kaksi kaltevuutta ovat erilaiset ( $ \ frac25 $ vs $ \ frac38 $ ). Huomaa, että kaikki nämä numerot ovat fibonacci-sarjassa ( $ 1,1,2,3,5,8,13,21, \ ldots $ ).

Peräkkäiset murtoluvut ovat lähempänä likiarvoja $ \ varphi $ , vuorotellen ylä- ja alapuolella. Tämän kaltaiset kaaviot voidaan luoda tekemällä neliö, jonka sivut ovat yhtä suuret kuin fibonacci-sarjassa (tässä kysymyksessä 8), ja jakamalla se sitten kahteen suorakulmioon, joiden leveys on kaksi valittua fibonacci-numeroa (3 ja 5).

Leikkaa pienempi lävistäjää alaspäin ja leikkaa suurempi keskeltä lävistäjälle siten, että lävistäjän leikkauksen leveys on seuraava pienin luku (tässä tapauksessa 2). Huomaa, että tämä jättää trapetsin, jonka pieni yhdensuuntainen koko vastaa alkuperäisen pienen suorakulmion pienempää sivua (tässä tapauksessa 3) ja jonka suurempi yhdensuuntainen koko vastaa alkuperäisen suuremman suorakulmion pienempää sivua (tässä tapauksessa 5). / p>

Koska $ \ frac25 \ approx \ frac38 $ ja yllä olevista rakenteista palat voidaan järjestää uudelleen suorakulmioon (kuten kuvassa), jonka alue on aina yksi pois alkuperäisestä neliöstä, mutta näyttää suunnilleen oikealta, koska rinteet melkein vastaavat.

Muokkaa: Koska tämä vastaus sai niin monta ylimääräistä ääntä (kiitos!), Oletetaan, että ihmiset ovat siitä hyvin kiinnostuneita, joten ajattelin, että piirrän muutaman kuvan!

1,1,2,3 : $ 3 \ kertaa3 = 9 = 10 = 2 \ kertaa5 $

1,2, 3,5: $ 5 \ kertaa5 = 25 = 24 = 3 \ kertaa8 $

2,3,5,8: $ 8 \ times8 = 64 = 65 = 5 \ times13 $ (OP: n esimerkki)

3,5,8,13 : $ 13 \ kertaa13 = 169 = 168 = 8 \ kertaa21 $

5,8,13,21: 21 $ kertaa21 = 441 = 442 = 13 kertaa34 $

Kommentti käyttäjältä @EricJ . herätti keskustelun, joka saattaa olla täällä esille tuomisen arvoinen:

En väitä, että kaikki tällaiset palapelit perustuvat Fibonacci-sarjaan. Aivan että kaikki Fibonacci-numerot voivat luoda nämä kaaviot. Fibonaccilla on useita ominaisuuksia numerot, jotka saavat tämän toimimaan.

1. Yksi on se, että Fibonacci-luvun neliö vuorotellen on yksi enemmän kuin yksi pienempi kuin kummallakin puolella olevien lukujen tulo.
2. Siellä on jo mainittu rinne-asia, mikä tarkoittaa, että rakentamisemme antaa meille kaksi suunnilleen yhtä suurta kaltevuutta. Ja
3. On olemassa väite, että kokonaisrakenne voidaan tehdä sen perusteella, että jokainen luku on kahden edellisen summa.

Kaksi jälkimmäistä pistettä voidaan parhaiten ymmärretään tutkimalla rakennetta yksityiskohtaisesti. Ensimmäinen kohta voidaan todistaa induktiolla:

RTP : $ f_k ^ 2 = f_ {k-1} f_ {k + 1} \ pm1 $ kohteelle $ k \ geq1 $

Indeksoimme uudelleen niin, että $ f_0 = 0 $ ja $ f_1 = 1 $ .

Vaihe 1 : $ k = 1 $ : $ f_1 ^ 2 = f_0f_2 + 1 $ voidaan vahvistaa korvaamalla.

vaihe 2 : Oletetaan, että se on totta $ k $ . Joten $ f_k ^ 2 = f_ {k-1} f_ {k + 1} \ mp1 $ . (Käytän $ \ mp1 $ koska odotan sen vuorottelevan, joten vaiheessa 3 todistan sen $ \ pm1 $ )

Vaihe 3 : Meidän on osoitettava, että $ f_ {k + 1} ^ 2 = f_ { k} f_ {k + 2} \ pm1 $ . Joten tässä:

\ begin {eqnarray} f_ {k} f_ {k + 2} \ pm1 & = & f_ {k} (f_ {k} + f_ {k + 1}) \ pm1 \\ & = & f_ {k} ^ 2 + f_kf_ {k + 1} \ pm1 \\ & = & (f_ {k-1} f_ {k + 1} \ mp1) + f_kf_ {k + 1} \ pm1 \\ & = & f_ {k + 1} (f_ {k-1} + f_ {k}) \\ & = & f_ {k + 1} (f_ {k + 1}) \\ & = & f_ {k + 1} ^ 2 \ loppu {eqnarray}

Käytin Fibonacci-sarjan määritelmää kahdesti ( $ f_ {k + 2} = f_k + f_ {k + 1} $ ja $ f_ {k-1} + f_k = f_ {k + 1} $ ) ja vaiheen 2 oletus.

Tämä tarkoittaa, että kun teet yllä olevan rakenteen, alueet eroavat aina vain yhdellä (vuorotellen ylä- ja alapuolella joka kerta).

Kommentit

• Erinomainen vastaus! Olen ’ perehtynyt näihin pulmiin, mutta en ole koskaan kuullut Fibonacci-yhteydestä. Itse en tiennyt ’ edes tajunnut, että tällaisten muotojen luomiseen on algoritmi.
• Siksi en koskaan luota ” todiste esittelyllä ” kuvia osoitteessa math.stackexchange.com .
• Nähtyään tämän kysymyksen tajusin, miksi nopeammin kuin kevyemmässä ajassa matkustava Ferrari 488 ei ollut ’ t melko toimiva (tarkoitan, se ’ d menee taaksepäin ajassa valoa nopeammin Just Fine – mutta se palasi jatkuvasti Ford Fiestana!) Ja olen ’ d JUST saanut aikaan korjaan sen ja käynnistin sen testiajolla, kun luin tämän tyhmä vastauksen! Ja Sitten Ferrari palasi takaisin – mutta tällä kertaa se palasi polkupyöränä, jossa DINOSAURI ratsasti! Joten, ok, minä löin dino (hänen nimensä ’ s Fred, BTW – mukava kaveri. Hauska ol ’ juttu, elämä .. .) paistinpannulla, ja nyt ’ m kiinnitän FTL-moottorin uudelleen. Joten t ’ anks fer nuttin ’ !! 🙂
• Luulen, että hän ’ sanoo vain tekevänsä jotain mahdotonta ja voi nyt ’ t enää, koska sen ’ on osoittautunut mahdottomaksi. Mitä en saa ’, miksi niin monet ylimääräiset äänet? Tarkoitin, että ajattelin olevani älykäs, mutta en se fiksu!
• Voi, joo? HYVIN! Annoin vastauksellesi vasta, vain saadaksesi siitä 100: n! NIIN SIELLÄ!!!! 🙂 (Ja sivuun @ghosts_in_the_code – en sanonut ’ oikeastaan sanoen, että tämä vastaus on tyhmä – viittasin siihen nimellä ” tyhmä ” ironisessa mielessä, mikä tarkoittaa ” Vastaus on osoittautunut vääräksi! Mikä tyhmä vastaus! ” – eli olen ’ m todellinen nukke täällä. Toivottavasti olemme ’ kaikki nyt hyvät …) . Kommenttini on kunnianosoitus kolmelle elokuvalle: Takaisin tulevaisuuteen, ET ja Caddyshack. Ja Hitchikerin ’ opas Galaxy-trilogiaan – kaikki viisi kirjaa. 🙂

Kaavio on harhaanjohtava , koska se piilottaa aukon toisen kokoonpanon keskellä.

Tämän me todella saamme, jos järjestämme kyseiset muodot uudelleen. Huomaa, että lävistäjä ”taipuu” hieman jättäen jonkin verran ylimääräistä tilaa muotojen väliin – tässä ylimääräinen pinta-ala hiipii sisään.

Mutta sinun ei pitäisi luottaa minuun enempää kuin alkuperäisen kuvan piirtäjään!

Kuten näemme täällä, kuvat voivat olla harhaanjohtavia – joten kaavioni ei ole todiste siitä, että alkuperäinen kaavio oli väärä. Tämä antaa vain intuitiivisen käsityksen siitä, mistä ylimääräinen tila on tullut.

Harkitse kaltevuudet oikean todistuksen saamiseksi:

• Sinisen trapetsin kaltevuus on $ 5/2 = 2,5 $
• punainen kolmio on $ 8/3 = 2,666 … $

Koska kaltevuudet eivät täsmää, emme voi järjestää niitä näin vierekkäin ilman tyhjää tilaa niiden välillä . Mutta koska he ovat lähellä, silmä voidaan huijata ajattelemaan, että ne muodostavat yhden jatkuvan viivan, eikä huomaa kolmion kaltevuutta, joka muuttuu puolivälissä.

Kommentit

• Rakastan näitä arvoituksia – siellä ’ on hyvä filosofinen moraali olla hyväksymättä asioita sellaisina kuin ne ’ esitetään sinulle.

Oikealla oleva kuva huijareita : palaset eivät todellakaan sovi yhteen täydellisesti, niiden välillä on aukko. Sen todistamiseksi voimme laskea aukon koon laskemalla kolmion koon, jonka muodostaa:

• keltaisen kolmion pisin sivu: $ a = \ sqrt {3 ^ 2 + 8 ^ 2} $
• trapetsin kalteva puoli: $ b = \ sqrt {2 ^ 2 + 5 ^ 2} $
• suorakulmion diagonaali oikea: $ c = \ sqrt {5 ^ 2 + 13 ^ 2} $

Tämän kolmion pinta-ala voidaan laskea Heronin kaavalla:

$ $ A = \ sqrt {s (sa) (sb) (sc)} $$

missä

$$ s = \ frac {1} {2} (a + b + c) $$

Arvojen korvaaminen kaavaan antaa $ 0,5: lle tarkalleen 0,5. Tällaisia kolmioita on kaksi, joten ”sa yhteensä 1 = odotettu ero.

Se on harhaanjohtava kaavio. Todellisuudessa kulmat eivät täsmää ylöspäin – oranssin kolmion suurempi sisäkulma on noin 69,5 astetta, kun taas se on 68,2 harmaalle nelikulmalle. (Korjaa minut, jos väärin – pölynpoistan triggini täällä.) Kaaviossa, jonka alue 65, oranssit alueet ovat tosiasiallisesti nelikulmioita. Jos katsot tarkkaan, voit nähdä, että niillä on pieni taivutus missä he kohtaavat toisen oranssin Joten ylimääräinen alue syntyy niiden laajentamisesta vain vähän.

Kolmioilla ei ole samaa kaltevuutta. ; voit nähdä, että suuri diagonaalinen viiva ”suuremman” suorakulmion läpi taipuu. Kolmioiden ympärillä olevat paksut viivat peittävät sen, mutta siellä on hyvin ohut reikä, jonka kokonaispinta-ala on yksi neliö – sama neliö, joka oletettavasti ”ilmestyi tyhjästä”.

Suurenna kuvaa ja ”ll näet vastaus.

Yksinkertainen vastaus :

Ne muodot (oranssilla) kuvan oikealla puolella eivät ole ollenkaan kolmioita! ne ovat kaksi nelikulmaista. joten niiden pinta-ala on visuaalisesti odotettua suurempi. joten täällä ei ole omaa pääomaa. Ne ovat erilaisia ja niiden kokonaispinta-ala on siis erilainen.

Alemman suorakulmion kuva on harhaanjohtava, koska se huijaa ihmisiä olettamaan väärin, että kolmioiden leveys on täsmälleen 3 yksikköä.

Todellinen leveys voidaan helposti laskea – se on murto-osa kokonaisleveydestä, jonka määrittää diagonaalin pisteen korkeus, tai tarkalleen 8/13/5, ts. 3.076923077 (eikä 3), qed

Kommentit

• Palapelilausunnon mukaan kolmiot molemmat kaaviot ovat identtisiä, ja kolmioiden muoto on määritelty 8×8-kokoonpanossa siten, että se on täsmälleen kolme yksikköä kahdeksalla yksiköllä. Virhe on kuvattu hyvin alexwlchan ’ vastaus ja selitetty matemaattisesti useissa muissa: Kappaleet eivät ’ sovi yhteen 5×13-kokoonpanossa. ’ on ohut puolisuunnikkaan muotoinen rako niiden välillä, jonka piilottaa paksu, musta ja ei aivan suora diagonaalinen viiva, joka on piirretty alkuperäiseen 5×13-kuvaan.