Professorini kertoi minulle äskettäin, että alue on vektori. Google-haku antoi minulle vektorille seuraavan määritelmän:
Substantiivi: Suuruus, jolla on suunta sekä suuruus, esp. määritettäessä yhden avaruuspisteen sijaintia suhteessa toiseen.
Kysymykseni on – mikä on alueen suunta? Voin liittyä siihen, että nopeus on vektori. Esimerkiksi liikkuvan moottoripyörän nopeudella on tarkka suunta ja määrätty suuruus olettaen, että pyörä liikkuu suorassa linjassa & ei kiihdy.
Ystäväni antoi minulle tämän selityksen aluevektorin suunnalle. Tarkastellaan suorakulmaista tasoa avaruudessa. Hän väitti, että avaruuden tason suuntaa voidaan kuvata vain pitämällä aluetta vektorina & eikä skalaarina.
En vieläkään ollut vakuuttunut. Oletetaan, että taso on sijoitettu siten, että sen pinnat ovat kohtisuorassa esimerkiksi Pohjoisen & etelään suuntiin nähden. Nyt tason suunta on sama riippumatta osoittavatko niin kutsutut vektorit pohjoiseen vai etelään. Mikä on pallon alueen suunta?
Onko alueen tarkastelulla vektorina mitään todellista merkitystä? Selittäkää.
Kiitos jo etukäteen.
Kommentit
- Koska tämä kysymys on luonteeltaan todella matemaattinen, olisiko se tarkoituksenmukaista matematiikkasivustolle siirtymistä varten? Luulen, että useimmat kysymykset, jotka ansaitsevat ” matematiikan ” -tunnisteen (ei pidä sekoittaa ” matemaattis-fysiikka ”) on todennäköisesti parempi matematiikassa.SE.
- @David Rehellisesti sanottuna en voi ajatella parempaa esimerkkiä fysiikan selkeästä päällekkäisyydestä ja matematiikka. Vaikka en ’ epäile, etteikö matematiikalla olisi ’ ongelmaa alueen vektorisoinnissa, näyttää siltä, että koko kohta on niin, että se voidaan käyttää jossakin fyysisessä mielessä. Se riippuu myös siitä, jos ’ puhut integraation differentiaalipinnoista (kuten luulen olevasi), niin kyllä olen ’ samaa mieltä se ’ sa matemaattinen aihe. Mutta entä jos käytetään aluevektoria virtasilmukalle magneettikentän laskemisessa? Se ’ on melkein varmasti fysiikkamateriaalia.
- Aiheeseen liittyvä kysymys Math.SE: stä .
- kaikki, jotka edellyttävät useamman kuin yhden skalaarin kuvaamista täydellisesti, ovat vektorimaisia. Kysymys on, missä kehyksessä tämä kuvaus tapahtuu.
Vastaus
Tämä voi olla enemmän matemaattinen kysymys . Tämä on erikoinen asia kolmiulotteisessa tilassa. Huomaa, että kolmiulotteisesti alue, kuten taso, on kaksiulotteinen alitila. Paperiarkilla tarvitset vain kaksi numeroa osoittamaan yksiselitteisesti pisteen.
Kuvittele nyt seisomalla paperiarkilla, suunta, johon pään osoittat, on aina tapa tietää, kuinka tämä taso on suunnattu avaruudessa. Tätä kutsutaan ”normaaliksi” vektoriksi tälle tasolle, se on suorassa kulmassa tasoon nähden.
Jos valitset nyt käytännön, jonka mukaan normaalin vektorin pituus on yhtä suuri kuin tämän pinnan pinta-ala , saat täydellisen kuvauksen kaksiulotteisesta tasosta, sen suunnasta kolmiulotteisessa tilassa (vektoriosa) ja kuinka suuri tämä taso on (tämän vektorin pituus).
Matemaattisesti voit ilmaista tämän ”ristitulona” $$ \ vec c = \ vec a \ kertaa \ vec b $$, jonka suuruus on määritelty muodossa $ | c | = | a || b | sin \ theta $, joka on yhtä suuri kuin vektorien (jotka todella määrittelevät tason) suuntakulma-alueen. Jos haluat varastaa tämän kuvan ristiikkituotetta käsittelevästä wikipedian artikkelista:
Kuten sanoin alussa tämä on hyvin erikoinen asia kolmessa ulottuvuudessa, korkeammissa ulottuvuuksissa, se ei toimi yhtä siististi eri syistä. Jos haluat lisätietoja tästä aiheesta, avainsana olisi ”ulkoinen algebra”
Päivitys:
Tämän käsitteen fyysisen merkityksen osalta merkittäviä esimerkkejä ovat pintojen läpi virtaavat vektorikentät. Ota pyöreä lanka. Tämä ympyrä voidaan suunnata eri tavoin 3D-muodossa. Jos sinulla on ulkoinen magneettikenttä, saatat tietää, että tämä voi aiheuttaa sähkövirran, joka on verrannollinen ympyrän läpi virtaavan määrän muutosnopeuteen (ajattele tätä kuinka paljon nuolet reiittävät alueen). Jos magneettikentän vektorit ovat yhdensuuntaisia ympyrän kanssa (ja siten kohtisuorassa sen normaalivektorin kanssa), ne eivät ”reiitä” aluetta ollenkaan, joten virta tämän alueen läpi on nolla.Toisaalta, jos kenttävektorit ovat kohtisuorassa tasoon nähden (ts. Normaalin suuntaiset), ”reiittää” tämä alue ja virtaus maksimaalisesti.
jos muutat niiden välistä suuntaa kahdessa tilassa voit saada sähkövirran.
Kommentit
- +1 magneettikenttien mainitsemiseksi. Kaikki fysiikassa käytetyt pintavektorit eivät ole differentiaalisia.
- Kiitos. Vain muutama selvennys. Pyysit minua kuvittelemaan henkilön seisovan paperilla & pitämään pään suunsa edustavana normaalia vektoria. Mutta oletetaan, että tämä henkilö seisoi täsmälleen vastakkain, voitti sitten ’ t paperin suunta edelleen? Mutta nyt vektorin suunta on päinvastainen. Ole hyvä ja tarkenna.
- Toiseksi sanoit, että tämä käsite ’ ei toimi niin hyvin korkeammissa ulottuvuuksissa. Tarkoittaako tämä siis sitä, että kysymykseni pallon ’ alueen suunnasta on virheellinen? Jos näin on, onko alue tässä tapauksessa skalaari, koska sen pitäminen vektorina ei voi määrittää sen suuntaa avaruudessa?
- mikä ’ estää sinua olemasta tyytyväinen ?
- Se ’ ei tyydytä, koska vaikka axb on vektori, | axb | eli alue on skalaari, joten ei ole vakuuttavaa, että alue on vektori.
Vastaus
Tärkein käyttötapa on, kun alue on äärettömän pieni, kuten yksi käyttää kiinteänä osana. Siinä tapauksessa voimme helposti nähdä, että se on tasainen, ja muodolla ei ole väliä. Tällöin voimme koodata tiedot vektorina, jonka suuruus edustaa (skalaari) aluetta; valinta (kuten sinä huomannut) osoittaminen mille tahansa sivulle on täsmälleen se valinta – mutta valinta, joka voidaan tehdä johdonmukaisesti. Voimme laajentaa tämän koskemaan ei-äärettömän pieniä tasoja, mutta se ei toimi niin hyvin kaarevilla pinnoilla.
Tarkemmin sanottuna, mitä todella haluat, on co-vector . Tämä on abstrakti laite, joka ottaa vektorin ja sylkee skalaarin. Tasossa haluat, että tämä edustaa tason läpi kulkevan vektorin ”määrää” — joten sen tulisi olla vektorissa lineaarinen (vektorin kaksinkertaistaminen kaksinkertaistaa lähdön) ja sen tulisi ottaa huomioon kulma, jossa vektori osuu siihen (antaa kertoimen $ \ cos $). Nyt voimme esittää kysymyksen siitä, miten edustaa tätä abstraktia apuvektoria, ja käy ilmi, että vektori on hyvä idea! Voimme erityisesti edustaa toimintaa ottamalla pistetulon, joka luonnollisesti koodaa lineaarisuuden ja kosinin. Yleensä tällä sattuu olemaan sama määrä ulottuvuuksia kuin oikealla vektorilla, mutta tämä koodaa vain alueen (2D-pinnan) 3D-muodossa — 2D-muodossa saat viivan, 4D-tilassa äänenvoimakkuuden (kyllä! 4-vektori leikkaa tilavuuden yhdessä pisteessä!).
Jos haluat oppia lisää tällaisesta asiasta, haluat tutkia differentiaaligeometriaa, jossa kaikki on välttämätöntä olla selvä tällaisesta asiasta eikä sekoittaa vektoreita ja apuvektoreita (kutsutaan lomakkeet kyseisellä kentällä). Hyvä luettava viite on Mittakentät, solmut ja painovoima , joka alkaa matematiikan perustiedot ja kehittää sitä fyysiseen käyttöön.
Kommentit
- Kenttäteorioiden yhteydessä, kuten sähkömagnetismin yhteydessä, käsite ” vektorin määrä (kenttä) ), joka kulkee tasosegmentin ” läpi, annetaan nimi juoksu . Joten saatat ajatella aluetta olevan ominaista toiminnolle, joka kartoittaa vektorit (tai vektorikentän) kyseisen vektorin (kentän) virtaukseen alueen läpi.
- @luksen hänen mainitsemansa kirja on hyvä missä matemaattisen ja fyysisen tiedon tasossa? Mitkä ovat edellytykset muotoilla uudelleen, jotta voisimme alkaa seurata kirjaa tehokkaasti? Ja onko se jatko- vai perustutkintokirja?
Vastaus
Ajattele, että voima on paine-aikojen alue ($ F = P \ cdot A $). Tiedät, että paine on skalaari (siihen ei ole liitetty suuntaa) ja voima on vektori (se toimii akselia pitkin). Joten mitä tämä tarkoittaa paineelle.
Ota pieni alue ja näe sen vaikutus paineen aiheuttamaan kokonaisvoimaan.
$$ {\ rm d} F = P ( x, y, z) \, {\ rm d} A $$
Voiman suunta on normaali alueelle ja sen suuruus on verrannollinen alueen kokoon. äärettömän pieni alue $ {\ rm d} A $ voi olla vektori. On kätevää ajatella (vektori) = (skalaari) * (vektori).
Vastaa
On olemassa erityisen viehättävä esimerkki Pythagorien laista kolmessa ulottuvuudessa, jota sovelletaan yksinkertaisen alueen alueisiin. koneet ja yksi mielivaltainen kone.) Kolmen pienen pinnan neliöiden (alueiden) summa on yhtä suuri kuin vino pinnan alueen neliö. Se voidaan helposti selittää paine- / virtaustyyppiargumenteilla, jotka esitetään muissa täällä lähetetyissä vastauksissa, sekä ilmeisellä fyysisellä kunnolla, että häiriötön neste on tasapainossa itsensä kanssa.