Minulla on kysymys vuoden 1976 mustasta mallista ja Bachelier-mallista.
Tiedän, että geometrinen ruskea liike P-mitassa $ dS_ {t} = \ mu S_ {t} dt + \ sigma S_ {t} dW_ {t} ^ {P} $ osakekurssilla $ S_ {t} $ johtaa (muutoksen jälkeen) Black- Scholes-kaava puhelulle:
$$ C = S_ {0} N (d_ {1}) – Ke ^ {- rT} N (d_ {2}) $$.
Missä $ d_ {1} = \ frac {ln (\ frac {S_ {0}} {K}) + (r + \ frac {1} {2} \ sigma ^ {2}) T} {\ sigma \ sqrt {T}} $ ja $ d_ {2} = d_ {1} – \ sigma \ sqrt {T} $
En todellakaan tiedä miten saada kuuluisaa mustaa kaavaa päälle termiinisopimus:
$$ C = e ^ {- rT} (FN (d_ {1}) – KN (d_ {2})) $$.
missä nyt $ d_ {1} = \ frac {ln (\ frac {F} {K}) + \ frac {1} {2} \ sigma ^ {2} T} {\ sigma \ sqrt {T}} $ ja $ d_ {2} = d_ {1} – \ sigma \ sqrt {T} $
Pitäisikö minun lisätä $ F (0, T) = S_ {0} e ^ {rT} $ ensimmäiseen tukiasemaan kaava toisen saamiseksi?
Kysyn tätä, koska olen yrittänyt johtaa BS-kaavaa käyttämällä aritmeettista ruskeaa liikettä kuten $ dS_ {t} = \ mu dt + \ sigma dW_ {t} ^ {P} $, a ja saan:
$$ C = S_ {0} N (d) + e ^ {- rT} [v n (d) -K N (d)] $$.
missä $ d = \ frac {S_ {0} e ^ {rT} -K} {v} $ ja $ v = e ^ {rT} \ sigma \ sqrt {\ frac {1-e ^ {- 2rT}} {2r}} $ ja muista, että $ N (d) $ ja $ n (d) $ ovat CDF ja PDF.
mutta edellinen korvaus $ F (0, T ) = S_ {0} e ^ {rT} $ ei näytä johtavan tunnettuun tulokseen $ C = e ^ {- rT} [(FK) N (d) – \ sigma \ sqrt {T} n (d )] $
missä nyt $ d = \ frac {FK} {\ sigma \ sqrt {T}} $
Luulen, että voisin saavuttaa yhtälöt eteenpäin sekä geometrisesti brownian-liike ja aritmeettinen brownian-liike yhtälöiden avulla
$ dF = F \ sigma dW_ {t} ^ {Q} $ ja $ dF = \ sigma dW_ {t} ^ {Q} $, mutta en minä ” en osaa perustella niiden käyttöä.
Kommentit
- @Macro Tervetuloa Quantiin. S.E.! Haluatko hinnoittaa vain termiinisopimuksen tai -operaation?
- Hei Neeraj, kiitos vastauksestasi. Haluan ' halua hinnoittaa vaihtoehdon termiinisopimukseen!
- Korvaa vain $ S_0 $ arvolla $ F e ^ {- rT} $ alkuperäisessä BS-kaavassa tai voit käyttää riskineutraalia lähestymistapaa. Molemmat johtavat samaan arvostuskaavaan.
- Ok, kiitos. Mutta voinko tehdä saman ABM: lle? Koska en voi ' saada tulosta, kun teen tämän korvaamisen.
Vastaa
Eurooppalainen vaihtoehto tulevaisuudessa
Jotta voisit hinnoittaa eurooppalaisen vaihtoehdon tulevaisuudessa, sinun tarvitsee vain korvata $ S_0 $ sanalla $ Fe ^ {- rT} $ alkuperäisessä BS-kaavassa tai voit käyttää riskineutraalia lähestymistapaa. Molemmat johtavat samaan arvostuskaavaan.
Amerikkalainen vaihtoehto tulevaisuudessa
Edellä mainittua menettelyä ei voida käyttää hinnoittelemaan amerikkalaista vaihtoehtoa tulevaisuudessa. Tulevia sopimuksia koskevien optioiden arviointi Ramaswamyn mukaan todettiin
Ei ole tiedossa olevaa analyyttistä ratkaisua amerikkalaisen vaihtoehdon arvostamiseen tulevassa sopimuksessa.
Kirjailijat käyttivät implisiittistä rajallista eroa -menetelmää hinnoitellessaan amerikkalaista vaihtoehtoa tulevassa sopimuksessa.
Muokkaa: Eurooppalaisen option hinnan johtaminen tulevasta sopimuksesta
Riskineutraalin mittarin mukaan tulevaisuuden hinta, $ F_t $ täyttää seuraavat SDE: $$ dF_t = \ sigma F_t dW_t $$ missä, $ W_t $ on Wiener-prosessi. Voidaan helposti osoittaa, että: $$ F_T | F_t = F_t e ^ {- \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 (Tt) + \ sigma (W_T- W_t )} $$ $$ F_T | F_t \ sim logN \ left (ln (F_t) – \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 (Tt), \ sigma ^ 2 (Tt) \ oikea) $$
Tulevan sopimuksen vaihtoehdon hinta $ (C_t) $ alla riskineutraali mitta on: $$ C_t = e ^ {- r (Tt)} E_ \ mathbb {Q} [(F_T – K) ^ +] $$
Voit helposti ratkaista yllä olevan lausekkeen saadaksesi optioiden hinnan tulevaisuuteen. $ F_T $ -jakauma on hyvin samanlainen kuin $ S_T $ (katso tämä vastaus) . Jos vaihdat $$ ln (F_t) = ln (S_t) + r (Tt) $$ , saat saman jakauman $ S_T $ kuin riskineutraalissa toimenpiteessä. Tästä syystä saadaksemme vaihtoehdon hinnan tulevaisuudessa korvaamme $ S_t $ sanoilla $ F_t e ^ {- r (Tt)} $ Euroopan osto-optiohinnan BS-mallissa.
Kommentit
- Hei Neeraj, itse asiassa olen ' haluaisit hinnoittaa eurooppalaisen vaihtoehdon ABM: stä alkaen.
- @Marco tarkista muokkausvastaus.
Vastaa
Tässä on yksinkertainen tapa saada puhelun hinta välituotehintaan käyttämällä riskineutraalia hinnoittelua.
Oletetaan, että meillä on eurooppalainen puhelu, joka maksaa $ t = T $ , $ (For ( T, T ^ *) – K) ^ + $ , missä $ T ^ * \ geq T $ . Oletetaan lisäksi, että korot ovat vakioita ja niitä edustaa ” $ r $ ”. Olkoon $ c ^ {For} (t, s) $ hinta puhelulle, jossa $ S (t) = s $ .
Jos osake ei maksa osinkoja:
$ c ^ {For} (t, s) = \ widetilde {\ mathbb { E}} [e ^ {- r (Tt)} (For (T, T ^ *) – K) ^ + | S (t) = s] $ , replikoimalla se voidaan näyttää, $ For (T, T ^ *) = S (T) e ^ {r (T * – T)} $ ja
$ c ^ {For} (t, s) = \ widetilde {\ mathbb {E}} [e ^ {- r (Tt)} (S (T) e ^ {r (T * – T)} – K) ^ + | S (t) = s] $
Huomaa heti, koska korot ovat vakioita ja siten deterministisiä, voimme vetää ” $ e ^ {r (T ^ * – T)} $ ” termi odotetusta:
$ c ^ { Sillä} (t, s) = e ^ {r (T * – T)} \ widetilde {\ mathbb {E}} [e ^ {- r (Tt)} (S (T) – e ^ {- r ( T * – T)} K) ^ + | S (t) = s] $
Näin ollen tämä on nyt verrannollinen Black Scholes -puhelun hintaan, jossa on lakko $ X = e ^ {- r (T * – T)} K $
$ c ^ {For} (t, s) = e ^ {r (T * – T)} c ^ {BS} (t, s | X = e ^ {r (T * – T) K} $ ) $ c ^ {For} (t, s) = e ^ {r (T ^ * – T)} [SN (d_ +) – e ^ {- r (Tt)} e ^ {- r (T * – T)} KN (d _-)] $ $ c ^ {For} (t, s) = e ^ {r (T ^ * – T )} [SN (d_ +) – e ^ {- r (T * – t)} KN (d _-)] $
$ c ^ { } (t, s) = e ^ {- r (T – t)} (FN (d_ +) – KN (d _-)) $ , jossa $ F = Se ^ {r (T ^ * – t)} $
myös:
$ d _ {\ pm} = \ frac { 1} {\ sigma \ sqrt {Tt}} [ln (\ frac {S} {K}) + (r \ pm \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2) (Tt)] $
Tämä on ”kuuluisa musta kaava termiinisopimuksessa”. Toivon, että tämä auttaa!
Huomaa, että termiinihinta ja termiinisopimus eivät ole samat. Termiinisopimuksen hinta hetkellä 0 on 0, mutta se voi muuttua, termiinihinta on hinta, jonka suostut maksamaan toimituksen yhteydessä.
Jos olet utelias, mitä se olisi, jos kyseessä olisi puhelu futuurihinta termiinihinnan ostamisen sijaan väitän, jos omaisuuserän hinta ei korreloi koron kanssa, niin ne ovat samat, muuten olisi olemassa arbitraasia (olettaen, että vastapuoliriskiä ei ole jne.). Kehotan teitä kokeilemaan tätä.
(PS Edellisen kommentoijan vastaukseen siitä, että termiinihinnassa ei ole kaavaa amerikkalaiselle vaihtoehdolle, tämä ei estä meitä käyttämästä monte carloa!)