Tiedetään, että tavallinen monimuuttujainen Brownin silta $ y (\ mathbf u) $ on keskitetty Gaussin prosessi, jossa on kovarianssitoiminto $$ \ mathbb E ( y (\ mathbf u) y (\ mathbf v)) = \ prod_ {j = 1} ^ d (u_j \ kiila v_j) – \ prod_ {j = 1} ^ d u_j v_j $$
En ole varma siitä, miten tällainen monimuuttujainen Brownian silta rakennetaan.
Ensimmäinen ajatukseni oli aloittaa jotenkin yksimuuttujaisella Brownian sillalla. Olen löytänyt tietoa tästä ja jopa paketin R: stä, joka voi tehdä tämän, mutta vain yksimuuttujaiselle Brownian sillalle.
Löysin tämän , mutta kuten ymmärrän, mitä on tehty, ei ole tavanomaista edellä määriteltyä tai muuten määriteltyä Brownian siltaa tässä artikkelissa .
Kiitän vihjeistä ja tuesta.
Kommentit
- Kuten Deheuvels-lehden -linkistä sain selville, on seuraava suhde Brownian sillan $ B_t $ ja Brownian Sheetin (tai Wiener Sheetin) välillä $ W_t $: $$ B_t: = W_t – \ frac t T W_T $$ Joten mielestäni ongelma pienenee Brownian arkin simulointiin. Esitän kysymykseni tästä erillisessä kysymyksessä.
- korjaus, useampien ulottuvuuksien suhde on $$ B _ {\ mathbf t}: = W _ {\ mathbf t} – \ prod_ {j = 1 } ^ d t_j W _ {(1, …, 1)} $$
- Liittyvät: stats.stackexchange.com/questions/34354/ …
vastaus
Kuten jo mainitsit kommenteissa kysymys supistuu Brownin-arkin simulointiin. Tämä voidaan tehdä yleistämällä Brownin liikkeen simulointi suoraviivaisella tavalla.
Brownin liikkeen simuloimiseksi voidaan käyttää i.i.d. mean-0 varianssi-1 aikasarja $ W_i $ , $ i = 1, 2, \ cdots $ ja rakenna normalisoitu osittainen summa-prosessi $$ X_n (t) = \ frac {1} {\ sqrt {n}} \ sum_ {i = 1} ^ {[nt]} W_i. $$ Koska $ n \ rightarrow \ infty $ , $ X_n $ lähentyminen on heikkoa ( Borelin todennäköisyyksien mitta metrisen tilan suhteen) tavalliseen Brownian $ B $ Skorohod-avaruuteen $ D [0 , 1] $ .
Iid äärellisen toisen hetken tapaus on yksinkertaisin tapa simuloida. Matemaattinen tulos (Functional Central Limit Theorem / Donskers Theorem / Invariance Principle) pitää sisällään paljon suuremman yleisyyden.
Nyt (esimerkiksi kaksiulotteisen) Brownin arkin simulointiin tarvitaan iid mean-0 -varianssi. -1 taulukko $ W_ {ij} $ , $ i, j = 1, 2, \ cdots $ ja rakenna normalisoitu osittainen summaprosessi $$ X_n (t_1, t_2) = \ frac {1} {n} \ sum_ {1 \ leq i \ leq [nt_1], 1 \ leq j \ leq [nt_2]} W_ {ij}. $$ Kuten $ n \ rightarrow \ infty $ , $ X_n $ lähentyminen heikosti tavalliseen Brownian-taulukkoon Skorohod-avaruudessa $ D ([0,1] ^ 2) $ yksikön neliössä .
(Todiste on tavallinen heikko konvergenssiargumentti:
-
Lopullisen mittasuhteen lähentyminen seuraa Levy-Lindebergin CLT: stä.
-
Tiiviys $ D ([0,1] ^ 2) $ seuraa riittävän hetken tilanteesta, joka pitää triviaalia i.i.d. äärellinen toisen hetken tapaus — katso esim. Bickel ja Wichura (1971). )
Sitten jatkuvan kartoituslauseen avulla $$ X_n (t_1, t_2) – \ prod_ {j = 1} ^ 2 t_j X_n (t_1, t_2) $$ yhtyy heikosti kaksiulotteiseen Brownin sillaan.