Ulottuvuuden vähentämistekniikassa, kuten pääkomponenttianalyysi, LDA jne., käytetään usein termiä jakotukki. Mikä on moniosainen ei-tekninen termi? Jos piste $ x $ kuuluu palloon, jonka ulottuvuutta haluan pienentää, ja jos kohinaa $ y $ ja $ x $ ja $ y $ ovat korreloimattomia, todelliset pisteet $ x $ erotettaisiin kaukana toisistaan muut melun takia. Siksi tarvitaan melun suodatusta. Joten ulottuvuuden vähennys suoritetaan arvolla $ z = x + y $. Siksi $ x $ ja $ y $ kuuluvat täältä toisille jakotukille?
Työskentelen pistepilvidatalla, jota käytetään usein robotin näkemisessä; pistepilvet ovat meluisia hankinnan melun takia, ja minun on vähennettävä melua ennen ulottuvuuden pienentämistä. Muuten saan väärän mitan pienennyksen. Joten mikä on jakotukki tässä ja onko melu osa samaa jakotukkia, johon $ x $ kuuluu?
Kommentit
- Se ’ ei ole mahdollista käyttää termiä oikein ilman matemaattista tarkkuutta
vastaus
Ei-teknisesti sanottuna jakotukki on jatkuva geometrinen rakenne, jolla on rajallinen ulottuvuus: viiva, käyrä, taso, pinta, pallo, pallo, sylinteri, torus, ”möykky” … jotain tällaista: 
Se on yleinen termi, jota matemaatikot sanovat ”käyrä” (ulottuvuus 1) tai ”pinta” (ulottuvuus 2) tai 3D-objekti (ulottuvuus 3) … mahdolliselle äärelliselle ulottuvuudelle $ n $. Yksiulotteinen jakotukki on yksinkertaisesti käyrä (viiva, ympyrä …). Kaksiulotteinen jakotukki on yksinkertaisesti pinta (taso, pallo, torus, sylinteri …). Kolmiulotteinen jakotukki on ”täysi esine” (pallo, koko kuutio, ympäröivä 3D-tila …).
Monikerrosta kuvataan usein yhtälöllä: Pistejoukko $ (x, y) $, kuten $ x ^ 2 + y ^ 2 = 1 $, on yksiulotteinen jakotukki (ympyrä).
Jakotukilla on sama ulottuvuus kaikkialla. Jos esimerkiksi liität viivan (ulottuvuus 1) palloon (ulottuvuus 2), tuloksena oleva geometrinen rakenne ei ole jakotukki.
Toisin kuin metrisen avaruuden tai topologisen avaruuden yleisemmät käsitteet, jotka on tarkoitettu kuvaamaan luonnollista intuitiomme jatkuvasta pistejoukosta, jakotukin on tarkoitus olla jotain paikallisesti yksinkertaista: kuten äärellinen ulottuvavektori: \ mathbb {R} ^ n $. Tämä sulkee pois abstraktit tilat (kuten äärettömät dimensiotilat), joilla ei usein ole geometrista konkreettista merkitystä.
Toisin kuin vektoriavaruudessa, jakotukilla voi olla erilaisia muotoja. Jotkut jakotukit voidaan helposti visualisoida (pallo, pallo …), joitain on vaikea visualisoida, kuten Klein-pullo tai todellinen projektiivitaso .
Tilastoissa, koneoppimisessa tai yleisesti sovelletussa matematiikassa sanaa ”moninkertainen” käytetään usein sanomaan ”kuten lineaarinen alatila”, mutta mahdollisesti kaareva . Aina kun kirjoitat lineaarisen yhtälön, kuten: $ 3x + 2y-4z = 1 $, saat lineaarisen (affiinisen) alatilan (tässä tason). Yleensä kun yhtälö ei ole lineaarinen, kuten $ x ^ 2 + 2y ^ 2 + 3z ^ 2 = 7 $, tämä on moninkertainen (tässä venytetty pallo).
Esimerkiksi ” moninkertainen hypoteesi ”ML: ssä sanotaan, että” korkean ulottuvuuden tiedot ovat pisteitä matalan ulottuvuuden jakotukissa, johon on lisätty korkeaulotteinen melu ”. Voit kuvitella 1D-ympyrän pisteitä, joihin on lisätty 2D-kohinaa. Vaikka pisteet eivät ole aivan ympyrässä, ne täyttävät tilastollisesti yhtälön $ x ^ 2 + y ^ 2 = 1 $. Ympyrä on taustalla oleva jakotukki: 
kommentit
- @RiaGeorge Kuvassa pinta on moniosainen. Se on ’ jatkuva, koska voit liikkua sen ympärillä vapaasti keskeytyksettä eikä sinun tarvitse koskaan hypätä pois pinnalta päästäksesi kahden paikan väliin. Reiät, joihin viittat, ovat tärkeitä kuvaillessasi miten voit kiertää kahden pisteen välisellä pinnalla yksinkertaisimmalla tavalla, ja niiden laskeminen on tärkeä tekniikka jakotukkien tutkimisessa.
- Topologian selittäminen olisi liian laaja kysymys tälle sivustolle ja hieman aiheen ulkopuolella. Etsin matematiikan pino-vaihdosta tietoa siitä. Jakotukit ja topologia eivät ole synonyymejä: jakotukit ovat matemaattisia esineitä, joita tutkitaan topologian tekniikoilla, topologia on matematiikan ala-aihe.
- Tämä tuntuu erittäin hyvältä selitykseltä käsitteestä ensimmäistä kertaa oppivalle henkilölle ajankohta, hyvin valituilla, konkreettisilla esimerkeillä (En tiedä varmaankin ’, koska olen jo törmännyt käsitteeseen.) Pienenä kitarana suosittelen muotoilemaan viimeinen lause vähemmän absoluuttiseksi (” Aina kun yhtälö on epälineaarinen, kuten …”): kuten se on kirjoitettu juuri nyt, se ei ole totta. Pienen hölmön lisäksi tämä on mielestäni hyvin kirjoitettu.
- Vastauksesta puuttuu kaikki peruskohdat, jotka tekevät siitä moninkertaisen, en saa ’ saada kuinka sillä on niin paljon yläneitä. Topologiaa, kaavioita ja sileyttä ei edes mainita, ja vastaus antaa pohjimmiltaan vaikutelman, että jakotukki on pinta, jota se ei ole .
- Tekninen kohta, ratkaisujoukko yhtälöjärjestelmän ei tarvitse olla moninkertainen. Se ’ on lajike, joten se ’ on enimmäkseen jakotukki, mutta sillä voi olla itsensä leikkauspisteitä, joissa moninaisen ominaisuus epäonnistuu. / li>
vastaus
(topologinen) jakotukki on välilyönti $ M $, joka on:
(1) ”paikallisesti” ”vastaa” $ \ mathbb {R} ^ n $ joillekin $ n $.
”Paikallisesti”, ”ekvivalenssi” voidaan ilmaista $ n $ -koordinaattofunktioilla $ c_i: M \ to \ mathbb {R} $, jotka yhdessä muodostavat ”rakennetta säilyttävän” funktion, $ c: M \ to \ mathbb {R} ^ n $, nimeltään kaavio .
(2) voidaan toteuttaa ”rakennetta säilyttävällä” tavalla osajoukkona $ \ mathbb {R} ^ N $ joillekin $ N \ ge n $. (1) (2)
Huomaa, että tee ”rakenne” täsmälliseksi, on ymmärrettävä topologian ( def. ), jonka avulla voidaan tehdä tarkkoja käsityksiä ”paikallisesta” käyttäytymisestä ja siten ”paikallisesti” yllä. Kun sanon ”vastaava”, tarkoitan vastaavaa topologista rakennetta ( homeomorfinen ) ja kun sanon ”rakennetta säilyttävä”, tarkoitan samaa asiaa (luo vastaavan) topologinen rakenne).
Huomaa myös, että laskennan suorittamiseksi jakotukissa tarvitaan lisäehto, jota ei seuraa kahden ehdon yläpuolella, mikä pohjimmiltaan sanoo jotakin, kuten ”kaaviot ovat riittävän hyvässä kunnossa, jotta voimme tehdä laskutoimituksia”. Nämä ovat käytännössä useimmin käytettyjä jakoputkia. Toisin kuin yleiset topologiset jakotukit , ne mahdollistavat laskennan lisäksi myös kolmiot , mikä on erittäin tärkeää sovelluksissa, kuten omasi, johon liittyy pistepilvitietoja .
Huomaa, että kaikki ihmiset eivät käytä samaa määritelmää (topologiseen) jakokanavaan. Useat kirjoittajat määrittelevät sen vain tyydyttäväksi ehto (1) abo ve, ei välttämättä myöskään (2). Sekä (1) että (2) tyydyttävä määritelmä on kuitenkin paljon parempi käyttäytyminen, joten se on hyödyllisempi harjoittajille. Voidaan intuitiivisesti odottaa, että (1) merkitsee (2), mutta se ei tosiasiassa t.
MUOKKAA: Jos olet kiinnostunut oppimaan, mitä tarkalleen ”topologia” on, tärkein ymmärrettävä esimerkki topologiasta on $ \ euklidinen topologia \ mathbb {R} ^ n $. Tätä käsitellään perusteellisesti kaikissa (hyvissä) johdantokirjoissa, jotka koskevat ”todellista analyysiä” .
Kommentit
- Kiitos vastauksestasi: Voisitteko selittää mikä topologia on myös teknisessä termissä? Käytetäänkö termiä topologia ja monisarja vaihdettavasti? ulottuvuuden on oltava kokonaisluku? Mikä se on reaaliluku, luulen, että rakennetta kutsutaan fraktaaleiksi, jos koko rakenne koostuu jokaisesta osasta, on itsestään toistuva.
- @RiaGeorge $ n $ tarkoittaa luonnollista lukua (kokonaisluku $ \ ge 1 $), samoin kuin $ N $. Murtoluku / r voi olla kehittyneempi teoria eal-arvoisia ulottuvuuksia, mutta se ei tule ’ esiin niin usein. ” Topologia ” ja ” jakotukki ” tarkoittaa kahta hyvin erillistä asiaa, joten ne eivät ole keskenään vaihdettavissa olevia termejä. ” jakotukilla ” on ” topologia ”. Topologia-alue tutkii tiloja, joissa on ” topologioita ”, jotka ovat joukkoa joukkoa, jotka täyttävät kolme sääntöä / ehtoa. Yksi tavoitteista tutkia ” topologioita ” on kuvata johdonmukaisella ja toistettavalla tavalla käsitteitä ” paikallinen ” käyttäytyminen.
- @RiaGeorge ” topologian löytyy Wikipedia-sivulta: fi.wikipedia.org / wiki / General_topology # A_topology_on_a_set – huomioi myös, että linkki, jonka annoin sinulle ” topologian (vastaava) määritelmälle ” naapurustossa viittaa johonkin asiaan, mutta ei samaan, olen muokannut vastaustani vastaamaan tätä: fi.wikipedia.org/wiki/… Huomaa kuitenkin, että asuinalueiden määritelmää on vaikeampaa ymmärtää (luulen voivani ymmärtää sen hyvin, mutta en ’ t vaivaudu myös, koska olen ’ m laiska
- niin joka tapauksessa ’ on henkilökohtainen puolueellinen mielipiteeni siitä, että et ’ ei tarvitse tietää topologian naapurustomääritelmää – tiedä vain, että yksinkertaisempi määritelmä antaa kaikille saman vaikutuksen naapurustomääritelmässä paikallisen käyttäytymisen tiukan kuvaamisen kannalta, koska ne ovat vastaava). Joka tapauksessa, jos olet kiinnostunut fraktaaleista, ehkä pidät näitä Wikipedia-sivuja mielenkiintoisina – en kuitenkaan voi ’ auttaa sinua siinä enemmän, koska en ole syvästi perehtynyt teoria ja don ’ eivät tunne tai ymmärrä suurinta osaa määritelmistä – olen kuullut vain joistakin niistä
- Tämä on toistaiseksi ainoa vastaus nykyaikaiseen matemaattiseen ajatukseen globaalin objektin kokoamisesta paikallisista tiedoista. Valitettavasti se ei ’ t pääse aivan yksinkertaisuuden ja selkeyden tasolle, jota vaaditaan ” ei-tekniselle ” -tili.
Vastaus
Tässä yhteydessä termi jakotukki on tarkka, mutta on tarpeettomasti korkeafalutiinista. Teknisesti jakotukki on mikä tahansa tila (pistejoukko topologialla), joka on riittävän sileä ja jatkuva (tavalla, joka voidaan tehdä matalalla hyvin määriteltävällä tavalla pienellä vaivalla).
Kuvittele tila kaikista alkuperäisten tekijöiden mahdollisista arvoista. Ulottuvuuden pienennystekniikan jälkeen kaikkia tilaa ei ole saavutettavissa. Sen sijaan vain pisteet jossakin upotetussa alitilassa avaruudessa ovat saavutettavissa. Tuo upotettu alatila sattuu täyttämään jakotukin matemaattinen määritelmä. Lineaarisen ulottuvuuden pienennystekniikalle, kuten PCA, kyseinen avaruus on vain lineaarinen alitila (esim. Hypertaso), joka on suhteellisen triviaali jakotukki. Mutta epälineaarisen mittasuhteen vähentämistekniikan tapauksessa tämä osa-alue voi olla monimutkaisempi (esim. Kaareva hyperpinta). Tietojen analysointia varten on tärkeämpää ymmärtää, että nämä ovat alatiloja, kuin mitä tahansa päätelmää saataisiin tietäen, että ne täyttävät moninkertaisen määritelmän.
Kommentit
- ” Highfalutin ” … oppinut uuden sanan tänään!
- matemaattisesti , jakotukki on mikä tahansa paikallisesti jatkuva topologinen tila. Pidän ajatuksesta yrittää selittää asioita yksinkertaisella kielellä, mutta tämä kuvaus ei todellakaan toimi ’. Ensinnäkin, jatkuvuus on aina paikallinen ominaisuus, joten en ’ ole varma, mitä tarkoitat paikallisesti jatkuvalla. Määritelmäsi ei myöskään sulje pois monia asioita, jotka eivät ole ’ t -jakokanavia, kuten järkevä lukulinja tai kahden euklidisen tason leikkaavan viivan yhdistäminen.
- Olen samaa mieltä Benin kanssa, teknisesti se ’ s ” paikallisesti euklidinen ”. En ’ ole varma, onko olemassa hyvä tapa keittää se yksinkertaiseksi englanniksi.
- Minun on myös oltava vahvasti samaa mieltä yllä olevien kahden kommentin kanssa. Itse asiassa alla kirjoittamani vastauksen oli alun perin tarkoitus olla selventävä kommentti tähän vastaukseen, joka tuli liian pitkäksi. ” jatkuvan ” topologisen tilan tarkkaa käsitystä ei ole (katso täältä: math.stackexchange.com/questions/1822769/… ). Jakotukkien määritteleminen olemattomien käsitteiden perusteella on mielestäni pitkällä aikavälillä todennäköisesti hämmentävämpää kuin selkeyttävä. Ehdotan ainakin korvata sanan ” matemaattisesti ” ensimmäisessä virkkeessä jollakin muulla.
- I ’ käytän tätä kommenttia tilaisuutena esittää pieni kysymys … Minusta (luulen) sain idean jakotukista, mutta miksi se on ” paikallisesti ” tarvitaan? Eikö ’ t ole tilaa ” paikallisesti ” jatkuva … jatkuva kokonaisuutena?
vastaus
Kuten Bronstein ja muut ovat sanoneet Geometrinen syväoppiminen: Euklidisen datan ylittäminen ( Lue artikkeli täältä )
Karkeasti jakotukki on paikallisesti euklidinen tila. Yksi yksinkertaisimmista esimerkeistä on pallomainen pinta, joka mallintaa planeettamme: pisteen ympärillä se näyttää olevan tasomainen, mikä on saanut ihmiset sukupolvet uskomaan maan tasaisuuteen. Muodollisesti (erilainen) d-ulotteinen jakotukki X on topologinen tila, jossa jokaisella pisteellä x on naapurusto, joka on topologisesti ekvivalentti (homeomorfinen) d-ulotteiselle euklidiselle avaruudelle, jota kutsutaan tangenttitilaksi.
kommentit
- Lainaus on itsensä ristiriitainen. Aluksi se kuvaa Riemannin monisarjaista (” paikallisesti euklidista ”), mutta lopussa kuvaa topologista jakoputkistoa (homeomorfismit eivät, määritelmän mukaan on kunnioitettava differentiaalirakennetta, joten tangenttitilan käsitettä ei sovelleta).