Tilastollisessa fysiikassa käytetään monissa paikoissa -osiofunktiota . Minulle selitykset niiden käytöstä ovat selkeät, mutta ihmettelen, mikä on niiden fyysinen merkitys. Voisiko kukaan selittää hyvällä esimerkillä ilman liikaa matemaattisia komplikaatioita?
Kommentit
- Sen lisäksi, että se on normalisointitekijä, monet sen merkittävistä ominaisuuksista ovat Laskelmat johtuvat sen samankaltaisuudesta Z- ja Laplace-muunnoksiin, kiitos eksponentiaalisen energian kanssa Boltzmann-jakauman, joka on eräänlainen " rinnakkaisindidence " siinä mielessä, että ne eivät ' toimisi eri jakelulla.
- Luitko " mikä tarkoittaa " -osaa Wikipedia-artikkelissa ? Jos kyllä, mikä ei ' t tyydytä sinua ", se koodaa kuinka todennäköisyydet jaetaan eri mikrotilojen välillä " ?
- Mahdollinen kopio osiosta Osiointitoiminnon kohtuuton tehokkuus
Vastaus
Osiointitoiminto on järjestelmän tilavuuden mitta tila vaihetilassa. Pohjimmiltaan se kertoo, kuinka monta mikrotilaa järjestelmääsi voidaan käyttää tietyssä kokoonpanossa. Tämä näkyy helposti mikrokanoonisesta kokonaisuudesta alkaen.
Mikrokanoonisessa kokonaisuudessa, jossa jokainen mikrotila, jonka energia on välillä $ E $ – $ E + \ Delta E $ on yhtä todennäköinen, osiointitoiminto on
$$ Z_ {mc} (N, V, E) = \ frac 1 {N! h ^ {3N}} \ int_ {E < \ mathcal H (\ {p, q \}) < E + \ Delta E } d ^ {3N} p \ d ^ {3N} q \ tag {1} $$
jossa integraali on vain vaihetilan alueen hypervolume, jossa energia (hamiltonin) $ \ mathcal Järjestelmän H $ on välillä $ E $ – $ E + \ Delta E $, normalisoitu arvolla $ h ^ {3N} $, jotta se olisi ulottumattomuus. Kerroin $ N! ^ {- 1} $ ottaa huomioon tosiasian, että vaihtamalla kahden hiukkasen ”etiketti” mikrotila ei muutu.
$$ S = k_B \ log (Z_ {mc}) \ tag {2} $$
kertoo, että entropia on verrannollinen järjestelmän makrotilaa vastaavan mikrotilojen kokonaismäärän logaritmi, ja tämä luku on vain $ Z_ {mc} $.
Kanonisessa ja suurkanonisessa kokoonpanossa osiointitoiminnon merkitys säilyy sama, mutta koska energiaa ei ole enää kiinnitetty, lauseke muuttuu.
Kanoninen osiointitoiminto on
$$ Z_c (N, V, T) = \ frac 1 {N! h ^ {3N}} \ int e ^ {- \ beta \ mathcal H (\ {p, q \})} d ^ {3N} p \ d ^ {3N} q \ tag {3} $$
Tässä tapauksessa integroidaan koko vaihetilaan, mutta osoitamme jokaiselle pisteelle $ \ {p, q \} = (\ mathbf p_1, \ dots \ mathbf p_N, \ mathbf q_1, \ dots \ mathbf q_N) $ a paino $ \ exp (- \ beta \ mathcal H) $, jossa $ \ beta = (k_B T) ^ {- 1} $, niin että valtiot, joiden energia on paljon suurempi kuin $ k_B T $ ovat vähemmän todennäköisiä. Tässä tapauksessa yhteyden termodynamiikkaan antaa
$$ – \ frac {F} {T} = k_B \ log (Z_c) \ tag {4} $$
missä $ F $ on Helmholtzin vapaa energia .
Suuri kanoninen osiointitoiminto on
$$ Z_ { gc} (\ mu, V, T) = \ sum_ {N = 0} ^ \ infty e ^ {\ beta \ mu N} Z_c (N, V, T) \ tag {5} $$
jossa tällä kertaa olemme myös laskemassa yhteen kaikki mahdolliset hiukkasten lukumäärät $ N $, painottamalla kutakin termiä arvolla $ \ exp (\ beta \ mu N) $, missä $ \ mu $ on kemiallinen potentiaali .
Yhteyden termodynamiikkaan antaa
$$ \ frac {PV} {T} = k_B \ log (Z_ {gc} \ tag {6}) $$
Vastaa
It ”s $ e ^ {- F / T} $, jossa $ F / T $ on asiaankuuluvan termodynaamisen energian asteikon, lämpötilan normalisoimaa vapaata energiaa. Eksponentti on vain monotoninen uudelleenparametrointi, joten moraalisesti ottaen osiointitoiminto on vain vapaata energiaa, joka on käytettävissä tehdä hyödyllistä työtä.
Toinen tulkinta: jos normalisoit sen niin, että $ E = 0 $ on perustila, sitten karkeasti sanottuna se ”on vastine” järjestelmän osasta ”, joka on” perustilassa ”. Äärimmäisen heuristisesti, olkoon $ g $ järjestelmän kokonaismäärä, joka on perustilassa, $ e $ on järjestelmän kokonaismäärä, joka on poistuneessa tilassa, ja $ s = g + e $ on järjestelmän kokonaismäärä. Tällöin $ g / s $ on murto-osa järjestelmästä, joka on perustilassa, ja sen vastavuoroisuus on $ s / g = (g + e) / g = 1 + e / g $. Boltzmannin paino antaa, että jokaisen viritetyn tilan $ i $ energian kanssa $ E_i $ suhteellinen paino (tai ”määrä”) suhteessa perustilan painoon on $ e ^ {- \ beta E_i} $.Yhteenvetona kaikista viritetyistä tiloista $ i $ saadaan osiointitoiminto $ s / g = 1 + e ^ {- \ beta E_1} + e ^ {- \ beta E_2} + \ pistettä $.
vastaus
Osiofunktion fyysinen merkitys on seuraava: Se ilmaisee termisesti saavutettavien tilojen määrän, jonka järjestelmä tarjoaa kantajille (esim. elektronille).