Mikä on polun integraali? [suljettu]

Matemaattisesti polun integraali on yleiskatsaus moniulotteiseen olennainen osa. Tavanomaisissa $ N $ -dimensionaalisissa integraaleissa integroidaan $$ \ int dx_1 dx_2 \ dots dx_N $$ alitilaan $ {\ mathbb R} ^ N $, $ N $ -dimensionaalinen integraali. Polkuintegraali on äärettömän ulotteinen integraali $$ \ int {\ mathcal D} f (y) \, Z [f (y)] $$ muuttujan $ y ($) kaikki mahdolliset funktiot $ f (y) $, joka voi olla reaaliluku tai vektori. Funktioiden $ f (0) $, $ f (0.1) $, $ f (0.2) $ jne. Arvoilla on sama rooli kuin muuttujilla $ x_1 $, $ x_2 $ jne. Tavallisessa moniulotteisessa integraalissa. .

Koska $ x_i $ -indeksi $ i $ otti arvoja äärellisessä joukossa $ 1,2, \ pisteitä N $, ja nyt se korvataan jatkuvalla muuttujalla $ y $, polun integraali on ääretön ulottuvuusintegraali.

Tiukat matemaatikot näkevät paljon ongelmia, jotka estävät määrittelemästä äärettömän ulotteisen polun integraalia mittausteorian avulla. Mutta fyysikot tietävät, että vastaavia integraaleja voidaan käsitellä. Jotkut ”ultraviolettierot” jne. Kokevat yrittäessään laskea ne, mutta ne voidaan hoitaa. Pohjimmiltaan haluaa käyttää kaikkia luonnollisia sääntöjä, jotka koskevat rajallisen ulottuvuuden integraaleja. Esimerkiksi kahden funktion summan (polku) integraalit ovat kahden (polku) integraalin summa ja niin edelleen.

Kaksi tärkeintä polun integraalin sovellusta fysiikassa ovat Feynmanin lähestymistavassa kvanttimekaniikkaan, erityisesti kvanttikenttäteoriaan, ja tilastomekaniikkaan.

(Klassisessa) tilastomekaniikassa halutaan laskea osion summa $$ Z = \ sum_C \ exp (- \ beta E_c) $$ kaikissa fyysisen järjestelmän kokoonpanoissa $ c $. Mutta koska kokoonpanot on usein merkitty kokonaisilla funktioilla $ f (y) $ – äärettömän monta arvoa argumentin $ y $ sallituissa arvoissa – summa ei ole ”t oikeastaan” summa”. Se ei ole edes äärellinenulotteinen integraali. Se on polkuintegraali.

Kvanttimekaniikassa kompleksiset todennäköisyys amplitudit jne. Lasketaan muodossa $$ {\ mathcal A} _ {fi} = \ int {\ mathcal D} \ phi (y) \, \ exp (iS [\ phi (y)] / \ hbar) $$ eli polun integraalina muuttujien $ \ phi (y) $ jne. kokoonpanoille. Integrand on vaihe – luku, jonka absoluuttinen arvo on yksi – ja vaihekulma riippuu mahdollisesta historiasta $ \ phi (y) $ arvioidusta klassisesta toiminnasta. Alku- ja lopputilat $ i, f $ sisällytetään integroimalla yli niiden ”väliaikojen” kokoonpanojen, jotka noudattavat sopivia rajaehtoja.

Lähes kaikki kvanttikenttäteoria voidaan ilmaista joidenkin polkuintegraalien laskelmina. Joten tässä mielessä ”kaiken” oppiminen polun integraali vastaa melkein kaiken kvanttimekaniikan ja kvanttikenttäteorian oppimista, mikä voi vaatia lukukauden ja 10 vuoden intensiivisen tutkimuksen välillä riippuen siitä, kuinka syvästi haluat saada. Sitä ei varmasti voida kattaa yhdellä sallitun kokoisella vastauksella tällä palvelimella.

Polkuintegraalien laskeminen Gaussin eli $ \ exp ({\ rm bilinear}) $ -integandin kanssa, mahdollisesti polynomin kanssa integraatiomuuttujien prefaktorit, on ehkä tärkein tai ”yksinkertaisin” esimerkki ei-triviaalisesta polun integraalista, jota fysiikassa todella tarvitsemme.

Kvanttimekaniikassa polun integraali edustaa minkään muun nimenomaista lopullista kaavaa Todennäköisyysamplitudi. Minkä tahansa tilasta $ | i \ rangle $ tilaan $ | f \ rangle $ siirtymisen amplitudi voidaan ilmaista suoraan polun integraalina, ja todennäköisyys on todennäköisyyksien amplitudin absoluuttinen arvo neliössä. kvanttimekaniikan avulla voidaan laskea kiehuminen näihin todennäköisyyksiin – joten polun integraali edustaa ”kaikkea” kvanttimekaniikassa. (Tämä kappale lähetettiin alun perin kommenttini, ja käyttäjällä, joka ehdotti tätä muokkausta, oli hyvä syy tehdä niin.)

Kommentit

• +1, mutta en sanoisi ' en sanoisi funktioiden arvoja, $ f (0), f (1) $ ja niin edelleen ovat $ x_1, x_2 $ jne., koska toiminto yhdistää kokonaiset funktiot numeroiksi, se ' s ja koko funktio $ f $, joka korvaa arvon $ x_1, x_2, $ jne. roolin.
• En ymmärrä, amalS, joka on
  id = ”fd649146c0″>

  hyvin diplomaattinen tapa sanoa, että luulette, ettet ymmärrä '. 😉 On vain yksi koko funktio $ f $, mutta muuttujia $ x_1, x_2 $ on paljon. Funktio sisältää jopa enemmän (äärettömän kertaa enemmän) tietoa kuin useat numerot $ x_1, \ dots, x_N $. Mikä on viimeisessä lauseessasi konjunktio välillä $ x_1, x_2 $? Jos se ' s " tai ", niin se ' on väärä, koska integroinneista puhumiseen on määritettävä kaikkien $ x_i $ -arvojen kaikki -arvot. Jos se ' s " ja ", niin OK, mutta yrität vain hämärtää sitä, että polku sisään on moniulotteinen.

• Vastustan vain analogiaa, jonka väität rajallisen ulottuvuuden tapauksen ja polun integraalin välillä. Tapa, jolla ' kirjoitit, ' sanot uudelleen funktion $ f $ arvot eri kohdissa " on sama rooli kuin muuttujilla $ x_1, x_2 $ jne. " Olen samaa mieltä siitä, että ' s on vain yksi funktio $ f $, ja summataan kaikki mahdolliset toiminnot. Joten minun mielipiteeni on, että se ' on eri toiminnot, jotka ovat analogisia skalaarimuuttujan $ x $ eri arvojen yhteenlaskemisen kanssa. En näe ', miten ' olet kyennyt ekstrapoloimaan. Mielestäni vain sujuvat toiminnot vaikuttavat yksittäisestä kommentistani …
• Kirjoitin vain, että $ \ int D \ phi (y) $ voidaan määritellä moniulotteisen integraalin jatkuvuusrajaksi $ \ int \ dots d \ phi (-0.02) d \ phi (-0.01 ) d \ phi (0) d \ phi (0,01) d \ phi (0,02) \ pisteitä $ 0,01 $: n kohdalla lähetetään nollaan. En usko ' uskoakseni väitteessä voi olla jotain kiistanalaista. Se ' on oikeastaan vastauksen ydin. Jos sanot vain, että " se on integraali funktion kaikkiin arvoihin kaikkialla ", et ole siirtymässä epsilonin kautta vastaamiseen OP: n esittämä kysymys ja selittäminen, mikä " integraali funktioiden " yli on. Integraali, polkua edeltävässä mielessä, on aina äärimmäisen himmeä.
• Hyvä @TAbraham, se edustaa selkeää lopullista kaavaa mille tahansa todennäköisyysamplitudille. Amplitudi mille tahansa tilan " i " tilasta siirtymiselle tilaan " f " voidaan ilmaista suoraan polun integraalina, ja todennäköisyys on todennäköisyysamplitudin absoluuttinen arvo neliössä. Kaikki, mitä kvanttimekaniikka antaa mahdollisuuden laskea, supistuu näihin todennäköisyyksiin – joten polun integraali edustaa " kaikkea " kvanttimekaniikassa.