Mikä on potentiaali?

Sähköpotentiaali ja sähköpotentiaalienergia ovat kaksi eri käsitettä, mutta ne liittyvät läheisesti toisiinsa. Harkitse sähkövaraus $ q_1 $ jossain vaiheessa $ P $ lähellä latausta $ q_2 $ (olettaen, että latauksilla on vastakkaiset merkit).
Jos vapautamme latauksen $ q_1 $ hintaan $ P $, se alkaa liikkua kohti veloittaa $ q_2 $ ja sillä on siten liike-energiaa. Energia ei voi näkyä taikuudella (ilmaista lounasta ei ole), joten mistä se tulee? Se tulee sähköpotentiaalienergiasta $ U $, joka liittyy houkuttelevaan ”konservatiiviseen” sähkövoimaan kahden chagin välillä. Potentiaalisen energian $ U $ huomioon ottamiseksi määritämme sähköisen potentiaalin $ V_2 $, joka on asetettu pisteeseen $ P $ latauksella $ q_2 $.

Sähköpotentiaali on olemassa riippumatta siitä, onko $ q_1 $ pisteessä $ P $. Jos päätämme sijoittaa latauksen $ q_1 $ sinne, kahden latauksen potentiaalinen energia johtuu latauksesta $ q_1 $ ja olemassa olevasta sähköpotentiaalista $ V_2 $ siten, että:
$$ U = q_1V_2 $$
PS Voit käyttää samaa argumenttia, jos otat huomioon chage $ q_2 $, siinä tapauksessa potentiaalinen energia on sama ja antaa: $$ U = q_2V_1 $$

Vektorilaskennan kielellä:

Sanapotentiaalia käytetään yleensä merkitsemään funktiota, joka erityisellä tavalla erotettuna antaa sinulle vektorikentän. Näitä potentiaalista syntyviä vektorikenttiä kutsutaan konservatiivisiksi . Kun annetaan vektorikenttä $ \ vec F $, seuraavat ehdot vastaavat:

1. $ \ nabla \ kertaa \ vec F = 0 $
2. $ \ vec F = – \ nabla \ phi $
3. $ \ lub_C \ vec F \ cdot \ text {d} \ vec \ ell = 0 $ kaikille suljetuille silmukoille $ C $ (tästä syystä nimi ”konservatiivinen”)

Kohdassa $ (2) $ esiintyvää funktiota $ \ phi $ kutsutaan $ \ vec F: n potentiaaliksi . Joten mikä tahansa irrotaatiovektorikenttä voidaan kirjoittaa liukuvärinä potentiaalisen toiminnon.

Erityisesti sähkömagneettisuudessa Faradayn laki kertoo meille, että $ \ nabla \ kertaa \ vec E = – \ frac {\ osittainen \ vec B} {\ osittainen t} $. Magneettikentille, jotka eivät vaihtelevat ajan mukaan (elektrostaatit) saamme, että $ \ nabla \ kertaa \ vec E = 0 $ ja siten $ \ vec E = – \ nabla V $, joissa $ V $ on $ \ vec E $: n potentiaali. kutsumme sähköpotentiaalia tai ”jännitettä”, jos olet ei-fyysikko. Elektrodynamiikkatapauksessa, jossa $ \ frac {\ partituali \ vec B} {\ osittainen t} \ neq 0 $ on edelleen olemassa käsite sähköpotentiaalista, koska voimme hajottaa sähkökentän irrotaatiokentän ja solenoidikentän summaksi (tätä kutsutaan Helmholtz-lauseeksi). Voimme sitten käyttää Maxwellin yhtälöitä saadaksemme, että $ \ vec E = – \ nabla V- \ frac {\ osittainen \ vec A} {\ osittainen t} $, jossa $ V $ on sama sähköpotentiaali ja $ \ vec A $ on vektorikenttä, jota kutsumme vektoripotentiaaliksi .

Painovoiman tapaus on analoginen. Jos $ \ vec g $ on irrotatiivinen painovoimakenttä (mikä on aina tapana Newtonin painovoimassa), sitten $ \ vec g = – \ nabla \ phi $, jossa $ \ phi $ on painovoimapotentiaali.Tämä liittyy läheisesti gravitaatiopotentiaalienergiaan siinä mielessä, että massa $ m $ sijoitetaan painovoimakenttään $ \ vec g $: lla on potentiaalista energiaa $ U = m \ phi $.

Kommentit

• +1 yksityiskohtaiseen vastaukseen. Ehdot 1 ja 3 . eivät ole yleensä vastaavia. On mahdollista, että vektorikenttä on sellainen, että $ \ vec \ nabla \ times \ vec F = 0 $ ja $ \ lub \ vec F \ cdot d \ vec l \ neq 0 $. Katso instanssi Miksi tämä vektorikenttä ei ole käpristynyt? .
• @Diracology hyvä asia. Meidän on vaadittava, että $ \ vec F $ ei n poikkeavat toisistaan alueella, jota rajaa $ C $. Yleisesti olettaen, että 1. on totta, meillä on $ \ lub_C \ vec F \ cdot \ text {d} \ vec \ ell = \ int \ int_S \ nabla \ times \ vec F \ cdot \ text {d} \ vec A = \ int \ int_S 0 \ cdot \ text {d} \ vec A = 0 $ jossa $ S $ on jokin pinta, jonka raja on $ C $, ja ensimmäinen tasa-arvo on Stoke ' s lause. On selvää, että jos $ \ vec F $ eroaa $ S $: ssa, kohtaamme joitain ongelmia näiden tasa-arvojen kanssa.