Mikä on symmetrisen jakauman määritelmä? Joku kertoi minulle, että satunnainen muuttuja $ X $ tuli symmetrisestä jakaumasta vain ja vain, jos $ X $ ja $ -X $: lla on sama jakauma. Mutta mielestäni tämä määritelmä on osittain totta. Koska voin esittää vastaesimerkin $ X \ sim N (\ mu, \ sigma ^ {2}) $ ja $ \ mu \ neq0 $. Ilmeisesti sillä on symmetrinen jakauma, mutta $ X $: lla ja $ -X $: lla on erilainen jakautuminen! Olenko oikeassa? Ajatteletko koskaan tätä kysymystä? Mikä on symmetrisen jakauman tarkka määritelmä?
Kommentit
- Kun sanot, " -jakauma on symmetrinen ", sinun on määritettävä, mikä piste on symmetrinen. Esitetyn normaalijakauman tapauksessa symmetria annetaan noin $ \ mu $. Tässä tapauksessa $ X- \ mu $ ja $ – (X- \ mu) $ jakavat saman. Tiheyden suhteen tämä voidaan ilmaista seuraavasti: $ f $ on symmetrinen dollarin $ \ mu $ suhteen, jos $ f (\ mu-x) = f (\ mu + x) $. BTW, on hyvä tapa hyväksyä vastaukset, kun olet tyytyväinen johonkin niistä.
- Kyllä, me kaverit olemme miettineet tätä kysymystä. Symmetrinen tarkoittaa yleensä symmetristä noin $ 0 $, ja muiden vasta-esimerkkien välttämiseksi väite siitä, että jakaumat ovat symmetrisiä , ei ole totta kumulatiivisen todennäköisyysjakautumisfunktion suhteen. " -esimerkki " on symmetrinen pisteeseen $ \ mu \ neq 0 $, ei pisteeseen $ 0 $.
- @Dilip Kun määritelmä riippuu yhdestä tavasta kuvata jotain, mutta määritelmän voidaan osoittaa olevan kyseisen ominaisuuden luonnollinen ominaisuus, ei ole mitään järkeä soveltaa määritelmää eri kuvauksen muoto. Tässä tapauksessa symmetria on jakelun ominaisuus, mutta se ei tarkoita, että kaikkien kyseisen jakelun kuvausten (mukaan lukien PDF ja CDF) on oltava " symmetrinen " samalla tavalla. Soveltamalla PDF: n symmetriaa CDF: ään kommenttisi hämmentää kysymystä pikemminkin kuin selventää sitä.
- shijing, @Procrastinator on havainnut, että olet esittänyt monia kysymyksiä hyväksymättä vastauksia. Tämä viittaa siihen, että tämä sivusto ei ehkä tunne sinua. Voit selvittää väärinkäsitykset lukemalla usein kysyttyjen kysymysten osan koko ajan ? Se vie vain muutaman minuutin, ja sen ohjeiden noudattaminen parantaa sivustomme arvoa sinulle.
- @whuber CDF on yksi harvoista kuvauksista, joissa sana jakelu esiintyy nimessä, ja yritin selventää, että symmetriaominaisuus ei ollut voimassa CDF: ssä.
Vastaa
Lyhyesti: $ X $ on symmetrinen, kun $ X $: lla ja $ 2aX $: lla on sama jakauma joillekin reaaliluvuille $ a $. Mutta tähän pääseminen täysin perustellulla tavalla vaatii jonkin verran poikkeamista ja yleistyksiä, koska se herättää monia implisiittisiä kysymyksiä: miksi tämä symmetrisen määritelmä? Voiko muita symmetrioita olla? Mikä on jakauman ja sen symmetrioiden suhde ja päinvastoin, mikä on suhde ”symmetrian” ja niiden jakaumien välillä, joilla voi olla kyseinen symmetria?
Kyseiset symmetriat ovat heijastuksia todellinen linja. Kaikki ovat muodoltaan
$$ x \ – 2a-x $$
joillekin vakioille $ a $.
Oletetaan, että $ X $ on tämä symmetria ainakin yhdelle $ a $: lle. Sitten symmetria tarkoittaa
$$ \ Pr [X \ ge a] = \ Pr [2a-X \ ge a] = \ Pr [X \ le a] $$
osoittaa, että $ a $ on $ X $ mediaani . Vastaavasti, jos $ X $: lla on odotus, se seuraa välittömästi, että $ a = E [X] $. Näin voimme yleensä kiinnittää $ a $ helposti. Vaikka ei, $ a $ (ja siten itse symmetria) on edelleen määritelty yksilöllisesti (jos sellaista on ollenkaan).
Nähdäksesi tämän, olkoon $ b $ mikä tahansa symmetriakeskus. Sitten soveltamalla molempia symmetrioita näemme, että $ X $ on invariantti käännös $ x \ – x + 2 (b-a) $. Jos $ b-a \ ne 0 $, $ X $: n jakauman täytyy olla jakso $ b-a $, mikä on mahdotonta, koska jaksollisen jakauman todennäköisyys on joko $ 0 $ tai ääretön. Siten $ ba = 0 $, mikä osoittaa, että $ a $ on ainutlaatuinen.
Yleisemmin kun $ G $ on ryhmä, joka toimii uskollisesti todellisella linjalla (ja laajentamalla kaikkia Borelin alajoukkoja), voimme sanoa, että jakauma $ X $ on ”symmetrinen” (suhteessa $ G $), kun
$$ \ Pr [X \ in E] = \ Pr [X \ E ^ g] $$
kaikille mitattaville ryhmille $ E $ ja elementeille $ g \ in G $, missä $ E ^ g $ tarkoittaa $ E $: n kuvaa $ g $: n toiminnassa.
Esimerkiksi olkoon $ G $ edelleen ryhmä $ 2 $, mutta nyt olkoon sen tehtävä olla ottamaan reaaliluvun vastavuoroisuus (ja antamaan sen korjata 0 dollaria). Vakio lognormaali jakauma on symmetrinen tähän ryhmään nähden. Tämä esimerkki voidaan ymmärtää heijastussymmetriana, jossa koordinaattien epälineaarinen uudelleenilmaisu on tapahtunut. Tämä viittaa keskittymiseen muunnoksiin, jotka kunnioittavat todellisen linjan ”rakennetta”. Todennäköisyyden kannalta välttämättömän rakenteen on liityttävä Borel-joukkueisiin ja Lebesgue-mittaukseen, jotka molemmat voidaan määritellä kahden pisteen välisen (euklidisen) etäisyyden avulla.
Etäisyyttä säilyttävä kartta on määritelmänsä mukaan isometria. On hyvin tunnettua (ja helppo, vaikkakin vähän mukana) osoittaa, että kaikki todellisen viivan isometriat syntyvät heijastuksista. Kun ymmärretään, että ”symmetrinen” tarkoittaa symmetristä suhteessa johonkin isometriaryhmään , ryhmän on luotava enintään yhdellä heijastuksella, ja olemme nähneet, että heijastus on yksilöllisesti määritelty mikä tahansa symmetrinen jakauma sen suhteen. Tässä mielessä edellinen analyysi on tyhjentävä ja oikeuttaa ”symmetristen” jakaumien tavanomaisen terminologian.
Muuten isäntä -muuttujaesimerkkejä isometriaryhmissä invariantit jakaumat saadaan aikaan ottamalla huomioon ”pallomaiset” jakaumat. Nämä ovat muuttumattomia kaikissa kierrossa (suhteessa johonkin kiinteään keskukseen). Nämä yleistävät yksiulotteisen tapauksen: todellisen viivan ”kiertymät” ovat vain heijastuksia.
Lopuksi on syytä huomauttaa, että tavanomainen rakenne – keskiarvo ryhmään nähden – antaa tien tuottaa symmetristen jakaumien kuormia. Todellisen viivan tapauksessa anna $ G $ luoda heijastuksesta pisteestä $ a $ niin, että se koostuu identiteettielementistä $ e $ ja tästä heijastuksesta $ g $. Olkoon $ X $ mikä tahansa jakelu. Määritä jakauma $ Y $ asettamalla
$$ {\ Pr} _Y [E] = \ frac {1} {| G |} \ sum_ {g \ muodossa G} {\ Pr} _X [ E ^ g] = ({\ Pr} _X [E] + {\ Pr} _X [E ^ g]) / 2 $$
kaikille Borelin joukkoille $ E $. Tämä on selvästi symmetristä, ja on helppo tarkistaa, että se on edelleen jakauma (kaikki todennäköisyydet eivät ole negatiivisia ja kokonaistodennäköisyys on $ 1 $).
Ryhmän keskiarvoistamisprosessia havainnollistamalla symmetroidun Gamma-jakauman (keskellä $ a = 2 $) PDF-tiedosto näkyy kullalla. Alkuperäinen Gamma on sininen ja sen heijastus on punainen.
kommentit
- (+1) Haluan lisätä, että monimuuttuja-asetuksessa symmetrian määritelmä ei ole ainutlaatuinen. Tässä kirjassa on 8 mahdollista määritelmää symmetrisille monimuuttujajakeluille.
- @Procrastinator I ' m utelias siitä, mitä voisit tarkoittaa " ole ainutlaatuinen. " AFAIK, mikä tahansa nimi oikeuttaa " symmetria " viittaa lopulta ryhmän toimintaan avaruudessa. Olisi mielenkiintoista nähdä, minkälaiset toimet tilastotieteilijät ovat pitäneet hyödyllisinä. Koska kyseistä kirjaa ei ole enää saatavana eikä sitä ole saatavana verkosta, voisitko antaa nopean esimerkin kahdesta todella erilaisesta symmetriasta, joita siinä kirjassa tarkastellaan?
- Intuitiosi on oikea, tämä liittyy tilastollisiin ominaisuuksiin : Keskisymmetria $ {\ bf X} – \ mu \ stackrel {d} {=} – ({\ bf X} – \ mu) $; Pallon symmetria $ X- \ mu \ stackrel {d} {=} {\ bf O} ({\ bf X} – \ mu) $ kaikille ortogonaalisille matriiseille $ {\ bf O} $. En muista muita, mutta yritän lainata kirjaa näinä päivinä. Tästä -linkistä löydät joitain heistä.
- @Procrastinator Kiitos. Huomaa, että tarjoamasi kaksi esimerkkiä ovat molemmat toimittamani yleisen määritelmän erityistapauksia: keskeinen symmetria luo kahden elementin isometriaryhmän ja pallomaiset symmetriat ovat myös kaikkien isometrioiden alaryhmä. Linkin " elliptinen symmetria " linkissä on pallomainen symmetria affiinimuunnoksen jälkeen ja esimerkkinä ilmiöstä, johon osoitin lognormaalilla esimerkki. " kulmasymmetriat " muodostavat jälleen isometriaryhmän. " puolitilan symmetria " [sic] ei ole symmetria, mutta sallii siitä erilliset poikkeamat: että ' uudet.
Vastaa
Vastaus riippuu siitä, mitä tarkoitat symmetria. Fysiikassa symmetrian käsite on perustavanlaatuinen ja siitä on tullut hyvin yleinen. Symmetria on mikä tahansa toiminto, joka jättää järjestelmän muuttumattomaksi.Todennäköisyysjakauman tapauksessa tämä voidaan kääntää mihin tahansa operaatioon $ X \ – X ”$, joka palauttaa saman todennäköisyyden $ P (X) = P (X”) $.
Ensimmäisen esimerkin yksinkertaisessa tapauksessa viittaat heijastussymmetriikkaan maksimista. Jos jakauma olisi sinimuotoinen, sinulla voi olla ehto $ X \ – X + \ lambda $, jossa $ \ lambda $ on aallonpituus tai jakso. Sitten $ P (X) = P (X + \ lambda) $ ja sopisi silti yleisempään symmetrian määritelmään.