Harkitse seuraavaa yksinkertaista Atwood-konetta , jolla on ihanteellinen hihnapyörä ja ihanteellinen merkkijono
Oppikirjani mukaan koneen seinään kiinnittävän kiristimen jännite on 2T $. En ymmärrä miksi se on. Merkkijonon $ T $ jännite on yhtä suuri kuin $ m_1g + m_1a = m_2g – m_2a $, olettaen, että $ m_1 $ kiihtyy ylöspäin.
Myös , massojen kiihtyvyys atwood-koneessa saadaan antamalla
$$ a = \ frac {(m_2 – m_1) g} {m_1 + m_2} $$
Korvaamalla tämä , saamme jännitteen yhtä suureksi kuin
$$ T = m_1g + m_1 \ frac {(m_2 – m_1) g} {m_1 + m_2} = m_1g \ vasen (1 + \ frac {m_2 – m_1} {m_2 + m_1} \ oikea) = \ frac {2m_2m_1g} {m_1 + m_2} $$
Oppikirjani mukaan hihnapyörän kiinnittimen jännitteen tulisi siis olla:
$$ 2T = \ frac {4m_1m_2g} {m_1 + m_2} $$
Mutta eikö kaikki nämä voimat ole sisäisiä voimia? Jos pidämme koko atwood-konetta järjestelmänä (lukitsinta lukuun ottamatta), ainoat siihen vaikuttavat voimat ovat painovoima $ (m_1 + m_2) g $ ja puristimen jännitys $ T_c $. Koska järjestelmä on levossa
$$ T_c = (m_1 + m_2) g $$
Olenko oikeassa, vai onko argumentissani virhe?
Kommentit
- Löysit $ T $, ja oppikirjassa on sama yhtälö kerrottuna kertoimella 2. Tässä ei ole ongelmaa.
- Vihje: Järjestelmä ei ole levossa.
- Nick ' vastaus on täydellinen, mutta pidin kysymyksestäsi, koska se osoittaa vaivaa ymmärtää laskelmien periaate. Joten ' on mielestäni tärkeää ymmärtää, miksi järjestelmä ei ole ' t lepotilassa.
- Totta, jokaisen laskelman ei pitäisi vain matemaattisesti tarkistaa, vaan fyysinen tulkinta on myös erittäin hyvin tärkeä osa! Joten kysymyksessä sanon ' sanon hyvää työtä ja jatkan hyvää työtä!
- Jos se auttaa, voit osoittaa, että keskipiste kahdesta massasta $ m_ {1} $ ja $ m_ {2} $ kiihtyvät alaspäin, ja vaikka näyttää siltä, että tuki pitää pyörää vakaasti, se antaa pyörän / massajärjestelmän kiihtyä alaspäin tämän vuoksi.
vastaus
Tulos pysyy voimassa, kun molemmat massat ovat samat, siinä tapauksessa $ a = 0 $ ja sinulla olisi se:
$ T = m_1 g = m_2 g $.
Tai:
$ 2T = 2m_1 g = 2m_2g = (m_1 + m_2) g $.
Jos massat eivät ole samat, molemmat massat kiihtyvät, mikä puolestaan antaa pienemmän voiman hihnapyöräjärjestelmälle (ja kiinnittimelle).
Tämä voidaan helposti tarkistaa jännityskaavallasi!
$ T = \ frac {2m_1m_2g} {m_1 + m_2}, $
Jos minä oli määriteltävä kokonaismassa seuraavasti: $ M = m_1 + m_2 $, niin voin ilmaista $ T $: na:
$ T = \ frac {2m_1 (M-m_1) g} {M} = \ frac {2g} {M} (m_1 (M-m_1)). $
Voit tarkistaa, piirrätkö $ T $ $ m_1 $: n funktiona, että se saavuttaa maksimin $ m_1 = M / 2 $: ssa, mikä tarkoittaa, että jännitys muuttuu maksimiksi, jos molemmat massat ovat samat, jännityksestä tulee sitten:
$ T = \ frac {Mg} {2} = \ frac {(m_1 + m_2) g} {2} $,
tai kuten ajattelit:
$ 2T = (m_1 + m_2) g $
Täydellisyyden osoittamiseksi jännitteen käyrä massan $ m_1 $ funktiona mitattomina suureina.
Tällä juonella voit helposti nähdä, että jos $ m_1 = 0 \ Oikea kulma m_2 = M $ tai $ m_1 = M \ Oikea nuoli m_2 = 0 $, että ”ei ole jännitystä, koska toinen kahdesta massasta olisi vapaa putoaminen. Välitapauksissa jännitystä esiintyy, koska merkkijonon molemmilla puolilla on ”vetovoima”, mitä enemmän massat $ m_1 $ ja $ m_2 $ ovat yhtä suuret, sitä vähemmän liikettä on ja sitä enemmän vetoa on merkkijono.
Kommentit
- Joten jos argumenttini oli väärä, se voi tarkoittaa vain sitä, että järjestelmä ei ole levossa. Mutta miten voit sanoa, että järjestelmä ei ole levossa?
- Edellä olevassa tapauksessa meillä on kitkaton hihnapyörä, jossa on massaton merkkijono. Ainoa tapa, jolla järjestelmä voi olla levossa, on, kun molemmat massat ovat samat (laskennassasi ' on ainoa tapaus, jolloin kiihtyvyys on nolla). Tässä tapauksessa molemmat massat vetävät yhtä suurella voimalla merkkijonon molemmissa päissä. Huomaa, että tämä ei tarkoita, että järjestelmä on levossa, se voi myös liikkua vakionopeudella!
- @Gerard Jos haluat lisätä massaa pistely ja / tai kitka kiusaajaan, saattaa olla muita tilanteita, joissa järjestelmä on / muuttuu levossa.
- Ei ' ole totta, että se pysyy samassa paikassa.Sen massakeskus kiihtyy, koska vaikka m_1 menisi ylöspäin ja m_2 alaspäin, massat ovat erilaiset, joten niillä on erilainen " paino " globaalissa liikkeessä. Joten jos m_2 > m_1 ja m_2 kiihtyy alaspäin, niin massan keskusta laskee alas.
- @Gerard: Oikein, huomaa, että tarkoitustasi varten (eli järjestelmään vaikuttava kokonaisvoima) lepo tai liike ei ole sitä, mitä ' todella etsit. Olen ' ollut huolimaton yksinkertaisesti sanomalla sinulle: " järjestelmä ei ole levossa " . Mikä ' on tärkeää on kokonaiskiihtyvyys ja tässä tapauksessa se on ' erilainen kuin 0. Liike, jolla on vakionopeus, ei vaadi voimaa systeemi. ' Pysähdyin tänne, koska ' käytämme hieman väärin kommentointitilaa.
Vastaa
Järjestelmä ei ole levossa. Jos pidät massoja ja hihnapyörää yhtenä järjestelmänä, voit ymmärtää järjestelmän käyttäytymisen sen massakeskuksen käyttäytymisen perusteella. Ellei massat ole yhtä suuret, järjestelmän massakeskipiste ei ole levossa.
Voi olla hyödyllistä ajatella sitä tällä tavalla – järjestelmän sisällä raja massa $ m_1 $ liikkuu alaspäin matkan päästä kun taas massa $ m_2 $ liikkuu ylöspäin samalla etäisyydellä. Joten massakeskus on siirtynyt alaspäin (tai ylöspäin riippuen siitä, onko $ m_1 > m_2 $).
Joten jännite annettaisiin yhtälöllä:
$$ (m_1 + m_2) a_ {cm} = (m_1 + m_2) g – T_c $$
Voit selvittää sen edelleen
$ a_ {cm} = a (m_2-m_1) / (m_1 + m_2) $, missä a on mainitsemasi massan $ m_1 $ kiihtyvyyden arvo.
Liitä se yhtälöön ja huomaat, että:
$ T_c = \ frac {4m_1m_2} {m_1 + m_2} {g} $
kommentit
- Yritän näin opettaa tätä ongelmaa. Kiitos.
- Mahdolliset mahdollisuudet sinä tai @Nick voisitte kommentoida ratkaisua muodossa 4g * mu? Tiedän, että se voi olla soveltamisalan ulkopuolella ongelman, mutta kun näen tällaisia yhteyksiä, yritän ymmärtää ne.
Vastaa
Siellä Lyhyesti sanottuna hihnapyörän lukon jännitettä tarvitaan vain järjestelmän kokonaispainovoiman poistamiseksi, kun kaikki on tasapainossa ibrium ja kiihtyvyyttä ei ole. Jos massat ovat kuitenkin epätasapainossa, toinen heistä putoaa ja toinen nousee, eikä ole selvää, että tämä pitää kokonaisvoiman samalla arvolla kuin tasapainoinen tapaus.
Itse asiassa voit tarkistaa, että kun molemmat massat ovat yhtä suuret , vastaukset vastaavat: hihnapyörän lukon oikea jännitys on $$ T_ \ text {clasp} = 2T = \ frac {4m ^ 2} {m + m} g = 2 mg = (m + m) g. $$