Miksi sähkökenttä on nolla siellä, missä potentiaalipinnat leikkaavat?

Ensinnäkin, tyhjennetään ilma yksinkertaisella esimerkillä, joka esittelee haluttua käyttäytymistä (ja joka on olennaisesti isomorfinen useimmille ei-triviaaleille tapauksille). erityisesti seuraava väite:

Potentiaali $ V (x, y, z) = V_0 \, xy $ on täysin kelvollinen sähköstaattinen potentiaali, ja sen voidaan luonnollisesti nähdä olevan kaksi potentiaalipintaa ($ yz $- ja $ xz $ -taso), jotka leikkaavat linjaa pitkin.

Tuo esimerkki voi olla ristiriidassa tavallisen intuition kanssa, jonka mukaan potentiaalipinnat, kuten kenttäviivat, eivät koskaan risteä, mutta se toimii täydellisesti – ja se on sopusoinnussa professorin väitteen kanssa, että sähkökenttä, $$ \ mathbf E = – \ nabla V = -V_0 (y \, \ hattu {\ mathbf x} + x \, \ hattu {\ mathbf y}), $$ pakettiauto peseytyy risteyksessä $ x = y = 0 $.

(Niille, jotka haluavat pidentää kirjekuorta hieman pidemmälle: tämä luonnollisesti yleistyy minkä tahansa potentiaalipintojen luvun $ n $ leikkaukseen rivillä yksinkertaisesti vaihtamalla $ n $ -polaariseksi potentiaaliksi $ V (x, y, z) = V_0 \, \ mathrm {Re} \ mathopen {} \ left [\ left (x + iy \ right) ^ n \ oikea] \ mathclose {} $.)

Joten mitä tapahtuu, tai miten tarjoamme todellista matemaattista lihaa käsillä olevaan lauseeseen?

Aloitetaan siis määrittelemällä potentiaalipinnat: pinta $ S: (D \ subseteq \ mathbb R ^ 2) \ to \ mathbb R ^ 3 $ on sähköstaattisen potentiaalin $ V ekvipotentiaali : \ mathbb R ^ 3 \ to \ mathbb R $ iff $ V (S (u, v)) = V_0 $ on vakio kaikille dollareille $ (u, v) \ D $: ssa. Lisäksi tiedämme, että missä tahansa vaiheessa $ \ mathbf r = S (u, v) $ pinnalla, sähkökentällä $ \ mathbf E = – \ nabla V $ on sisäinen tulo nolla minkä tahansa vektorin kanssa, joka sijaitsee tangenttitason $ TS_ \ mathbf r $ sisällä pinta $ \ mathbf r $, käyrien $ \ gamma: (a, b) \ – D $ ottamisen ja vakiosuhteen $ V (S (\ (gamma (t)))) \ ekviv V_0 $ erottamisen seurauksena parametrille $ t $, antamalla $$ – \ dot \ gamma (t) \ cdot \ nabla V = \ dot \ gamma (t) \ cdot \ mathbf E = 0 $$ kaikille vektoreille $ \ dot \ gamma \ in TS_ \ mathbf r $. Koska kyseinen taso on kaksiulotteinen ja tila kolmiulotteinen, päätellään, että pinnalle on ainutlaatuinen normaali suunta $ \ hat {\ mathbf n} $ ja että $ \ mathbf E $ on on oltava yhdensuuntainen normaalin (tai mahdollisesti nollan) kanssa, mutta ydintuloksena on, että $ \ mathbf E $ -komponentin täytyy mennä mihin tahansa suuntaan tangenttitason sisällä.

OK, joten anna nyt anteen ylöspäin ja harkita kahta eri pintaa $ S_i : D_i \ to \ mathbb R ^ 3 $, $ i = 1,2 $, jotka leikkaavat jossain vaiheessa $ \ mathbf r_0 $, ja määrittelevät myös, että molemmat pinnat ovat $ V $: n potentiaalipotentiaalia.

Voit heti päätellä, että potentiaalin on kaikissa molempien pintojen pisteissä oltava sama vakio, koska $ V = V (\ mathbf r) $ on (yksiarvoinen) ) -toiminto. Jos se on yhtä suuri kuin $ V (\ mathbf r_0) = V_1 $ for $ \ mathbf r_0 \ S_1 $: ssa, sen on oltava yhtä suuri kuin $ V_1 $ koko $ S_1 $: ssa, mutta $ \ mathbf r_0 $ on myös $ S_2 $: ssa, joten $ V $: n on myös oltava yhtä suuri kuin $ V_1 $ koko $ S_2 $: ssa. Tästä luultavasti professori puhui väitteessä, jonka ilmoitat nimellä

Hän väitti myös, että kaksi potentiaalipintaa ei voi leikata, koska se antaisi kaksi erilaista potentiaalia samassa kohdassa

mutta joka oli todennäköisesti paljon lähempänä

kaksi potentiaalipintaa , joilla on erilainen potentiaali , ei voi leikata, koska se antaisi kaksi erilaista potentiaalia samassa pisteessä.

Se on helppo asia.Sanotaan nyt jotain ei-triviaalia: entä risteyksen sähkökenttä?

Aloitetaan kuitenkin ensin helposta tapauksesta ja oletetaan, että potentiaalilla on oikea ulottuvuus – yksi leikkaus pitkin käyrä, mikä tarkoittaa, että missä tahansa kohdassa $ \ mathbf r $ leikkauspisteessä, kahden pinnan tangenttitasot leikkaavat linjalla, ja kullakin niistä on erillinen, lineaarisesti riippumaton suunta, joka ei kuulu toiseen taso.

Tämän avulla voimme sitten tuoda sisään aiemmin kehittämämme työkalut: tiedämme, että $ \ mathbf E $: lla on oltava katoava sisäinen tuote minkä tahansa vektorin kanssa, joka on jommankumman tangenttitason sisällä, paitsi että nyt on kolme lineaarisesti riippumatonta vektoria $ \ mathbf e_1, \ mathbf e_2 $ ja $ \ mathbf e_3 $, joista katoaa, yksi risteyksessä ja toinen riippumaton vektori jokaisessa tasossa. Ainoa tapa, jolla mikä tahansa vektori $ \ mathbf v \ mathbb R ^ 3 $ pystyy tyydyttämään $ \ mathbf v \ cdot \ mathbf e_i = 0, $ lineaarisesti riippumattomalle $ \ mathbf e_i, $ on $ \ mathbf v = 0 $ . Tästä tulee professorin vaatimus.

Käsittelemme lopuksi hieman patologisemman tapauksen, jonka mainitset kysymyksesi lopussa:

Miksi ei voi olla vain kahta erilaista potentiaalipintaa, joilla on sama potentiaali, jota […] koskettaa?

Tämä ei ole huono kysymys, ja vastaus on pohjimmiltaan, että tämä voi tapahtua, mutta olosuhteet, joissa se tapahtuu, ovat niin patologisia, että olemme enimmäkseen valmiita heittämään vauvan ulos Kun sanomme ”kaksi pintaa leikkaa”, tarkoitamme yleensä, että niillä on ulottuvuus-yksi leikkaus käyrää pitkin; jos haluamme antaa pintojen koskettaa tai käyttäytyä samalla tavalla patologisesti, huomaamme nimenomaisesti, että . (Matemaatikot ovat hieman varovaisempia kielensä suhteen, mutta sitten taas fyysikot tekevät mielenkiintoisempia juttuja, etkä voi tuhlata aikaa pienten yksityiskohtien kanssa.)

Joka tapauksessa, jos haluat potentiaalin, jolla on kaksi potentiaalia, jotka kosketa yhdessä pisteessä, puhtain esimerkki, jonka voin ajatella, on $$ V (x, y, z) = z ^ 2- (x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2, $$ missä potentiaalipotentiaalit $ V (\ mathbf r) = 0 $ ovat kaksi pyöreää paraboloidia, jotka koskettavat niiden kärkeä. Tämä ei ole ratkaisu Laplace-yhtälöön, mikä tarkoittaa, että se ei ole kohtuullinen potentiaali vapaassa tilassa, mutta sinä voi vain asettaa lataustiheyden $ \ rho \ propto \ nabla ^ 2 V $, ja saat kohtuullisen jakauman. Jos haluat säästää sitä, on parempi valita $$ V (x, y, z) = z ^ 2- (x ^ 2 + y ^ 2) z, $$, jonka lataustiheys $ \ rho \ propto \ nabla ^ 2 V = 2-4z $ on erittäin kohtuullinen ja joka vaihtaa yhden paraboloidista $ z = 0 $ -tasoon.

Nyt molemmissa esimerkeissä on potentiaalissasi melko korkealaatuinen polynomi, ja sähkökenttä katoaa potentiaalien ”leikkauspisteessä”. Jos haluat saada jotain koskettavilla ekvipotentiaalilla ja ei-nollalla olevalla sähkökentällä, lähinnä mitä keksin puhtaalla tavalla, on yhdistää kaksi yllä olevaa esimerkkiä antamalla kolme ekvipotentiaalia (kaksi paraboloidia ja $ xy $ -taso) pisteessä, $$ V (x, y, z) = \ vasen (z ^ 2- (x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2 \ oikea) z, $$ ja $ V (0,0, z ) = z ^ 3 $ riippuvuus $ z $ -akselilla, ja sitten huomioida se ottamalla kuutiojuuri, antamalla $$ V (x, y, z) = \ left [\ left (z ^ 2- (x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2 \ oikea) z \ oikea] ^ {1/3}, $$, jolla on samat koskettavat ekvipotentiaalit kuin yllä, mutta nyt sillä on vakio sähkökenttä $ \ nabla V = (0,0 , 1) $ kaikissa pisteissä $ (0,0, z) $ ja $ z \ neq 0 $. Valitettavasti voit kuitenkin ”t todellakin päätyä siihen, että siellä oleva sähkökenttä ei ole nolla, koska $ \ mathbf r \ to0 $ -rajat pitkin $ z $ -akselia ja $ xy $ -tasoa pitkin ”t työmatka – ja todellakin, $ \ nabla V $ eroaa kaikkialla $ xy $ -tasossa.

Piirrän tästä potentiaalisen potentiaalisen maiseman, kun leikkaan $ xz $ -tasoa pitkin, saadaksesi idean patologisen rakenteen tyypistä, johon sinut työnnetään harkitsemalla tämän tyyppisiä tapauksia:

^{Lähde: Tuo [” http://halirutan.github.io/Mathematica-SE-Tools/decode.m ”] [” http://i.stack.imgur.com/0snLs.png ”]}

Terävät kalliot osoittavat 3D-näkymän potentiaalien kohdalle $ V (x, 0, z) $: n arvot ovat selkeitä merkkejä siitä, että sähkökenttä on ääretön kaikkialla $ V = 0 $ -potentiaalin kohdalla, lukuun ottamatta alkuperää, kun lähestytään sitä $ z $ -akselilta. / p>

Joka tapauksessa tämä on sellainen hinta, jonka sinun on maksettava turvakodille Tasapotentiaalit, jotka koskettavat ilman, että kosketuspisteessä vaaditaan nolla sähkökenttää, jotta kaikki pysyy mukavana ja tasaisena. Yleensä kuitenkin heität vain nämä tapaukset asetuksella vaatimalla säännöllistä risteystä.

Sähkökenttä on määritelty sähköstaattisen potentiaalin (negatiivisena) gradienttina.Siksi ei voi olla sähkökenttää pitkin ekvipotentiaalin määrittelemää viivaa / pintaa.

Tämä tarkoittaa, että ainoan potentiaalin pisteessä sallitun sähkökentän on oltava kohtisuorassa potentiaalipinta, muuten sillä olisi pinnan ulkopuolella nollasta poikkeava komponentti.

Jos on olemassa kaksi erilaista leikkaavaa ekvipotentiaalia, ainoa kelvollinen sähkökenttä on nolla, koska kaikilla nollasta poikkeavilla kentillä olisi ei-nolla -nolla komponentti ainakin yhden ekvipotentiaalin varrella.

Poikkeus näyttää olevan, jos potentiaalipinnat ovat risteyksessä yhdensuuntaiset.

Kommentit

• Olen ’ yrittänyt tuottaa toistaiseksi potentiaalia ekvipotentiaalilla, jotka koskettavat yhtä pistettä yhdensuuntaisten normaalien kanssa ja tuottavat kuitenkin nollasta poikkeavan sähköisen kenttä siellä. Näetkö sen läpi?
• @ Rob naarmuttaa sitä, löysin esimerkin – mutta se ’ ei ole aivan yksinkertaisin toiminto I ’ ole koskaan nähnyt. Epäilen, että voidaan osoittaa, että ekvipotentiaalien koskettaminen nollasta poikkeavalla sähkökentällä vaatii tällaista patologista käyttäytymistä, mutta en ymmärrä ihan ’, kuinka ymmärrän ’ d todistaa tämän (tai todellakin, miksi ’ välität tarpeeksi aikaa viettääksesi paljon aikaa yrittääksesi tehdä niin).

Kaksi potentiaalipintaa eivät voi leikata. Sähkökentän suunta potentiaalipinnan missä tahansa kohdassa on kohtisuorassa Jos kaksi ekvipotentiaalista pintaa leikkaisi, sähkökenttä leikkauspisteissä olisi kohtisuorassa sekä ensimmäiseen pintaan että toiseen pintaan kyseisissä pisteissä … toisin sanoen, jos kaksi potentiaalipintaa voisi leikata, teidän sähkökentän tulee osoittaa kahteen suuntaan kussakin leikkauspisteessä …. toinen osoittaa kohtisuoraan ensimmäiseen pintaan, toinen kohtisuoraan toiseen pintaan nähden. Tämä on mahdotonta.

Kommentit

• Ellei kenttä ole nolla leikkauspisteessä?
• Potentiaalinen $ V ( x, y, z) = V_0 xy $ on täysin pätevä sähköstaattinen potentiaali, ja sen voidaan luonnollisesti nähdä olevan kaksi potentiaalipintaa ($ yz $- ja $ xz $ -taso), jotka leikkaavat linjaa pitkin.
• Erittäin mielenkiintoista … Minun ’ minun on vedettävä Griffith ’ -kirja viikonloppuna ja tehtävä vähän katsausta … Haven ’ ei opiskellut sähköstaatiota, koska valmistuin toukokuussa.

Koska jos ne leikkaavat, sähkökentän suunta on epäselvä, joten se ei ole mahdollista.

Kommentit

• Yksiselitteinen ? Miksi se on ongelma?
• Kyllä, se on epäselvä ei yksiselitteinen kuten vastauksessasi sanotaan.

Hän väitti myös, että kaksi potentiaalipintaa ei voi leikata, koska se antaisi kaksi erilaista potentiaalia samanaikaisesti kohta.

Tarkastellaan sähköisen dipolin sähkökenttää ja potentiaalipintoja

Kuvahyvitys

Mikään potentiaalipinnoista ei leikkaa. Pintojen tiheys on myös suurin näiden kahden varauksen välisellä ja läpi kulkevalla linjalla.

Harkitse nyt näitä potentiaalipintoja ihanteellisen sähköisen dipolin rajoissa.

Kuvahyvitys

Jatkuvaan dipolimomenttiin latauksen (plus / miinus) täytyy kasvaa, kun erotusväli pienenee, potentiaalipintojen tiheys linjaa pitkin pinnan on oltava erilainen raja-arvossa; näyttää siltä, että kaikkien ekvipotentiaalisten pintojen on leikattava ihanteellisen dipolin kohdalla ja sähkökenttä on siellä yksikkö.

Kommentit

• Ymmärrän mielipiteesi, koska pallot eivät ole potentiaalitasapotentiaalisia, ei ole ilmeistä, että kontaktipisteen kautta kulkee äärettömän paljon potentiaalitasapainoja … en tiedä ….
• @ValterMoretti, OK, siis kaksi ei-johtavaa palloa, joista jokaisella on kiinteä, tasainen lataustiheys, vastakkainen merkki ja identtiset säteet, ja symmetrisesti sijoitettu xy-tason ylä- ja alapuolelle z-akselia pitkin, mutta eivät kosketa tasoa. Tämä haisee kuin kuvatyyppiongelman menetelmä, ja jos on, x-y-taso on nollapotentiaalipinta?Sitten positiiviset (negatiiviset) potentiaalipinnat ympäröivät positiivisesti (negatiivisesti) varattua palloa ja kun pallot tuodaan lähemmäksi, ne pinnat puristuvat ’ puristettuina ’ yhdessä vierekkäin pallojen keskipisteen läpi, jotka lopulta koskettavat toisiaan?
• No, luulen nyt, että erotustasosta poikkeavat potentiaalipinnat tulevat (ei-johtaviin) palloihin, eikä esimerkkini työ: kun pallot koskettavat toisiaan, kosketuspisteen kautta on vain yksi potentiaalinen potentiaali. Joten esimerkkini ei toimi.
• @ValterMoretti, mietin vain, voisivatko potentiaaliset potentiaalit päästä palloihin, ja aloin katsoa Jacksonia läpi, kun kommenttisi tuli.
• Kyllä potentiaalipintojen on päästävä palloihin: vie mikä tahansa piste vasemman pallon sisällä, siellä pallon aiheuttama sähkökenttä katoaa. Vasemman pallokentän sisällä oleva sähkökenttä johtuu siis kokonaan oikeasta pallosta ja se on sama kuin vasemman pallon ulkopuolella keskitetyn pistevarauksen. On ilmeistä, että potentiaalipinnat tulevat vasempiin palloihin tällä tavalla. Ajattelin täällä pinnallisesti ladattuja palloja! Jos varaus on äänenvoimakkuutta? En tiedä