Xi: lle ensimmäinen kohta: Kun puhut $ \ sigma $ -algebras, kysyt mitattavista sarjoista, joten valitettavasti minkä tahansa vastauksen on keskityttävä mittausteoriaan. Yritän kuitenkin rakentaa sitä varovasti.

Teoria todennäköisyydestä, joka sallii kaikkien laskemattomien joukkojen osajoukkojen, rikkoo matematiikan.

Harkitse tätä esimerkkiä. Oletetaan, että sinulla on yksikköneliö $ \ mathbb {R} ^ 2 $ , ja olet kiinnostunut todennäköisyydestä valita piste, joka on tietyn joukon jäsen yksikköruudussa . Moniin olosuhteisiin tähän voidaan helposti vastata erilaisten alueiden vertailun perusteella. Voimme esimerkiksi piirtää joitain ympyröitä, mitata niiden pinta-alat ja ottaa sitten todennäköisyyden ympyrän putoavan neliön murto-osaksi. Hyvin yksinkertainen.

Mutta entä jos kiinnostuksen kohteena olevaa aluetta ei ole määritelty tarkasti?

Jos aluetta ei ole määritelty hyvin, voimme perustella kahta erilaista, mutta täysin pätevät (jossain mielessä) johtopäätökset alueesta. Joten meillä voisi olla toisaalta $ P (A) = 1 $ ja $ P (A) = 0 $ toisaalta, mikä tarkoittaa $ 0 = 1 $ . Tämä rikkoo kaiken matematiikan korjaamattomana. Voit nyt todistaa 5 dollaria < 0 $ ja useita muita ennakkoluuloja. Tämä ei selvästikään ole liian hyödyllinen.

$ \ boldsymbol {\ sigma} $ -algebras ovat korjaustiedosto, joka korjaa matematiikan

Mikä tarkalleen on $ \ sigma $ -algebra? Se ei todellakaan ole niin pelottavaa. Se on vain määritelmä siitä, mitkä joukot voidaan katsoa tapahtumiksi. Elementeillä, jotka eivät ole $ \ mathscr {F} $ , ei yksinkertaisesti ole määriteltyä todennäköisyysmittaria. Pohjimmiltaan $ \ sigma $ -algebrat ovat ” -korjaustiedosto ”, joiden avulla voimme välttää joitain matematiikan patologinen käyttäytyminen, nimittäin mitattomat joukot.

$ \ sigma $ -kentän kolmea vaatimusta voidaan pitää seurauksena haluaisimme tehdä todennäköisyydellä: $ \ sigma $ -kenttä on joukko, jolla on kolme ominaisuutta:

1. Sulkeminen laskettavissa sulkeminen laskettavien risteysten alla.
2. sulkeutuminen täydentävien kohtien alla.

Laskettavat liittot ja laskettavat risteyskomponentit ovat suoria seurauksia mitattava joukkoasia. Komplementtien sulkeminen on seurausta Kolmogorovin aksiomeista: if $ P (A) = 2/3 $ , $ P (A ^ c) $ pitäisi olla $ 1/3 $ . Mutta ilman (3): ta voi tapahtua, että $ P (A ^ c) $ on määrittelemätön. Se olisi outoa. Sulkeminen täydennysten alla ja Kolmogorovin aksioomat antavat meille sanoa esimerkiksi $ P (A \ cup A ^ c) = P (A) + 1-P (A) = 1 $ .

Lopuksi harkitsemme tapahtumia suhteessa $ \ Omega $ , joten vaadimme lisäksi, että $ \ Omega \ in \ mathscr {F} $

Hyvä uutinen: $ \ boldsymbol {\ sigma} $ -algebrat ovat ehdottoman välttämättömiä vain laskemattomille sarjoille

Mutta! Myös täällä on hyviä uutisia. Tai ainakin tapa korjata asia. Tarvitsemme vain $ \ sigma $ -algebras vain, jos työskentelemme sarja, jonka kardinaali on laskematon. Jos rajoitamme itsemme laskettaviin sarjoihin, voimme ottaa $ \ mathscr {F} = 2 ^ \ Omega $ tehosarjan $ \ Omega $ ja meillä ei ole mitään näistä ongelmista, koska laskettavissa $ \ Omega $ , $ 2 ^ \ Omega $ koostuu vain mitattavissa olevista sarjoista. (Tähän viitataan Xi: n” toisessa kommentissa. ”Huomaa, että jotkut oppikirjat todella tekevät tässä hienovaraisen kädensijan. ja ota huomioon vain laskettavissa olevat joukot keskustellessasi todennäköisyysvälistä.

Lisäksi $ \ mathbb {R} ^ n $ : n geometrisissa tehtävissä se ” s täysin riittää ottamaan huomioon vain $ \ sigma $ -algebrat, jotka koostuvat sarjoista, joille $ \ mathcal {L} ^ n $ -mitta on määritelty. Tämän maadoittamiseksi hieman tiukemmin $ \ mathcal {L} ^ n $ kohteelle $ n = 1,2 , 3 $ vastaa tavanomaisia käsitteitä pituudesta, pinta-alasta ja tilavuudesta.Joten mitä sanon edellisessä esimerkissä on, että joukolla on oltava hyvin määritelty alue, jotta sille voidaan osoittaa geometrinen todennäköisyys. Ja syy on tämä: jos tunnustamme ei-mitattavat joukot, voimme päätyvät tilanteisiin, joissa voimme osoittaa todennäköisyyden 1 jollekin tapahtumalle jonkin todistuksen perusteella ja todennäköisyyden 0 samalle tapahtumalle tapahtumalle jonkin muun todistuksen perusteella.

Mutta älä ” anna yhteyden lukemattomiin sarjoihin hämmentää sinua! Yleinen väärinkäsitys, että $ \ sigma $ -algebrat ovat laskettavia sarjoja. Itse asiassa ne voivat olla laskettavissa tai laskemattomia. Harkitse tätä kuvaa: kuten aikaisemmin, meillä on yksikköneliö. Määritä $$ \ mathscr {F} = \ text {Kaikki yksikön neliön osajoukot, joilla on määritelty $ \ mathcal {L} ^ 2 $ toimenpide}. $$ Voit piirrä neliö $ B $ sivupituudella $ s $ kaikille $ s \ sisään (0,1) $ ja yhdellä kulmalla $ (0,0) $ -kohdassa. On oltava selvää, että tämä neliö on yksikön neliön osajoukko. Lisäksi kaikilla näillä neliöillä on määritelty alue, joten nämä neliöt ovat $ \ mathscr {F} $ elementtejä. Mutta pitäisi myös olla selvää, että neliöitä $ B $ on lukemattomasti paljon: tällaisten neliöiden lukumäärä on laskematon, ja jokaisella neliöllä on määritelty Lebesgue-mitta.

Käytännössä yksinkertaisesti tuon havainnon tekeminen riittää usein tekemään havainnon, jonka mukaan pidät vain Lebesgue-mitattavia sarjoja päästäksesi eteenpäin kiinnostavaa ongelmaa vastaan.

Mutta odota, mitä ”sa mitattavissa oleva joukko?

Pelkään voivani vain valaista tätä itse. Mutta Banach-Tarskin paradoksi (joskus ” aurinko ja herne ” paradoksi) voi auttaa meitä joitain:

Kun otetaan huomioon kiinteä pallo kolmiulotteisessa tilassa, pallo hajoaa lopulliseksi määräksi disjoint-osajoukot, jotka voidaan sitten koota uudelleen eri tavalla, jolloin saadaan kaksi identtistä kopiota alkuperäisestä pallosta. Kokoonpanoprosessissa todellakin vain siirretään kappaleita ympäri ja käännetään niitä muuttamatta niiden muotoa. Kappaleet itse eivät kuitenkaan ole ” kiinteät aineet ” tavallisessa mielessä, vaan pisteiden ääretön sironta. Jälleenrakennus voi toimia vain viiden kappaleen kanssa.

Lauseen vahvempi muoto tarkoittaa, että annettuna mikä tahansa kahdesta ” kohtuullisesta ” kiinteät esineet (kuten pieni pallo ja valtava pallo), kumpi tahansa voidaan koota toiseen. Tämän sanotaan usein epävirallisesti nimellä ” herne voidaan pilkkoa ja koota takaisin Aurinkoon ” ja kutsua ” herne ja auringon paradoksi ”. 1

Joten jos työskentelet todennäköisyyksien kanssa $ \ mathbb {R} ^ 3 $ ja käytät geometrista todennäköisyyttä mittaa (volyymien suhde), haluat selvittää jonkin tapahtuman todennäköisyyden. Mutta kamppailet määritelläksesi tämän todennäköisyyden tarkasti, koska voit järjestää avaruusjoukot uudelleen vaihtaaksesi äänenvoimakkuutta! Jos todennäköisyys riippuu äänenvoimakkuudesta ja voit muuttaa joukon äänenvoimakkuuden auringon tai herne, niin myös todennäköisyys muuttuu. Joten yhdelläkään tapahtumalla ei ole sille omistettua yhtä todennäköisyyttä. Vielä pahempaa on, että voit järjestää $ S \ \ Omega $ : ssa että $ S $ -määrässä on $ V (S) > V (\ Omega) $ , mikä tarkoittaa, että geometrinen todennäköisyysmitta raportoi todennäköisyyden $ P (S) > 1 $ , räjähdysmäisesti rikkomalla Kolmogorovin aksiomeja, jotka edellyttävät, että todennäköisyydellä on mitta 1.

Tämän paradoksin ratkaisemiseksi voidaan tehdä yksi neljästä myönnytyksestä:

1. joukon äänenvoimakkuus voi muuttua, kun sitä kierretään.
2. Kahden disjointin liiton tilavuus joukot saattavat poiketa niiden volyymien summasta.
3. Zermelo – Fraenkel -joukkoteorian aksiomia ja valinnan aksiomia (ZFC) saatetaan joutua muuttamaan.
4. Jotkut joukot saattavat merkitään ” ei mitattavissa olevaan ”, ja sinun on tarkistettava, onko joukko ” mitattavissa ” ennen kuin puhutaan sen äänenvoimakkuudesta.

Vaihtoehto (1) ei auta määrittelemään todennäköisyyksiä, joten se poistuu käytöstä. Vaihtoehto (2) rikkoo toista Kolmogorov-aksiomia, joten se on pois päältä. Vaihtoehto (3) vaikuttaa kauhealta ajatukselta, koska ZFC korjaa niin paljon enemmän ongelmia kuin mitä se luo.Mutta vaihtoehto 4 näyttää houkuttelevalta: jos kehitämme teorian siitä, mikä on ja mitä ei ole mitattavissa, meillä on hyvin määritellyt todennäköisyydet tässä ongelmassa! Tämä palauttaa meidät mittaamaan teoriaa, ja ystävämme $ \ sigma $ -algebra.

Kommentit

• Kiitos vastauksestasi. $ \ mathcal {L} $ tarkoittaa Lebesquea mitattavissa olevaa? I ’ ll + 1 vastauksenne uskoon, mutta minä ’ arvostan sitä todella, jos voisitte laskea matemaattisen tason useita lovia. .. 🙂
• (+1) Hyviä pisteitä! Lisään myös, että ilman mittayksikköä ja $ \ sigma $ -algebroja ehdollistaminen ja ehdollisten jakaumien johtaminen lukemattomille tiloille tulee melko karvoiseksi, kuten Borel-Kolmogorov-paradoksi osoittaa .
• @Xi ’ an Kiitos ystävällisistä sanoista! Se tarkoittaa todella paljon sinulta tulevaa. En ollut perehtynyt Borel-Kolmogorov-paradoksiin tämän kirjoituksen jälkeen, mutta luen jonkin verran lukemista ja selvitänkö, voinko lisätä hyödyllisen lisäyksen havaintoihini.

Perusajatus (hyvin käytännöllisellä tavalla) on yksinkertainen. Oletetaan, että olet tilastotieteilijä, joka työskentelee jonkin kyselyn parissa. Oletetaan, että kyselyllä on joitain kysymyksiä iästä, mutta pyydä vastaajaa tunnistamaan ikänsä tietyin väliajoin, kuten $ [0,18), [18, 25), [25,34), \ pisteitä $. Unohdetaan muut kysymykset. Tämä kyselylomake määrittelee ”tapahtuma-alueen”, sinun $ (\ Omega, F) $. Sigma-algebra $ F $ koodaa kaikki tiedot, jotka voidaan saada kyselylomakkeesta, joten ikäkysymykselle (ja jätämme toistaiseksi huomiotta kaikki muut kysymykset) se sisältää aikavälin $ [18,25) $, mutta ei muita aikavälejä kuten $ [20,30) $, koska kyselylomakkeella saatujen tietojen perusteella emme voi vastata kysymykseen kuten: kuuluvatko vastaajien ikä $ [20,30) $: een vai ei? Joukko on tapahtuma (kuuluu dollariin $ F $) vain ja vain, jos voimme päättää, kuuluuko näytepiste kyseiseen joukkoon vai ei.

Määritetään nyt satunnaismuuttujat, joiden arvot ovat toisessa tapahtumassa, $ (\ Omega ”, F”) $. Otetaan tämä esimerkkinä todellinen viiva tavallisen (Borel) sigma-algebran kanssa. Sitten (ei-mielenkiintoinen) funktio, joka ei ole satunnainen muuttuja, on $ f: $ ”vastaajien ikä on alkuluku”, koodaamalla tämä arvoksi 1, jos ikä on ensisijainen, 0 muulle. Ei, $ f ^ {- 1} (1) $ ei kuulu $ F $: een, joten $ f $ ei ole satunnainen muuttuja. Syy on yksinkertainen, emme voi päättää kyselylomakkeen tietojen perusteella, onko vastaajan ikä paras vai ei! Nyt voit itse tehdä mielenkiintoisempia esimerkkejä.

Miksi vaaditaan $ F $: n olevan sigma-algebra? Sanotaan, että haluamme kysyä kahdesta datasta kysymyksestä ”vastaajan numero 3 on 18 vuotta tai vanhempi”, ”vastaajan 3 nainen”. Anna kysymysten määritellä kaksi tapahtumaa (joukkoa $ F $) $ A $ ja $ B $, joukko näytepisteitä, jotka antavat ”kyllä” vastauksen kysymykseen. Kysytään nyt kahden kysymyksen yhdistelmää ”vastaa 3 naista yli 18-vuotiaana”. Nyt tätä kysymystä edustaa asetettu leikkauspiste $ A \ cap B $. Samalla tavalla disjunktioita edustaa joukkoyhdistys $ A \ cup B $. Nyt kun vaaditaan suljettavuutta laskettaville risteyksille ja liittoille, voimme kysyä laskettavia konjunktioita tai disjunktioita. on täydentävä joukko, joka antaa meille sigma-algebran.

Näin tällaisen johdannon ensin erittäin hyvässä Peter Whittle -kirja ”Todennäköisyys odotuksen kautta” (Springer).

MUOKKAA

Yritetään vastata kommentoiviin kysymyksiin: ”Olin kuitenkin hieman yllättynyt, kun törmäsin tähän väitteeseen:” Vaadin suljettavuutta laskettavissa risteyksissä ja ammattiliittojen avulla voimme kysyä lukemattomia yhdistyksiä tai disjunktioita. ”Tämä näyttää olevan ytimessä: miksi kukaan haluaisi rakentaa niin äärettömän monimutkaisen tapahtuman?” Rajoitetaan nyt erilliseen todennäköisyyteen, sanotaan ”mukavuuden vuoksi” kolikon heittämiseen. Kolikon heittäminen rajallisen määrän kertoja, kaikki tapahtumat, joita voimme kuvata kolikon avulla, voidaan ilmaista tapahtumilla, joiden tyyppi on ”head on thrown $ i $”. ”,” hännät heitossa $ i $ ja lopullinen määrä ”ja” tai ”tai”. Joten tässä tilanteessa emme tarvitse $ \ sigma $ -algebroja, joukkoalgebrat riittää. Joten, onko tässä tilanteessa tilanteita, joissa $ \ sigma $ -algebrat syntyvät? Käytännössä, vaikka voimme heittää nopat vain rajallisen määrän kertoja, kehitämme likiarvoja todennäköisyyksiin rajalausekkeiden kautta, kun $ n $, heittojen määrä, kasvaa sitomattomasti. Joten katsokaa todisteita tämän tapauksen keskeisestä rajalausekkeesta, Laplace-de Moivren lauseesta. Voimme todistaa likiarvojen avulla käyttämällä vain algebroja, eikä $ \ sigma $ -algebraa tarvita. Suurten lukujen heikko laki voidaan todistaa Tšebyshevin epätasa-arvon avulla, ja siihen tarvitaan vain varianssi rajallisiin $ n $ -tapauksiin. Mutta vahvaan lakiin suuria lukuja , tapahtumalla, jonka todistamme olevan todennäköisyys, voidaan ilmaista vain lukemattomasti lukematon määrä ”ja” ja ”tai” ”s, joten suurten lukujen vahvan lain vuoksi tarvitsemme $ \ sigma $ -algebrat.

Mutta tarvitsemmeko todella vahvojen lakien suurta määrää? yhden vastauksen mukaan täällä , ehkä ei.

Tämä viittaa tavallaan erittäin suureen käsitteelliseen eroon suurten ja vahvojen lakien välillä: Vahvalla lailla ei ole suoraan empiirisesti merkitystä, koska kyse on todellisesta lähentymisestä, jota ei voida koskaan toteuttaa empiirisesti todennettu. Heikko laki puolestaan koskee likiarvon laatua, joka kasvaa $ n $: lla, ja rajallisella $ n $: lla on numeerisia rajoja, joten se on empiirisesti merkityksellisempää.

Joten diskreettien käytännön käyttö todennäköisyys voisi tehdä ilman $ \ sigma $ -algebroita. Jatkuvassa tapauksessa en ole niin varma.

kommentit

• En ’ usko, että tämä vastaus osoittaa, miksi $ \ sigma $ -kentät ovat tarpeen. Mukavuus, kun pystyt vastaamaan $ P (A) \ [20,30] $: ssa, ei ole matematiikan määräämää ’ t. Hieman surkeasti voidaan sanoa, että matematiikka ei välitä siitä, mikä ’ on hyödyllistä tilastotieteilijöille. Itse asiassa tiedämme, että $ P (A) \ in [20,30] \ le P (A) \ in [18,34) $, joka on hyvin määritelty, joten se ’ ei ole edes selvää, että tämä esimerkki kuvaa sitä, mitä haluat.
• Emme ’ tarvitse ” $ \ sigma $ ” osa ” $ \ sigma $ -algebra ” mille tahansa vastaukselle, Kjetil. Itse asiassa perusmallinnuksessa ja todennäköisyyttä koskevassa päättelyssä näyttää siltä, että työskentelevä tilastotieteilijä voisi tulla toimeen hienosti asetetuilla algebroilla, jotka ovat suljettuja vain äärellisen , ei laskettavissa olevien liittojen alla. Antoni ’ -kysymyksen kova osa koskee sitä, miksi tarvitsemme sulkemista lukemattomien äärettömien ammattiliittojen alla: tämä on kohta, jolloin aiheesta tulee mittateoria alkeisvaiheen sijaan kombinatorika. (Katson, että Aksakal esitti tuon asian myös äskettäin poistetussa vastauksessa.)
• @whuber: olet tietysti oikeassa, mutta vastauksessani yritän antaa jonkinlaisen motivaation miksi algebrat (tai $ \ sigma $ -algebras) voi välittää tietoa. Se on tapa ymmärtää miksi tuo algebrallinen rakenne tulee todennäköisyyteen eikä johonkin muuhun. Tietysti lisäksi käyttäjän777 vastauksessa selitetään tekniset syyt. Ja tietysti, jos voimme tehdä todennäköisyyden yksinkertaisemmalla tavalla, kaikki olisivat onnellisia …
• Mielestäni argumenttisi on perusteltu. Olin kuitenkin hieman hämmästynyt lopussa, kun törmäsin tähän väitteeseen: ”, joka vaatii suljettavuutta laskettavissa risteyksissä ja liittoissa, voimme pyytää laskettavia yhdistyksiä tai erottamisia. ” Tämä näyttää olevan ydinkysymys: miksi kukaan haluaisi rakentaa tällaisen äärettömän monimutkaisen tapahtuman? Hyvä vastaus siihen tekisi muun viestisi vakuuttavammaksi.
• Uudelleen käytännön käyttötarkoitukset: rahoitusmatematiikassa käytetty todennäköisyys- ja mittateoria (mukaan lukien stokastiset differentiaaliyhtälöt, Ito-integraalit, algebrojen suodattimet, jne.) näyttää siltä, että se olisi mahdotonta ilman sigma-algebroja. (En voi ’ t äänestää muokkauksia, koska äänestin jo vastauksestasi!)

Miksi todennäköisyystekijät tarvitsevat $ \ boldsymbol { \ sigma} $ -algebra?

$ \ sigma $ -algebrojen aksiomit ovat luonnollisesti todennäköisyyden motivoimia. Haluat pystyä mittaamaan kaikki Venn-kaavion alueet, esim. $ A \ cup B $ , $ (A \ cup B) \ korkki C $ . Lainatakseni tätä mieleenpainuvaa vastausta :

Ensimmäinen aksioma on, että $ \ oslash, X \ sisään \ sigma $ . No, AINA tiedät todennäköisyyden, ettei mitään tapahdu ( $ 0 $ ) tai jotain tapahtuu ( $ 1 $ ).

Toinen aksioma on suljettu täydennysten alla. Anna minun esittää tyhmä esimerkki. Harkitaan jälleen kolikkokääriä $ X = \ {H, T \} $ . Teeskentelen, että kerron teille, että $ \ sigma $ -algebra tälle käännökselle on $ \ {\ oslash, X, \ {H \} \} $ . Toisin sanoen, tiedän todennäköisyyden siitä, ettei MITÄÄN tapahdu, JOTKA tapahtuu, ja päistä, mutta en tiedä hännän todennäköisyyttä. Kutsuisit minua perustellusti debyytiksi. Koska jos tiedät päiden todennäköisyyden, sinä automaattisesti tietää hännän todennäköisyyden! Jos tiedät todennäköisyyden jostakin tapahtumisesta, tiedät sen todennäköisyyden, ettei sitä tapahdu (täydennysosa)!

Viimeinen aksioma on suljettu lukemattomien liittojen alla. Anna minun antaa sinulle toinen tyhmä esimerkki. Harkitaan muotinheittoa tai $ X = \ {1,2,3,4,5,6 \} $ . Entä jos olisin kertoa sinulle tämän algebra $ \ sigma $ on $ \ {\ oslash, X, \ {1 \}, \ {2 \} \} $ . Toisin sanoen tiedän todennäköisyyden vierittää $ 1 $ tai $ 2 $ , mutta en tiedä todennäköisyyttä vierittää $ 1 $ tai $ 2 $ . Jälleen kerran, voit kutsua minua perustellusti idiootiksi (toivon, että syy on selvä). Mitä tapahtuu, kun joukot eivät ole erimielisiä, ja mitä tapahtuu lukemattomilla liitoilla, on hieman kiusallisempi, mutta toivon, että voit yrittää ajatella joitain esimerkkejä.

Miksi tarvitset kuitenkin laskettavaa vain äärellisen $ \ boldsymbol {\ sigma} $ -additiivisuuden sijaan?

No, se ei ole täysin puhdas- Leikkaa tapaus, mutta on joitain vankkoja syitä, miksi .

Miksi todennäköisyysasiantuntijat tarvitsevat toimenpiteitä?

Tässä vaiheessa , sinulla on jo kaikki mittauksen aksioomat. Alkaen $ \ sigma $ -additiivisuus, ei-negatiivisuus, tyhjä tyhjä joukko ja $ \ sigma $ -algebra. Voit myös vaatia, että $ P $ on mitta. Mittausteoria on jo perusteltu .

Ihmiset tuovat sisään Vitali-sarjan ja Banach-Tarskin selittääkseen, miksi tarvitset mittateoriaa, mutta mielestäni se on harhaanjohtava . Vitalin joukko häviää vain (ei-triviaalien) mittausten suhteen, jotka ovat käännöstaipumaisia, joita todennäköisyysvälit eivät vaadi. Ja Banach-Tarski vaatii vaihtuvuutta. Analyysi ihmiset välittävät heistä, mutta todennäköisyystekijät eivät .

raison Todennäköisyysteorian mittausteorian dêtre tarkoituksena on yhtenäistää erillisten ja jatkuvien matkailuautojen käsittely ja lisäksi sallia sekoitetut matkailuautot ja sellaiset matkailuautot, jotka eivät yksinkertaisesti ole kumpaakaan.

Kommentit

• Luulen, että tämä vastaus voisi olla hieno lisäys tähän ketjuun, jos käsittelet sitä hieman uudelleen. Nykyisessä muodossaan ’ on vaikea seurata, koska suuret sen osat riippuvat linkeistä muihin kommenttiketjuihin. Luulen, että jos asetat sen alhaalta ylös selitykseen siitä, kuinka mitat, äärellinen $ \ sigma $ -additiivisuus ja $ \ sigma $ -algebra sopivat yhteen todennäköisyysvälien välttämättöminä ominaisuuksina, se olisi paljon vahvempi. ’ olet hyvin lähellä, koska ’ olet jo jakanut vastauksen eri segmentteihin, mutta mielestäni segmentit tarvitsevat enemmän perusteluja ja perusteluja olla täysin tuettu.

Olen aina ymmärtänyt koko tarinan näin:

Aloitetaan välilyönnillä, kuten todellinen rivi $ \ mathbb {R} $ . Haluamme soveltaa mittaustamme tämän tilan osajoukoihin , esimerkiksi soveltamalla Lebesgue-mittaria, joka mittaa pituuden. Esimerkki olisi mitata alijoukon pituus $ [0, 0,5] \ cup [0,75, 1] $ Tässä esimerkissä vastaus on yksinkertaisesti 0,5 dollaria + 0,25 = 0.75 $ , jonka voimme hankkia melko helposti. Alamme miettiä, voimmeko soveltaa Lebesgue-mittaria kaikkiin reaalilinjan osajoukkoihin.

Valitettavasti se ei toimi. On olemassa näitä patologisia sarjoja, jotka hajottavat matematiikan . Jos sovellat Lebesgue-mittausta näihin sarjoihin, saat epäjohdonmukaisia tuloksia. Vitali-sarjat ovat esimerkki näistä patologisista sarjoista, joita kutsutaan myös ei-mitattaviksi joukkoiksi, koska niitä kirjaimellisesti ei voida mitata.

Näiden hullujen joukkojen välttämiseksi määritämme mittarin toimivan vain pienemmässä osajoukossa, jota kutsutaan mitattaviksi joukkoiksi. Nämä ovat joukot, jotka käyttäytyvät johdonmukaisesti, kun sovellamme niihin toimenpiteitä. Jotta voimme suorittaa operaatioita näiden joukkojen kanssa, esimerkiksi yhdistämällä ne unioihin tai ottamalla niiden täydennykset, vaadimme näitä mitattavia sarjoja muodostamaan sigma-algebran keskenään. Muodostamalla sigma-algebran, olemme muodostaneet eräänlaisen turvapaikan toimiemme toimimiseksi sisällä ja samalla antaneet meille mahdollisuuden tehdä kohtuullisia manipulaatioita saadaksemme mitä haluamme, kuten liittojen ja täydennysten tekeminen. Siksi tarvitsemme sigma-algebran, jotta voimme piirtää alueen, jolla toimenpide toimii, välttäen mitattavia joukkoja. Huomaa, että jos näitä patologisia osajoukkoja ei löydy, voin helposti määritellä mitan toimiakseen topologisen avaruuden tehojoukossa. Tehojoukko sisältää kuitenkin kaikenlaisia ei-mitattavia joukkoja, ja siksi valita mitattavat ja saada ne muodostamaan sigma-algebra keskenään.

Kuten näette, koska sigma-algebroja käytetään välttämään ei-mitattavia sarjoja, joukot, joiden koko on äärellinen. Ei todellakaan tarvitse sigma-algebraa. Sanotaan, että olet tekemisissä näytetilan $ \ Omega = \ {1, 2, 3 \} $ kanssa (tämä voi olla kaikki mahdollinen tulos satunnaisluvusta, jonka tietokone on luonut) .Voidaan nähdä, että on melko mahdotonta keksiä ei-mitattavia sarjoja, joissa olisi tällainen näytetila. Mitta (tässä tapauksessa todennäköisyysmitta) on määritelty hyvin kaikelle $ \ Omega $ osajoukolle, jonka voit ajatella. Mutta meidän on määriteltävä sigma-algebrat suuremmille näytetiloille, kuten todellinen viiva, jotta voimme välttää patologiset osajoukot, jotka hajottavat mittauksemme. Todennäköisyyksien teoreettisen kehyksen johdonmukaisuuden saavuttamiseksi vaadimme, että rajalliset näytetilat myös muodostavat sigma-algebrat, joissa vain todennäköisyysmittari on määritelty. Sigma-algebrat rajallisissa näytetiloissa ovat teknisiä ominaisuuksia, kun taas sigma-algebrat suuremmissa näytetiloissa, kuten todellinen viiva, ovat välttämättömyys .

Yksi yleinen sigma-algebra, jota käytämme todellinen viiva on Borelin sigma-algebra. Sen muodostavat kaikki mahdolliset avoimet joukot ja ottavat sitten komplementit ja liitot, kunnes sigma-algebran kolme ehtoa saavutetaan. Sano jos rakennat uudelleen Borel-sigma-algebraa $ \ mathbb {R} [0, 1] $ , teet sen luetteloimalla kaikki mahdolliset avoimet joukot, kuten kuten $ (0,5, 0,7), (0,03, 0,05), (0,2, 0,7), … $ ja niin edelleen, ja kuten voitte kuvitella, niitä on äärettömästi monia mahdollisuuksia voit luetella, ja sitten otat täydennyksiä ja liittoja, kunnes sigma-algebra syntyy. Kuten voitte kuvitella, tämä sigma-algebra on BEAST. Se on käsittämättömän valtava. Mutta siinä on ihanaa, että se sulkee pois kaikki hullut patologiset sarjat, jotka hajottivat matematiikan. Nämä hullut sarjat eivät ole Borel-sigma-algebrassa. Tämä joukko on myös riittävän kattava sisällyttämään melkein kaikki tarvitsemamme osajoukot. On vaikea ajatella alajoukko, jota ei ole Borel-sigma-algebraan.

Joten tämä on tarina siitä, miksi tarvitsemme sigma-algebroja, ja Borel-sigma-algebrat ovat yleinen tapa toteuttaa tämä idea.

Kommentit

• ’ +1 ’ hyvin luettavissa. Näytät kuitenkin olevan ristiriidassa @Yatharth Agarwalin vastauksen kanssa, joka sanoo, että ” Ihmiset tuovat sisään Vitali-sarjan ja Banach-Tarskin selittääkseen, miksi tarvitset mittateoriaa, mutta mielestäni se on harhaanjohtavaa. Vitalin joukko häviää vain (ei-triviaalien) mittausten suhteen, jotka ovat käännöstaipumaisia, joita todennäköisyysvälit eivät vaadi. Ja Banach-Tarski vaatii vaihtuvuutta. Analyysi ihmiset välittävät heistä, mutta todennäköisyystekijät eivät todellakaan. ”. Ehkä sinulla on ajatuksia siitä?
• +1 (varsinkin ” turvasataman ” metaforasta!) . @Stop Ottaen huomioon, että viittaamallasi vastauksella on vain vähän todellista sisältöä – se antaa vain muutaman mielipiteen – se ’ ei ole erityisen harkittavan tai keskustelun arvoinen, IMHO.