Missä Atiyah-Singer-indeksilause käytetään fysiikassa?

Liikkeen yhtälöt tai instantonien, tai solitonien yhtälöt tai Einsteinin yhtälöt tai melkein kaikki fysiikan yhtälöt ovat differentiaaliyhtälöitä. Monissa tapauksissa olemme kiinnostuneita differentiaaliyhtälön ratkaisujen avaruudesta . Jos kirjoitamme kiinnostuksen kohteena olevan (mahdollisesti epälineaarisen) differentiaaliyhtälön muodossa $ L (u) = 0, $, voimme linearisoida lähellä ratkaisua $ u_0, $ eli kirjoittaa $ u = u_0 + v $ ja laajenna $ L (u_0 + v) = 0 + L ’ | _ {u_0} (v) + … =: D (v) $ rakentamaan lineaarinen yhtälö $ D (v) = 0 $ siirtymässä $ v. $

Lineaarinen differentiaaliyhtälö on kuin matriisiyhtälö. Muista, että $ n \ kertaa m $ -matriisi $ M $ on kartta välillä $ R ^ n $ – $ R ^ m $ ja $ dim (ker (M)) – dim (ker (M ^ *)) = nm , $ riippumaton tietystä matriisista (tai lineaarisesta muunnoksesta yleisemmin). Tätä numeroa kutsutaan ”indeksiksi”. Äärettömissä ulottuvuuksissa nämä luvut eivät yleensä ole äärellisiä, mutta usein (varsinkin elliptisten differentiaaliyhtälöiden osalta) ne ovat ja riippuvat vain tietyistä ”globaaleista” tiedoista avaruuksista, joihin ne vaikuttavat.

Hakemistolause kertoo, mikä on lineaarisen differentiaalioperaattorin indeksi ($ D, $ yllä). Voit laskea sen avulla yhtälön $ L (u) = 0. $ ratkaisutilan ulottuvuuden . (Kun ratkaisutila on moninkertainen [toinen tarina], ulottuvuus on ulottuvuus tangenttitilan, jota yhtälö $ D (v) = 0 $ kuvaa.) Se ei kerro sinulle mikä ratkaisujen todellinen tila on. Se on vaikea, epälineaarinen kysymys.

Kommentit

• Luulen, että se on ’ hyvä matemaattinen vastaus fyysikoille, jotka eivät ’ tiedä jo indeksilauseen lausuntoa. Mutta en näe todellista fyysistä esimerkkiä. Mikä on sääli, olen varma, että Ericin täytyy tuntea monet niistä . Tiedän, että ihmiset käyttävät sitä merkkijonoteoriassa koko ajan. Mutta en tiedä tarpeeksi voidakseni antaa vastauksen omasta vastauksestani.
• Hakulause on hyvin yleinen ja pätee kaikkiin mainitsemiini esimerkkeihin (instantonit, solitonit, Einstein ’ -yhtälöt). Esimerkiksi $ SU (2) $ -protonien moduli-avaruus -sfääri $ S ^ 4 $ ($ R ^ 4 $ jatkuvalla käyttäytymisellä äärettömyydessä) hetkenumerolla $ k $ on indeksilauseessa yhtä suuri kuin $ 8k – 3 $.
• No, sanoit ” melkein kaikki fysiikan yhtälöt ”, jotka ovat suorassa ristiriidassa arjeni havainto 🙂 Toivoin joitain konkreettisia esimerkkejä, kuten Steve antoi. Tai jotain instanton-esimerkkisi kaltaista (mielestäni tarkoitit kuitenkin $ S ^ 3 $?). Haluaisin nähdä enemmän näistä, etenkin liittyvistä fyysiseen tulkintaan. Kiitos etukäteen 🙂
• On totta, että melkein mikä tahansa fysiikan yhtälö on differentiaaliyhtälö! Kaikki eivät kuitenkaan johda indeksiongelmiin. (Tarkoitin tarkalleen S ^ 4. Instantonit ovat aikariippuvia kenttäkokoonpanoja.) Esimerkki merkkijonoteoriasta, jonka Feynman-kaaviot ovat kaksiulotteisia QFT-amplitudeja. Tuo 2d-kenttäteoria kuvaa karttoja pinnasta avaruuteen, ja kyseisen teorian instantonit ovat holomorfisia karttoja. Tällaisten karttojen avaruuden ulottuvuus löytyy hakemistokaavasta. CY: n osalta tämä ulottuvuus on nolla, mikä tarkoittaa, että voit laskea ratkaisuja (tämä liittyy topologiseen merkkijonoteoriaan).
• +1 mukavasta vastauksesta ja instantonien maininnasta. Mutta onko Einstein ’ -yhtälöön tosiasiallisesti sovellusta? AFAIK-indeksilause soveltuu lineaarisiin elliptisiin operaattoreihin …

Eric ja muut ovat antaneet hyvää vastauksia siihen, miksi odotetaan indeksilauseen syntyvän erilaisissa fyysisissä järjestelmissä. Yksi varhaisimmista ja tärkeimmistä sovelluksista on ”t Hooft” -ratkaisu $ U (1) $ -ongelmaan. Tämä viittaa yhdeksännen pseudo-Goldstone-bosonin (kuten pionit ja Kaons) puuttumiseen QCD: ssä, jota voisi naiivisti odottaa kiraalisen symmetrian rikkomisesta. Päätöslauselmassa on kaksi osaa. Ensimmäinen on se, että kiraalinen $ U (1) $ on poikkeava. Toinen on oivallus siitä, että on olemassa äärellisen toiminnan kokoonpanoja (instantoneja), jotka edistävät korrelaatiofunktioita, joihin liittyy $ U (1) $ -aksiaalivirran poikkeama. Analyysi perustuu vahvasti Dirac-operaattorin indeksilauseeseen, joka on yhdistetty QCD: n $ SU (3) $ -mittarikenttään. Täydellisempi selitys löytyy S. Colemanin Erice-luennoista ”Instantonien käyttö”.”S-kaksinaisuudelle $ N = 4 $ SYM on myös tärkeitä sovelluksia, joihin sisältyy Dirac-operaattorin hakemistoteore monopolimoduulitiloissa.

Kommentit

• Jeff, pysy linjalla! Luulen, että fysiikan pino vaihdosta voisi olla hyötyä fysiikkayhteisölle, jos sitä käytetään yhtä laajasti ja viisaasti kuin matematiikan ylivuoto – esim. kaltaisiltasi ihmisiltä!
• Kiitos Eric. Kerään, että tämä käynnistettiin uudelleen. Toivon, että se toimii. Sillä on joitain tapoja mennä, ennen kuin se on MO-laatuinen.
• Todellakin. Luulen, että ’ s on nyt kehitteillä oleva sivusto (Theoretical Physics Stack Exchange), jonka tavoitteena on olla enemmän kuin Math Overflow, mutta tällä on se etu, että se on olemassa.

Anna minun ensin selittää, mihin kyseinen -hakemisto viittaa . Jos matematiikka on liian täynnä ammattikieltä, ilmoita siitä minulle kommenteissa.

Fysiikassa olemme usein kiinnostuneita spektri erilaisia operaattoreita joistakin meistä kiinnostavista jakotukista Esim.: Dirac-operaattori 3 + 1 avaruudessa. Erityisesti matalan energian pitkän matkan fysiikka sisältyy nollamoodeihin (perustilat).

Nyt mitä ”indeksi” mittaa Dirac-operaattorille $ D $ ja tietylle jakoputkelle $ M $, on vasenkätisten nollatilojen ja oikeakätisten nollatilojen lukumäärän ero. Teknisemmin:

$$ ind \, D = himmeä, ker \, D – himmeä, ker \, D ^ {+} $$

missä $ D $ on kyseinen operaattori; $ ker \, D $ on $ D $ – ydinjoukko, jonka $ D $ tuhoaa; ja $ ker \, D ^ {+} $ on sen ytimen ydin. Sitten, kuten näette, $ ind \, D $ laskee näiden kahden välilyönnin välisen eron. Tämä luku riippuu vain $ M $: n topologiasta.

Lyhyesti sanottuna ASI-lause yhdistää moninkertaisen $ M $: n topologian differentiaalioperaattorin $ D $ nollatiloihin tai perustiloihin $ M $. Tämä on tietysti merkitystä fyysikoille.

Ehkä joku muu voi kertoa tarkemmin fyysisistä näkökohdista.

Paras viittaus tähän ja muihin matemaattisen fysiikan aiheisiin on mielestäni Nakahara .

Jos kyseessä on Dirac-operaattori, indeksi on (kirjattu) yhden kiraalisuuden tyhjiötilojen tilan ylimääräinen ulottuvuus w / r / t toisen kanssa: ts. Epänormaalien ”haamutilojen” määrä kiraalisessa kenttäteoriassa.

Poikkeavuuksia syntyy, kun klassisen / kvanttisymmetrian vastaavuus hajoaa renormalisoinnin aikana (globaali poikkeama voi olla vastuussa kvarkkimassasta QCD: ssä; paikallisen kiraalisen poikkeaman korjaaminen SM-tileillä kvarkeille ja leptoneille; ratkaistuna superstring-teoriassa korjaa mittari ryhmä [joko SO: ksi (32) tai E8 x E8], ja konformaalisen poikkeaman ratkaisu vahvistaa aika-ajan ja fermionipitoisuuden ulottuvuuden). Kun yritetään muuttaa merkkijonoteoria todelliseksi fysiikaksi, kysytään

• Voiko se selittää kiraalisten fermionien kolme sukupolvea?
• Voiko se selittää protonien hajoamisen kokeelliset tulokset?
• Voiko se selittää elektronimassan pienyyden?
• Voiko se selittää [kosmologisen vakion asioita]?

ja AST auttaa vastaamaan näihin kysymyksiin.