Mitä Boltzmannin määritelmä entropiasta tarkoittaa?

Tämän määritelmän kaksi ilmeistä toivottavaa ominaisuutta ovat:

• Kun laitat kaksi järjestelmää vierekkäin, pidä niitä yhtenä järjestelmänä, mahdollisten mikrotilojen kokonaismäärä $ \ Omega_t $ on yhtä suuri kuin kahden järjestelmän $ \ Omega $ s tulo, $ \ Omega_t = \ Omega_1 \ kertaa \ Omega_2 $. Mutta t hänen järjestelmässään entropia on entropioiden summa, mikä osoittaa eksponentiaalisen määritelmän välttämättömyyden.
• Funktiolla $ \ ln $ on ominaisuus, että järjestelmän mikrotilalla $ (\ Omega = 1 ) $ on nolla, mikä on toivottavaa.

Tämä suhde voidaan saada muodostaen oletus yhtäläiset a priori todennäköisyydet , eli että tasapaino vastaa makrotasoa ja suurinta mahdollista mikrotilamäärää:

Tarkastellaan kahta eristettyä järjestelmää, erikseen tasapainossa, joista jokaisella on makrotasot $ E_i ^ {(0)}, V_i, N_i $ (energia, tilavuus, hiukkasten lukumäärä). Jokaisella niistä on yhteensä $ \ Omega_i (N_i, V_i, E_i ^ {(0)}) $ mahdollista mikrotilaa.

Nyt saatamme heidät lämpökosketukseen, jotta he voivat vaihtaa energiaa. Tämän jälkeen ”meillä on $ E_t = E_1” + E_2 ”= \ text {vakiona} $. $ N $ ja $ V $ pysyvät muuttumattomina. Kunkin järjestelmän mahdollisten mikrotilojen kokonaismäärä olisi $ \ Omega_i (N_i, V_i, E_i ”) $ ja yhdistelmäjärjestelmälle: $$ \ Omega = \ Omega_1 (N_1, V_1, E_1”) \ kertaa \ Omega_2 (N_2, V_2, E_2 ”) = \ Omega_1 (E_1”) \ Omega_2 (E_2 ”) = $$ $$ \ Omega (E_t, E_1) $$

Jos oletetaan, että tasapaino esiintyy pisteessä, jossa suurin sallittu $ \ Omega $ , löydämme $ E_1 ^ * $: n (ja siten $ E_2 ^ * $) arvon, joka maksimoi $ \ Omega (E_t, E_1) $: $$ d \ Omega = 0 \ vasemmalle (\ frac {\ osal \ Omega_1 (E_1)} {\ osittainen E_1} \ oikea) _ {E_1 = E_1 ^ *} \ Omega_2 (E_2 ^ *) + \ Omega_1 (E_1 ^ *) \ vasen (\ frac {\ osittainen Omega_2 (E_2)} {\ osa E_2} \ oikea) _ {E_2 = E_2 ^ *} \ frac {\ osittainen E_2} {\ osittainen E_1} = 0 \ tagi {1} $$ $$ \ frac {\ osittainen E_2} {\ osittainen E_1 } = – 1 \ – $$ $$ \ beta_1 = \ vasen (\ frac {\ osittainen \ ln \ Omega_1 (E_1)} {\ osittainen E_1} \ oikea) _ {E_1 = E_1 ^ *} = \ vasen (\ frac {\ osittainen \ ln \ Omega_2 (E_2)} {\ osittainen E_2} \ oikea) _ {E_2 = E_2 ^ *} = \ beta_2 \ tag {2} $$

Luonnollisesti odotamme t nämä määrät $ \ beta_1 $ ja $ \ beta_2 $ liittyvät järjestelmien lämpötiloihin. Termodynamiikasta tiedämme, että $$ \ left (\ frac {\ partituali S} {\ osittainen E} \ oikea) _ {N, V} = \ frac {1} {T} \ tagi {3} $$ Vertaamalla $ ( 2) $ ja $ (3) $, voimme päätellä, että: $$ \ frac {\ osittainen S} {\ osittainen (\ ln \ Omega)} = k $$ tai $$ \ Delta S = k \ ln \ Omega $$, jossa $ k $ on vakio.

Kommentit

• Joten $ \ ln $ on mielivaltainen, eikö?
• @jinawee Miksi mielivaltainen? Eikö ’ t $ (1) $ johda $ \ ln $: een?
• Unohda se, ajattelin Shannonia ’ n entropia: stats.stackexchange.com/a/87210/31711 .

Mustafan vastaus antaa yhden tärkeän syyn logaritmiseen riippuvuuteen: mikrotilat lisääntyvät, kun taas me ”d kuten järjestelmän ulkoisen ominaisuuden olla additiivinen. Tarvitsemme siis yksinkertaisesti isomorfismin, joka muuttaa kertolaskun summaukseksi. Ainoa jatkuva on ”diasäännön isomorfismi” eli logaritmi. Pohja $ e $ on mielivaltainen, kuten Mustafan vastauksesta voi nähdä: voit käyttää mitä tahansa positiivista perustaa (lukuun ottamatta yhtä!), Ja kuten Boltzmannin vakio $ k_B $ on mukautettava peruskertoimen kerrannaiskertoimen absorboimiseksi.

Mutta tietoteoreettinen tarkastelu mahdollisten mikrotilojen lukumäärästä näyttää muita syviä syitä paitsi todiste Shannonin äänettömän koodauksen teoreemosta , antaa informaatio-entropialle (myös logaritmiselle) sen tarkoituksen: se on bittien vähimmäismäärä tai lukumäärä ”kyllä-ei” -vastauksia, joihin meidän on vastattava, jotta voimme yksilöidä tietyn mikrotilan yksilöllisesti olettaen, että kaikki ovat yhtä todennäköisiä. Kuvittele kaikki mahdolliset mikrotilat järjestettynä johonkin leksikografiseen järjestykseen ja kuvittele sitten, että pidät ne ”arkistossa” tietokannassa, joka on järjestetty Työskentelet binääripuusta alaspäin löytääksesi tietyn mikrotilan ja määrän haaroja, jotka sinun on tehtävä matkalla (p suhteellinen haku- ja noutoaikaan) on $ \ log_2 \ Omega $.Tai, intuitiivisesti, entropia on lyhimmän kirjan pituus, joka sinun on kirjoitettava kuvaamaan tiettyä mikrotilaa, jolle on annettu järjestelmän makroskooppiset ominaisuudet. Se on jokin kirja: jos lisätään vain yksi joulilämpö järjestelmään yhden asteen kelviin (kylmempi kuin kosmisen taustan mikroaaltosäteily syvässä avaruudessa), tarvitsisimme a kirja, joka on suurempi kuin koko verkkoversio vuoden 2013 lopussa , kuvaamaan järjestelmän mikrotilaa!

Kuten sanoin, voit käyttää $ \ log_e $ eikä $ \ log_2 $ kunhan seuraat peruskertoimen moninkertaista muutosta fyysisissä vakioissasi (määrittelyt $ k_B $ ja $ T $).

Osa 2 (lue se huolellisesti) ja tämän artikkelin liite:

E. T. Jaynes, ”Tietoteoria ja tilastomekaniikka” .

antaa myös vankkoja motivaatioita logaritmille ja entropiakaavalle, koska ne ovat ainutlaatuinen riippuvuus kaikista seuraavat ominaisuudet:

1. Se on mikrotilojen todennäköisyyksien $ p_i $ jatkuva funktio;
2. Jos kaikki mikrotilat ovat yhtä todennäköisiä, se on monotonisesti lisääntyvä funktio $ \ Omega $;
3. Jos osioimme mikrotilajoukot mielivaltaisesti mielivaltaisiin alijoukoihin ja ajattelemme näitä osajoukkoja yksittäisinä tapahtumina uudessa ”tilatilassa” – ensimmäisen ”karkearakeisena” missä uusilla tapahtumilla itsellään on entropiat $ H_i $ ja todennäköisyydet $ p_i $, jotka on laskettu alkuperäisestä tilatilasta, määritä sitten koko tilan entropia muodossa $ \ summa p_j \, H_j $, niin saamme saman vastauksen entropialle, riippumatta siitä, miten voimme jakaa mikrotilat.

Jos ajattelet sitä, viimeinen kohta (3) on voimakas yleistys e ”Kertolaskusta tulee summaus” -idea, joka ilmaistaan Mustafan vastauksessa .

Entropia täytettiin ensin klassisessa termodynamiikassa ja määriteltiin nimellä

$$ \ mathrm dS = \ frac { \ delta Q} {T} $$, jossa $ Q $ tulee ensimmäisestä termodynamiikan laista

$$ \ Delta U = Q- W $$

ja $ T $ on lämpötila; $ W $ järjestelmän tekemä työ.

Kun kokeellisesti todettiin, että aine mikrotasolla on erillinen eli koostuu molekyyleistä, aineen tilastollisesta käyttäytymisestä tuli taustakehys, josta klassinen termodynamiikka syntyy.

Ensimmäinen laki on energiansäästö, joka on myös tiukka laki mikrosysteemin kokoonpanoissa.

Tilastomekaniikassa todettiin, että hiukkasten keskimääräinen kineettinen energia liittyy lämpötilaan.

Tapa, jolla klassinen entropia syntyy ja identifioidaan tilastollisesta mekaniikasta johdetun entropian kanssa, ei ole yksinkertaista.

Tilastollisen määritelmän kehitti Ludwig Boltzmann 1870-luvulla analysoimalla järjestelmän mikroskooppisten komponenttien tilastollista käyttäytymistä. Boltzmann osoitti, että tämä entropian määritelmä vastasi termodynaamista entropiaa vakionumerossa, joka on sittemmin tunnettu nimellä Boltzmannin vakio. Yhteenvetona voidaan todeta, että entropian termodynaaminen määritelmä tarjoaa kokeellisen entropian määritelmän, kun taas entropian tilastollinen määritelmä laajentaa käsitettä tarjoamalla selityksen ja syvemmän käsityksen sen luonteesta.

Tämä artikkeli esimerkiksi todistaa (yhtälö 42), että tilastomekaniikan entropia identifioidaan klassisen termodynamiikan entropian kanssa. Logaritminen riippuvuus tulee vastaavuusnäytön matematiikasta.