Sallikaa minun ensin muistuttaa (tai ehkä esitellä) muutama kvanttimekaniikan osa mallina f tai fyysiset järjestelmät. Minusta tuntuu, että moniin kysymyksiisi voidaan vastata ymmärtämällä paremmin nämä yleiset näkökohdat, minkä jälkeen vedotaan siihen, miten spin-järjestelmät syntyvät erityistapauksena.

Yleisiä huomautuksia kvanttitiloista ja mittauksista.

Kvanttijärjestelmän tila mallinnetaan yksikköpituuselementtinä $ | \ psi \ rangle $ kompleksista Hilbert-tilaa $ \ mathcal H $, erityinen vektoritila, jossa on sisäinen tuote. Jokainen havaittavissa oleva määrä (kuten liikemäärä tai spin), joka liittyy tällaiseen järjestelmään, jonka arvoa voidaan haluta mitata, edustaa itsenäinen operaattori $ O $ siinä tilassa. Jos rakennetaan laite tällaisen havaittavan mittaamiseksi, ja jos käytetään tätä laitetta mittaamaan havaittavan järjestelmässä, kone tuottaa havainnoitavan ominaisarvon $ \ lambda $. Lisäksi, jos järjestelmä on tilassa $ | \ psi \ rangle $, todennäköisyys, että kyseisen määrän mittaamisen tulos on havaittavan ominaisarvo, on \ begin {align} p (\ lambda) = | \ langle \ lambda | \ psi \ rangle | ^ 2 \ end {tasaa} missä $ | \ lambda \ rangle $ on normalisoitu ominaisvektori, joka vastaa ominaisarvoa $ \ lambda $.

Erikoistuminen järjestelmien pyörittämiseen.

Oletetaan nyt, että tarkastelemamme järjestelmä koostuu hiukkasen pyörimisestä. Hilbert-tila, joka mallintaa järjestelmän spin-tilan spin $ s $: lla, on $ 2s + 1 $ -ulotteinen Hilbert-avaruus. Tämän vektoriavaruuden elementtejä kutsutaan usein ”spinoreiksi”, mutta älä anna tämän häiritä sinua, ne ovat aivan kuten kaikki muutkin Hilbert-avaruuden vektorit, joiden tehtävänä on mallintaa järjestelmän kvanttitila.

Ensisijaiset havainnoitavat tekijät, joiden mittauksesta spin-järjestelmille yleensä keskustellaan, ovat järjestelmän spinin suorakulmaiset komponentit, toisin sanoen on kolme itseliittyvää operaattoria, joita kutsutaan tavanomaisesti $ S_x, S_y, S_z $, joiden ominaisarvot ovat mahdollisia arvoja saatat saada, jos mitataan jokin näistä järjestelmän pyörimisosista. Kummankin operaattorin spektri (ominaisarvojen joukko) on sama.Pyörimisjärjestelmälle $ s $ kukin niiden spektreistä koostuu seuraavista arvoista: \ begin {align} \ sigma (S_i) = \ {m_i \ hbar \, | \, m_i = -s, -s + 1, \ pisteet, s-1, s \} \ loppu {tasaa} missä merkinnässäni $ i = x, y, z $. Joten jos esimerkiksi rakennat koneen mittaamaan spin- $ 1 $ -järjestelmän spinin $ z $ -komponenttia, kone tuottaa yhden arvoista joukossa $ \ {- \ hbar, 0, \ hbar \} $ joka kerta. Kukin näistä ominaisarvoista vastaa kullakin spin-komponenttioperaattorilla on normalisoitu ominaisvektori $ | S_i, m_i \ rangle $. Kuten yllä olevista yleisistä huomautuksista käy ilmi, jos järjestelmän tila on $ | \ psi \ rangle $, ja halutaan tietää todennäköisyys, että spin-komponentin $ S_i $ mittaus tuottaa tietyn arvon $ m_i \ hbar $ , sitten yksinkertaisesti lasketaan \ aloita {tasaus} | \ langle S_i, m_i | \ psi \ rangle | ^ 2. \ end {align} Esimerkiksi, jos järjestelmässä on spin- $ 1 $ ja jos haluaa tietää todennäköisyyden, että $ S_y $ -mittaus tuottaa ominaisarvon $ – \ hbar $, lasketaan \ alku {align} | \ langle S_y, -1 | \ psi \ rangle | ^ 2 \ end {align}

Spinorit.

Edellä olevassa kontekstissa spinorit ovat yksinkertaisesti matriisiesityksiä tietyn spin-järjestelmän tiloista tietyssä järjestyksessä, ja Paulin spin-matriisit ovat normalisointiin saakka matriisiesityksiä spin-komponenttioperaattorit tällä perusteella nimenomaan järjestelmälle, jolla on spin- $ 1/2 $. Matriisiesitykset helpottavat usein laskemista ja käsitteellistä ymmärtämistä, minkä vuoksi niitä käytetään.

Tarkemmin sanottuna oletetaan, että otetaan huomioon spin- $ 1/2 $ -järjestelmä ja valitaan edustaa tiloja ja havaittavissa olevia perustana $. B = (| S_z, -1/2 \ rangle, | S_z, 1/2 \ rangle) $, jotka koostuvat spinin $ z $ -komponentin normalisoiduista ominaisvektoreista, tältä pohjalta löydetään seuraavat matriisiesitykset \ begin {tasaa} [S_x] _B & = \ frac {\ hbar} {2} \ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix} = \ frac {\ hbar} {2} \ sigma_x \\ [S_y] _B & = \ frac {\ hbar} {2} \ begin {pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \ end {pmatrix} = \ frac {\ hbar} {2} \ sigma_y \\ [S_z] _B & = \ frac {\ hbar} {2} \ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix} = \ frac {\ hbar} {2} \ sigma_z \\ \ end {tasaus} Huomaa, että nämä esitykset ovat nimenomaan Paulin matriisit ylimääräiseen $ \ hbar / 2 $ -kertoimeen saakka. Lisäksi jokaista järjestelmän tilaa edustaisi $ 2 \ kertaa 1 $ -matriisi tai ”spinor” \ begin {align} [| \ psi \ rangle] _B = \ begin {pmatrix} a \\ b \ end {pmatrix }. \ end {align} Ja näitä esityksiä voitaisiin käyttää yllä mainittujen laskelmien suorittamiseen.

Kommentit

• Kiitos paljon; tämä auttoi minua ymmärtämään suuresti. Onko tavanomaista, että negatiiviset ominaisarvot palauttavat ominaisvaltiot pyörivät ’ alas ’ ja positiiviset spin ’ ylös ’? Tarkistakseni ymmärrystäni olen yrittänyt laskea yllä käyttämäni esimerkin ’: onko totta, että spin-1-hiukkanen, joka on mitattu olevan x-ulottuvuudessa (ominaisarvo hbar) olla normalisoidussa tilassa < 1/2, sqrt (2) / 2, 1/2 > ja az-ulottuvuuden todennäköisyys mittauksen paluu ylöspäin on sitten 1/4, paluu spin-nolla on 1/2 ja alas 1/4?
• +1 Pidän erityisesti ” -koneistasi ” ensimmäisessä kappaleessa – maku hyvin feynmanilainen. Taistelin monta vuotta ” ymmärtää ” QM: matematiikka ja valhe-teoria olivat minulle tapana, mutta minulle kesti kauan ymmärtää, että ” operaattorit ” eivät vain operaattoreita, vaan myös erityisen reseptin siitä, miten ne tulkitaan malliksi ” mittauskoneet ”. Valitettavasti en voi ’ muistaa, saivatko viestin Feynman-luennot vai Sakurai vai oliko se tosiaan näiden kahden sekoitus ajatuksissani suihkussa vai kävelyä, mutta suosittelen näitä ihmisille nyt.

Ryhmät ovat abstrakteja matemaattisia rakenteita, jotka on määritelty niiden topologian (jatkuvien (Lie) ryhmien tapauksessa) ja kertolaskuoperaation avulla.

Mutta abstrakteista ryhmistä on melkein mahdotonta puhua. Siksi yleensä ryhmien elementit kartoitetaan lineaarisiin operaattoreihin, jotka vaikuttavat johonkin vektoritilaan $ V $:

$$ g \ G: ssä \ rightarrow \ rho (g) \ in \ text {End} (V ), $$

missä G on ryhmä, $ \ text {End} (V) $ tarkoittaa $ V $: n endomorfismeja (lineaarisia operaattoreita) ja $ \ rho (g) $ on kartoitus .Jotta tämä kartoitus olisi mielekäs, meidän on kartoitettava ryhmäkerroin oikein:

$$ \ rho (g_1 \ circ g_2) = \ rho (g1) \ cdot \ rho (g2). $$

Käänteinen kartoitetaan myös kohtaan

$$ \ rho (g ^ {- 1}) = \ rho (g) ^ {- 1} $$

ja ryhmän identiteetti on vain

$$ \ rho (e) = \ text {Id} _V. $$

Tätä kutsutaan ryhmän $ G $ edustukseksi. $ V $ muuntuu ryhmän $ G $ edustuksen $ \ rho $ alla.

Sinun tapauksessasi kiinnostuksen kohteena oleva ryhmä on 3 ulottuvuuden kiertoryhmä, jota yleensä kutsutaan nimellä SO (3). Tavoitteenamme on löytää erilaisia käännettäviä objekteja, eli SO (3): n esityksiä (ja esitystiloja).

Yksi tällainen esitys on määrittelevä esitys (jota käytetään määrittelemään SO (3)) tai vektoriesitys. Tässä tapauksessa $ V $ on vain $ R ^ 3 $ ja matriisit kohteesta $ \ rho (\ text {SO (3)}) $ ovat kohtisuoria $ 3 \ kertaa 3 $ matriiseja, joissa on yksikön determinantti:

$ $ A ^ {T} A = 1; \ quad \ det A = 1 $$

Joten vektoreita voidaan kiertää 3 ulottuvuudessa. Tällaisen kiertämisen tulos $ g \: ssä \ text {SO (3)} $ määritetään toimimalla alkuvektorilla operaattorin $ \ rho (g) $ kanssa.

Toinen esitys on spinori edustus. Vektoritila on nyt 2-ulotteinen ja monimutkainen . Tämän esityksen kuva koostuu yhtenäisestä $ 2 \ kertaa 2 $ -yksiköstä, jossa on yksikön determinantti:

$$ A ^ {\ dagger} A = 1; \ quad \ det A = 1. $$

Tämä esitys ei ole yhtä ilmeinen kuin edellinen, koska spinorit ovat jotain, jota emme yleensä näe jokapäiväisessä elämässä. Mutta voidaan matemaattisesti todistaa, että nämä esitykset ovat isomorfisia ja ovat siten saman ryhmän kaksi erilaista esitystä. (itse asiassa ne ovat homomorfisia ja spinorin esitys on vektoriesityksen kaksoiskansi).

Nyt Paulin matriiseihin. On olemassa yleinen periaate: jokaiselle Lie-ryhmälle $ G $ on olemassa vastaava lineaarinen välilyönti (Lie-algebra) Lie-suluella (Jacobi-identiteetin tyydyttävä kommutatiivinen toiminta), joka kartoittaa yksilöllisesti johonkin $ G $ -ryhmän naapurustoon. Tätä kartoitusta kutsutaan eksponentiaaliseksi.

Joten voit kirjoittaa mielivaltaisen (riittävän lähellä yhtenäisyyttä, jotta globaalit topologiset ongelmat voidaan välttää) $ 2 \ kertaa 2 $ monimutkainen matriisi fr omaa spinorin esityksen muodossa

$$ A = \ exp \ left [\ frac {i} {2} \ alpha ^ a \ sigma_a \ right], $$

where $ \ alpha ^ a $ ovat kolme numeroa, jotka parametroivat ryhmäelementin, jonka esitys on $ A $, ja $ \ frac {i} {2} \ sigma_a $ ovat Lie-algebran perustana, ja $ \ sigma_a $ – 3 $ 2 \ kertaa 2 $ Paulin matriisit. Tämä yhtälö määrittää melkein kuinka spinori muunnetaan mielivaltaisen rotaation alla.

Vektoriesityksessä on myös Lie-algebra-perusta, joka koostuu 3 $ 3 \ kertaa 3 $ -matriisista.

Pauli-matriiseista on kaksi muuta tulkintaa, joista saatat olla hyödyllinen, vaikkakin vasta ymmärtäessäsi JoshPhysicsin erinomainen fyysinen kuvaus . Seuraava voidaan pitää enemmän nimellä ” funky trivia ” (at ainakin minusta ne ovat mielenkiintoisia) Paulin matriiseista pikemminkin kuin fyysinen tulkinta.

1. Perustana $ \ mathfrak {su} (2) $

Ensimmäisen tulkinnan nähdään vaihtelevasti olevan (i) ne ovat yksikkö -kvaterioneja, modulo merkin muutos ja matemaatikon määritelmän järjestys uudelleen nämä pedot , (ii) Lie-algebran perustaksi $ \ mathfrak {su} (2) $ / $ SU (2) $ , kun palautamme ryhmän $ SU (2) = \ exp (\ mathfrak {su} (2)) $ – (iii) kolmiulotteinen yleistys De Moivren lause .

Yleinen, jäljittämätön, $ 2 \ kertaa2 $ vinossa Hermiittimatriisi $ H $ voidaan hajottaa yksiselitteisesti seuraavasti:

$$ H = \ alpha_x \ sigma_x + \ alpha_y \ sigma_y + \ alpha_z \ sigma_z \ tag {1} $$

kanssa $ \ alpha_x, \, \ alpha_y, \, \ alpha_z \ in \ mathbb { R} $ . Tämä matriisi täyttää ominaisuusyhtälön $ H ^ 2 = – \ frac {\ theta ^ 2} {4} \, \ mathrm {id} $ , missä $ \ mathrm {id} $ on $ 2 \ kertaa2 $ -identiteetti ja $ \ frac {\ theta} {2} = \ sqrt {\ alpha_x ^ 2 + \ alpha_y ^ 2 + \ alpha_z ^ 2} $ .Joten, jos käytämme yleisesti yhtenevää matriisieksponentiaalista Taylor-sarjaa ja vähennämme sitten kaikki $ H $ -voimat kuin lineaarinen termi, jolla on tunnusomainen yhtälö, saadaan:

$$ \ exp \ left (H \ right) = \ cos \ left (\ frac {\ theta} {2} \ right) \ mathrm {id} + \ hattu {H} \ sin \ left (\ frac {\ theta} {2} \ right) \ tag {2} $$

jonka nähdään olevan De: n yleistys Moivren kaava ” puhtaalle kuvitteelliselle ” yksikölle

$$ \ hat {H} = \ frac {\ alpha_x \ sigma_x + \ alpha_y \ sigma_y + \ alpha_z \ sigma_z} {\ sqrt {\ alpha_x ^ 2 + \ alpha_y ^ 2 + \ alpha_z ^ 2}} \ tag {3 } $$

ja kaikki jäsenet $ SU (2) $ voidaan toteuttaa eksponentilla, kuten kohdassa (2) (mutta muista, että Lie-algebran eksponentti, vaikka tässä tapauksessa koko $ SU (2) $ , ei ole aina koko Lie-ryhmä, ellei lat ter on (i) kytketty ja (ii) kompakti). Täten jokainen $ SU (2) $ -jäsen voidaan hajottaa Pauli-matriisien ” -yksikön pituusyksikkönä ja identiteettimatriisi.

Syy tekijään 2 määritelmässä $ \ theta / 2 $ on toistaiseksi salaperäinen: todista, että Edellä mainitut, olemme saattaneet yhtä helposti korvata $ \ theta / 2 $ sanoilla $ \ theta $ . Syy liittyy Paulin matriisien ja taivaallisen pallon väliseen suhteeseen, josta keskustelen myöhemmin. Kvaternionit edustavat kiertoa spinorikartan läpi ( MUTTA , kuten Joshphysics neuvoo, älä häiritse tätä sanaa liikaa) jos vektoria 3-avaruudessa edustaa puhtaasti kuvitteellinen kvaternion muodossa $ x \, \ sigma_x + y \, \ sigma_y + z \, \ sigma_z $ , sitten sen kuva kiertämällä kulmaa $ \ theta $ akselin ympäri suuntaan kosinit $ \ gamma_x, \, \ gamma_y, \, \ gamma_z $ antaa:

$$ x \, \ sigma_x + y \, \ sigma_y + z \, \ sigma_z \ mapsto U \, (x \, \ sigma_x + y \, \ sigma_y + z \, \ sigma_z) \, U ^ \ tikari; \ quad U = \ exp \ left (\ frac {\ theta} {2} (\ gamma_x \, \ sigma_x + \ gamma_y \, \ sigma_y + \ gamma_z \, \ sigma_z) \ right) \ tag {4} $$

Tämä spinor-kartta on esimerkki ryhmästä $ SU (2) $ toimii omalla Lie-algebrallaan liitännäisen esityksen avulla. Se voidaan ymmärtää intuitiivisesti kolmion sääntö kahden pyörityksen sävellysten selvittämiseksi, kuten alla olevassa kaaviossa on piirretty. Yksikköpallon kaaret edustavat kiertoa kulmassa, joka on kaksinkertainen kulman antamaan kulmaan, jonka kaari korvaa alkupisteessä.

Selitän tämän yksityiskohtaisesti esimerkissä 1.4 ” $ 2 \ kertaa2 $ Unitary Group $ SU (2) $ ” verkkosivullani ” Joitakin esimerkkejä yhdistetyistä valheryhmistä ” täällä .

Siellä on myös interaktiivinen Mathematica-esittelyni ” $ SU (2) $ Spinor Map: Rotation Composition by Graphical Quaternion Triangles ” Wolframin esittelysivustolla .

2. Taivaankehä

Laajentamalla Pauli-matriisien päällekkäisyyksien kolmiulotteista lineaarista tilaa (joka on sama kuin traceless lineaarinen tila $ 2 \ kertaa2 $ vino-hermitiläiset matriisit) Pauli-matriisien ja identiteettimatriisien ulottamaan 4-ulotteiseen tilaan, sitten kaikki muutokset ryhmästä $ SL (2, \ , \ mathbb {C}) $ vaikuttaa vektorien muotoon $ t \, \ mathrm {id} + x \, \ sigma_x + y \, \ sigma_y + z \, \ sigma_z $ samalla spinorikartalla kuin kohdassa (4). Jos rajoitumme projisointisäteisiin tässä tilassa, ryhmä $ SL (2, \, \ mathbb {C}) $ on isomorfinen Moebius-ryhmälle Möbius-muunnokset vaikuttavat tähän sädetilaan täsmälleen samalla tavalla kuin Möbiuksen (murto-lineaariset) muunnokset Riemannin palloon. $ SL (2, \, \ mathbb {C}) $ on Lorentz-ryhmän kaksoiskansi, ja voit laskea, kuinka avaruusmatkailijan näkymä muuttuu käydään läpi Lorentz-muunnoksia. Katso osio ” Lorentz-muunnokset ” Wikipediassa ” Möbius-muunnos ” -sivu saadaksesi lisätietoja.

Yleinen mekaaninen selitys. Kentät ja aallot seuraavat hyperbolisia yhtälöitä (aaltoyhtälöt). Nämä edustavat etenemistä tilassa ja ajassa, eivätkä sellaisenaan voi edustaa massaa, jonka on oltava paikallaan, mutta se voi myös pyöriä. Tällainen liike tarvitsee elliptisen yhtälön. Esimerkiksi Kline-Gordon-yhtälö on hyperbolinen, kun taas Dirac-yhtälö on elliptinen. Virtaavissa nesteissä on rinnakkainen esimerkki. Pyörteet ja turbulenssi eivät voi muodostua ilman rajan apua – ohjaamaan virtausta etenemästä kiertotilaan. Ensimmäinen alue on hyperbolinen ja toinen elliptinen.

Nyt hiukkasen (pyörivän energian) luomiseksi kentästä (liikkuminen asennossa) meidän on ohjattava / käännettävä kentän suunta. Täällä Paulin matriisit tulevat apua varten ja antavat vaaditun elliptisyyden. Siksi käytetään kuvitteellisia lukuja / kiertoa. Kerroin määrä i: llä kiertää sitä 90 astetta, yleiskulman suhteen käytämme kuvitteellisen suuruuden eksponenttia.

Myöhemmin, kun sekoitamme aaltojen ja hiukkasten lagrangiaineita yleisemmässä mallissa, palataan käyttämään Higgsiä tekemään sama työ muuntumalla yhdestä energiatyypistä toiseen – eli kentistä hiukkasiksi ja päinvastoin.