Kuten kuka tahansa matemaatikko aikoo kerro sinulle, 1 + 1 = 2 seuraa triviaalisesti määritelmistä, eikä se ole lause. Kysymykselläsi ei ole mitään järkeä.

Se on kuin olisit ilmoittanut:

Määritän yhden nestevirtauksen olevan tarkalleen 30 millilitraa.

Mutta entä jos käy ilmi, että olen väärässä?

Se on sinun määritelmäsi. Se ei voi olla väärä, koska neste hyppää, ennen määritelmääsi ei yksinkertaisesti ollut olemassa.

Kommentit

• Voisiko joku lukea heidän kysymyksensä hyväntekeväisemmin, kuten " entä jos havaitsemme, että 1 + 1 = 2 ei seuraa Peanon ' s postulaatista? ", niin että se säilyttää minkä tahansa filosofisen reunan?
• Kiistän, että jokainen matemaatikko sanoo, että 1 + 1 = 2 on määritelmä. Näen mielipiteesi ilmeisesti, mutta yleensä 2 on S (S (0) ) pikemminkin kuin 1 + 1. Joten ' on tehtävä argumentti, että S (S (0) = S (0) + S (0) it ' on triviaali argumentti suoraan +: n määritelmästä, mutta yksi lopulta pääsee eräänlaiseksi hankalaksi johtuen koko äärettömästä induktiosta, jota tarvitset, kun haluat tämän toimivan yleensä.
• @DRF Olen sitä mieltä, että OP ei ehkä tunne Peanon aritmeettista toimintaa, joten ylen yksinkertaistaminen. Mutta ymmärrän, että 0 on määriteltävä + määrittelemällä 0 ja S (.) – mutta kuten sanot, se on sitten triviaali askel kohtaan 1: = S (0) ja 2: = S (1). Vaikka kannatan yleistä ajatusta siitä, että nämä kaikki ovat aksiomaattisia tai määritteleviä väitteitä, jotka voidaan kumota vain, jos valitset toisen + -määritelmän, mikä ei olisi lainkaan kumous. Se olisi vain erilainen määritelmä.
• @Schiphol En tarkoita, että ' ei tarkoita liian hylkäävää kysymystä, mutta en näe, että sillä olisi mitään filosofinen etu tai edes välttämättä, että Peano on tuotava siihen. Kysymys näyttää vain perustuvan väärinkäsitykseen, ikään kuin 1 + 1 = 2: n epävarmuudella voisi olla mikä tahansa muoto, tai että me kaikki romahtaisimme mustaksi aukoksi, jos joku tapahtuu.Olisi täysin toinen asia, jos se muotoiltaisiin seuraamuksellisemmaksi, mutta vastaavaksi ' miksi voimme olettaa turvallisesti 0 ≠ 1 ja mitkä ovat vahvimmat vastakkaiset perustelut? '
• @EricDuminil, Merriam-Webster kirjaimellisesti määrittelee " kaksi " olevan " on yksi useampi kuin yksi numerossa ", mikä on tarkalleen S(S(0)). Joten tässä tapauksessa meillä on varmasti määritelmä.

tärkein yhtälö

Oletuksesi on virheellinen. 1 + 1 = 2 ei ole matematiikan aksioma, vaan (kuten Sputnik huomauttaa) seuraus Peano-aksioomista perusta 10 numeroiden esityksistä.

Desimaalista (perus 10) voidaan helposti vaihtaa unary (base 1) ja sano:

1 + 1 = 11.

Tai vaihda muotoon binaarinen (pohja 2, mitä tietokoneesi todella käyttää) ja sano:

1 + 1 = 10.

Ja sen vuoksi voin mennä roomalaisiin numeroihin :

I + I = II.

Joten on olemassa esityksiä, joissa 1 + 1 on ei 2 (ja jopa järjestelmissä, joissa sinulla ei ole glyph 1), mutta maailmankaikkeutta ei ole implantoitu vielä sen vuoksi.

Entä jos kysymyksesi olisi miellyttävämpi e …

Entä jos Peano-aksioomat ovat ristiriidassa luonnollisen maailman havaintojen kanssa?

Tällöin vastaukseni olisi kaksinkertainen:

• Peano-aksioomiin perustuva matematiikka olisi silti hyödyllistä
• Matemaatikot keksivät toisen joukko aksiomia, jotka sopivat luonnon maailmaan, samoin kuin näihin uusiin aksiomeihin perustuva matematiikka

Tämän ymmärtämiseksi ota esimerkiksi Newtonin kieli fysiikka : ne ovat suuri matematiikan sääntöjoukko, joka on rakennettu joidenkin aksiomien päälle ja sopii kauniisti luonnon maailman havaintoihin.

Mutta sitten Einstein huomasi, että jotkut aksioomat eivät todellakaan sopineet (varsinkin kun asiat menevät valon nopeudella), ja keksi relativistisen fysiikan , joka mitätöi melkein kaiken newtonin fysiikan.

Jopa me tiedämme newtonilaisen fysiikan olevan väärässä (koska ne perustuvat liian yksinkertaiseen malliin), ne ovat työkalu, joka soveltuu moniin ongelmiin.

Sama kuin peanopohjaisessa laskutoimituksessa: vaikka ne eivät sovi havainnoihin luonnonmaailmassa, ne olisivat silti hyviä työkaluja. Ja soveltumattomuuden seurauksena siitä voitaisiin johtaa toinen matematiikkaryhmä.

Kommentit

• Symboli " 1 " määritellään normaalisti multiplikatiivisena identiteetinä ja " 2 " määritellään normaalisti itsensä kanssa kertyvän identiteetin summana. Että 1 + 1 = 2 ei ' t olisi " aksioma ", mutta pikemminkin suoraan näihin määritelmiin. Jos symboleja määriteltäisiin eri tavalla, yhtälö, joka käyttää näitä symboleja, ei välttämättä toteudu, mutta moninkertaisen identiteetin lisääminen itselleen antaisi silti moninkertaisen identiteetin ja itsensä summan riippumatta siitä, mitä symboleja tarvitaan tämän tosiasian kirjoittamiseen.
• Kiitos, että otit esiin Newtonin fysiikan ja relativistisen fysiikan, koska 1c + 1c != 2c selville tapahtui juuri niin. Matematiikka oli oikein, mutta mallimme nopeuksien lisäämiseksi oli väärä suurilla nopeuksilla , joten korjasimme mallin vastaamaan havaintoja . Sen on otettava huomioon Lorentz-tekijä suurilla nopeuksilla. Samanlaisia kysymyksiä klassisesta vs kvanttimekaniikasta.
• Et myöskään näe ' monia arabialaisia matemaatikkoja väittäen, että koska he käyttävät eri numeroita, he ovat siten hylänneet 1 + 1 = 2. Joten on ' häpeällistä, että tämän vastauksen ensimmäinen osa on väärä, koska toinen osa on erittäin hyvä.
• @SteveJessop Ainakin osittain siksi, että 1 , 2 jne. ovat arabialaisia numeroita. Mutta yleinen mielipiteesi on pätevä. (eli on ' häpeä siitä, että kommenttisi ensimmäinen osa on väärä, koska toinen osa on erittäin hyvä.)
• Yksi värinä. Newtonin fysiikka ei ole " väärä. " Se toimii täydellisesti siinä kontekstissa, jossa se löydettiin.En ole koskaan tarvinnut käyttää yleistä suhteellisuusteoriaa missään 30 vuoden fysiikkaan liittyvässä työssäni. Newtonin mekaniikka on katkaissut minut hyvin ja oikein kontekstissani. Mitä suhteellisuusteoria tekee, on laajentaa Newtonin fysiikkaa selittämään asianmukaisesti ilmiöitä, jotka tapahtuvat lähellä valon nopeutta, ja laajentamaan kontekstialueita, joissa voimme asianmukaisesti perustella painovoimalla ja valolla.

Jos 1 + 1! = 2, niin 1 – 1! = 0, mikä tarkoittaa, että ytimen protonien varaus ei enää peruuta elektronien lataus. Siten kaikki atomit hankkivat nettosähkövarauksen ja kaikki makroskooppiset kappaleet vetävät (tai hylkäävät) toisiaan uskomattomalla voimalla – 36 suuruusluokkaa voimakkaampaa kuin painovoima. Tämä sekoittaisi koko maailmankaikkeuden aliatomimassaksi melko lyhyessä järjestyksessä …

Kommentit

• Toki, mutta sitten se myös n tee niin.
• Täysi protonien kääntäminen? Virtausten ylittäminen on huono, Ray.
• Tämä on itse asiassa ainoa täällä lukemani vastaus, joka esittää teoria " mitä tapahtuisi " osa kysymystä. Bravo, Oscar.
• " Jos 1 + 1! = 2, niin 1 – 1! = 0 " En saa sitä '. Kuinka tämä johtopäätös tehdään?
• @CPHPython Näin voi käydä, jos 1 + 1 = 2 on väärä ( ja jos sähkövaraus noudattaa + -sääntöjä ). Mutta jos se ' s hylätään , se tarkoittaa vain sitä, että eristyksen tekeminen on rikki.

Mitä tapahtuisi, on käsitteellisesti hyvin yksinkertaista. Paperi, joka osoittaa ”¬1 + 1 = 2”, nimetään uudelleen ” Zermelo – Fraenkel -sarjateoria on epäjohdonmukainen ” ja julkaistaan.

siellä se vaikeutuu. Riippuen siitä, kuinka todiste toimii, meidän pitäisi päätyä uuteen, heikompaan joukkoon, jonka johdonmukaisuus palautetaan. Tai jotain pahempaa; Peano-aksioomat voivat olla virheellisiä seurauksena. No, rehellisesti sanottuna en tiedä. Jotkut toiminnot, joihin olemme tottuneet, menevät pois, mutta se voitti ”Ei ole lisäys. Kokonaislukua ei voida kumota äärellisessä valtakunnassa (kiitos tiede!), Joten jotain muuta vastalaskureitillä heitetään pois. Ehkä äärettömyyden käsittely on väärää kaikessa matematiikassa. Ehkä jotain muuta. Olen pahoillani, jos tämä kuulostaa spekulaatiolta. Spekulaatio on itse asiassa kysymyksessä. Se riippuu jonkin verran siitä, kuinka iso reikä haluat lyödä.

Käytännön puolella tiedämme jo mitä tapahtuu . 1 + 1 = 2 pätee edelleen kaikkiin kohtuullisiin verkkotunnuksiin ja käyttötapauksiin, joten jatkamme sen käyttöä. Jonkin ajan kuluttua vikatila ymmärretään ja suljetaan huolellisesti (tai ei niin huolellisesti), kuten tietojenkäsittelytieteessä ylivuoto nyt.

Kommentit

• " Zermelo – Fraenkel -sarjan teoria on epäjohdonmukainen " – tai vieläkin parempi otsikko, jos todiste ei vaadi ' t vaadi kaikkia ZF-aksiomia.
• Pudlak teorioi, että jos ristiriita löydettiin Peano-aksioomista, alkaisimme rajoittaa induktioaksiomaa " pieniin " kaavoihin, joillekin pienten määritelmille. palauttaisi todennäköisesti johdonmukaisuuden.
• Ja tällaista tapahtuu jo ed. kerran Russelin ' paradoksiin. (Paitsi en tiedä ' en tiedä, että Cantorin ' joukko-teoriaa pidettiin yleisesti ottaen hyvänä perustana koko matematiikalle tuolloin, kuten ZF [C] on nyt.)

1 + 1 = 2 on välttämätön totuus — karkeasti väite, joka on totta kaikissa mahdollisissa maailmassa. Kysymyksesi siis pyytää todellisia vaihtoehtoisia ehdollisuuksia , joilla on mahdoton ennakkotapaus. Näitä kutsutaan joskus vastakohteiksi (esim. Osio 5.1 täällä ).

Perinteinen näkymä oli aiemmin kaikki nämä vastakohdat ovat vähäpätöisiä. Tämän näkemyksen mukaan ”jos yksi plus yksi ei olisi kaksi, niin q ” olisi totta mielivaltaiselle q . Viime aikoina useat filosofit ovat väittäneet, että tieteen ja jokapäiväisen päättelyn ymmärtäminen vaatii vastalähteiden semantiikan, joka ei merkitse triviaalisesti heidän totuuttaan. Katso viittaukset tähän keskusteluun edellisestä linkitetystä SEP-merkinnästä.

Joka tapauksessa, ole varma, yksi plus yksi on välttämättä yhtä kuin kaksi.

kommentit

• " kaikissa mahdollisissa maailmoissa ". Tämä on kiistanalaista. Voi olla maailma, jota emme ' voi ymmärtää ja edes kuvitella, koska se ' on looginen laki (ja aritmeettinen, jos sellaista siellä edes on) ovat täysin erilaisia.
• @ rus9384 Tätä aihetta käsittelevien teoreetikkojen yksimielisyys on, että loogiset totuudet ovat välttämättömiä. Olettaen tässä, että OP ei ole kiinnostunut kyseenalaistamaan Peano-aksioomien totuutta, niin näistä aksioomeista seuraava 1 + 1 = 2 on välttämätön. Tarpeellisuuden mahdollisessa maailmassa välttämättömyys tarkoittaa vain olemista totta jokaisessa mahdollisessa maailmassa. Koska, kuten sanotte, meidän on joskus pohdittava mahdottomia tiloja, jotkut teoriat toimivat mahdottomasta maailmasta juuri tätä tarkoitusta varten.
• Tuo maailma on mahdoton, koska emme voi ' ajatella sitä? Sokeat ihmiset eivät voi ' nähdä, mutta se ei ole ongelma '. On värejä, jotka muut eläimet havaitsevat ' eivät havaitse (ellei tekniikka edisty tarpeeksi paljon). Se on vain siksi, että logiikkamme ei salli muiden loogisten järjestelmien havaitsemista. Ja emme voi ' olla varmoja, että Peano-aksiomit todella toimivat maailmassamme. Jopa 1 + 1 = 2 voidaan kiistää kvanttitasolla.
• No, sanokaa ' s tämän: mahdollisuus on hyödyllinen käsitys, koska ei kaikki kaivot muotoiltu virke ohjeessa edustaa mahdollista tilannetta. Ota lause, joka ilmaisee yhden näistä mahdottomista asioista. Kuinka meidän pitäisi ajatella heistä? Jotkut sanovat: postuloimalla ylimääräisiä maailmoja, joissa per mahdotonta tällaiset jutut ovat totta.
• @ rus9384 En usko ' ajattele 1+ 1 = 2 voidaan kiistää millä tahansa tasolla. Voit kyseenalaistaa sen, että Peano-aksiomit mallitsevat maailmaa hyvin kvanttitasolla. Tämä ei tee ' t, että 1 + 1 = 2 ei pidä paikkaansa Peano-aksioomien takia.

Todistuksen on oltava suoritettu jonkinlaisessa muodollisessa järjestelmässä, muuten se ei ole niinkään todiste kuin vakuuttava argumentti. Joten meillä on todiste jossakin lausekkeen järjestelmässä 1 + 1! = 2.

Logiikka-alan filosofit ja matemaatikot tarkastelevat tarkasti tämän todistuksen yksityiskohtia. Koska kaikki muodolliset järjestelmät, joista joku on kiinnostunut, osoittavat tämän väitteen päinvastaisen, Tämän lausunnon todistaminen osoittaa myös, että mitä järjestelmää käytettiin, on epäjohdonmukaista. Joten järjestelmää ei enää voitu käyttää vakavaan työhön. Siksi logiikat olisivat oppineet jotain erittäin tärkeää kyseisestä loogisesta järjestelmästä, ja he haluaisi tietää, mitä muita järjestelmiä sama tekniikka osoittautuu epäjohdonmukaiseksi.

Universumia ei voida ”heittää kaaokseen”, ellei joku usko minkäänlaiseen (uskallan y it: maaginen?) vaikutus, jolla tähtien liikkumiseen Andromedan galaksissa vaikuttaa merkittävästi se, mitä merkintöjä teet paperille Maan päällä. Oletan, että solipsisti voi uskoa, että maailmankaikkeutta ylläpitää yksinomaan heidän henkilökohtainen uskonsa loogiseen johdonmukaisuuteen ja siten, että maailmankaikkeus muuttuisi perusteellisesti lukemalla tämän todistuksen. Useimmilla ihmisillä on riittävästi uskoa ulkoisen todellisuuden olemassaoloon, eivätkä usko, että maailmankaikkeus on kiinnostunut siitä, mitä todisteita ihmiset tekevät tai eivät tuota.

Odotan, että filosofit, jotka eivät ole kiinnostuneita logiikasta ja muodollisesta todistuksesta järjestelmät jättävät enimmäkseen huomiotta tuloksen, ainakin kunnes logiikkalaiset selittävät heille tarkalleen millä ehdoilla he (ei-logiikkalaiset) todella käyttävät samaa viallista järjestelmää, joka todistaa 1 + 1! = 2, ja minkä vuoksi he tarvitsevat perusteluja lopettaa käytön.

Se tietysti riippuu tietyssä määrin myös siitä, mitä tarkoitat kumoamalla, että 1 + 1 = 2. Voidaan kuvitella ”fyysinen todiste” eikä muodollinen looginen. Jos tarkoitat, että joku on osoittanut pystyvänsä asettamaan yhden appelsiinin tyhjään kulhoon ja asettamaan sitten toisen appelsiinin samaan kulhoon, eikä muita appelsiineja ole lisätty tai poistettu, ja että kulho sisältää nyt joitain muita appelsiineja kuin 2, saatat sanoa, että he ovat todistaneet 1 + 1! = 2. Mutta kaikkien odotukset ovat, että itse asiassa kyseessä on jonkinlainen aiemmin tuntematon fyysinen prosessi, johon liittyy appelsiineja. Joten vaikka olet löytänyt jotain, joka todella muuttaa käsityksiämme todellisuuden luonteesta, se ei johdu siitä, että ”perustavanlaatuisin yhtälö” on loogisesti väärä, se johtuu appelsiineista (tai fyysisistä esineistä) yleensä) ei ilmeisesti enää noudateta aritmeettista, joten yhtälö ei ole enää sovellettavissa niihin. Tämä olisi luonnollisesti erittäin huolestuttavaa, koska ihmiset luottavat koko ajan siihen, että he voivat laskea asioita, joten ihmisyhteiskunta saattaa hyvinkin joutua kaaokseen.

Ehkä keskustelun kannalta merkityksellinen on epäjohdonmukainen matematiikka :

se on yleisten matemaattisten objektien, kuten joukkojen, numeroiden ja funktioiden, tutkimus, jossa Jotkut [ kursivointi lisätty ] ristiriidat ovat sallittuja.

Ja katso keskustelu aritmeettisesta :

Epäyhtenäistä laskutoimitusta voidaan pitää vaihtoehtona tai muunnelmana standarditeoriasta, kuten ei-euklidinen geometria.

Aritmeettiset standardiaksioomat ovat Peanoja, ja niiden seurauksia – aritmeettisen standarditeorian – kutsutaan nimellä PA . Aritmeettinen vakiomalli on N = {0, 1, 2, …} , nolla ja sen seuraajat.

Yhdenmukaiset epätyypilliset mallit ovat kaikki entisiä vakiomallin jännitteet, mallit, jotka sisältävät ylimääräisiä esineitä. Epäyhtenäiset aritmeettiset mallit ovat luonnollinen kaksoismalli, jossa vakiomalli on itsessään jatkoa perusrakenteelle, mikä tekee myös kaikki oikeat lauseet totta.

Epäyhtenäistä laskutoimitusta tutki ensin Robert Meyer vuonna 1970 ”s. Siellä hän otti parakonsistentin logiikan R ja lisäsi siihen aksioomat, jotka säätelivät seuraajaa, yhteenlaskua, kertolaskua ja induktiota, antaen systeemille R #. koska R #: lla on malleja. Erityisesti R #: lla on rajalliset mallit, joissa on kaksielementtinen verkkotunnus {0, 1} , seuraajafunktio liikkuu hyvin tiukassa ympyrässä elementtien päällä.

Tällaiset mallit tekevät kaikista R # -lauseista totta, mutta pitävät yhtälöt kuten 0 = 1 vain väärä.

Joten mitä? Ehkä voimme selviytyä (rajoitettu?) paljon epäjohdonmukaisuuksia .

Harkitse kuitenkin tätä thougt h-kokeilu, joka perustuu intuitiiviseen esimerkkiin, joka on johdettu Graham Priest -analyysistä epäyhtenäisen aritmeettisen mallin yleisestä rakenteesta:

kuvittele aritmeettisen vakiomallin epäjohdonmukaiseen elementtiin saakka

n = n + 1 .

Tämän n epäillään olevan erittäin , erittäin suuri määrä [ kursivointi lisätty ], " ilman fyysistä todellisuutta tai psykologista merkitystä. " Makustasi riippuen se on suurin lopullinen tai vähiten epäjohdonmukainen luku. Kuvittelemme edelleen, että j, k > n , meillä on j = k .

Jos klassisessa mallissa j ≠ k , niin se pitää paikkansa; Tästä syystä meillä on epäjohdonmukaisuus, j = k ja j ≠ k . Mikä tahansa tosiasia, joka on tosi numeroista, jotka ovat suurempia kuin n , pätee arvoon n , koska n jälkeen kaikki numerot ovat identtisiä n .

Yhtenäisen mallin tosiasiat eivät häviä.

Mutta ota nyt huomioon, että n on erittäin suuri, mutta ei " ilman psykologista merkitystä " ja kuvittele pankkitilisi lisääminen määrään n USD (tai GBP tai mikä tahansa muu).

Siitä hetkestä alkaen pankkitili ei enää kasva, ilman " häiriöitä " tavallisissa aritmeettisissa laeissa.

Saammeko pitää sitä " maailmankaikkeus heitetään kaaokseen " ?

Gödelin lauseessa sanotaan karkeasti, että mikä tahansa riittävän hyödyllinen matemaattinen järjestelmä on joko puutteellinen tai ristiriitainen, toisin sanoen on olemassa lauseita, joita ei voida todistaa tai kumota, tai on lauseita, jotka voidaan todistaa sekä oikeiksi että vääriksi.

On monia väitteitä, joita emme ole pystyneet todistamaan totta tai väärää (mutta se voi johtua siitä, ettemme olleet riittävän älykkäitä), eikä ristiriitoja ole osoitettu (mutta se voi johtua myös siitä, että me eivät olleet tarpeeksi älykkäitä), joten ei ole mahdotonta ajatella, että ”1 + 1 ≠ 2” voidaan todistaa. 1 + 1 = 2 olisi samanaikaisesti totta ja väärä.

Mitä tapahtuisi?Matematiikan keskuudessa tapahtuisi paljon kiroilua. Käydään paljon keskusteluja siitä, kuinka voimme jättää tämän tosiasian huomiotta ja jättää hyödyllisen matematiikan. Maailmankaikkeus ei muutu.

Kun otetaan huomioon kysymys: ”1 + 1 = 2” ei voida eikä tule koskaan kumottamaan (eli todiste, joka ei ole paljon muuta kuin yksinkertainen aksioomien käyttö, on todistettu etäyhteyden kautta on mahdollista, että sen totuuden osoittamisen lisäksi voi olla myös todiste siitä, että se on väärä.

Matematiikka ja / tai tiede paranevat.

Matemaatikot etsivät ja käyttävät malleja uusien oletusten muotoilemiseen; he ratkaisevat oletusten totuuden tai virheellisyyden matemaattisella todistuksella ( wikipediasta ). Voimme väittää, että 1 + 1 = 2 johtuu määritelmästä eikä todisteista, jotka tekisivät kysymyksen kiistanalaiseksi tai huonosti muodostetuksi. Mutta kysymyksesi on edelleen pätevä laajemmassa merkityksessä. Matemaattinen todiste voi olla väärä. Se on jo tapahtunut. Tämä mathoverflow-kysymys on täynnä historiallisia todisteita ja konjektioita, jotka eivät ole oikein. Kun tällainen virhe löydetään, ei juttu maailmankaikkeuden särkyvä tapahtuu. Lopetamme vain väärinkäytökset ja tulemme oikeiksi, olemme parantaneet tietämystämme matematiikasta.

Sanotaan siis, että työskentelemme aksiomien kanssa, joihin ei sisälly 1 + 1 = 2. Ja että pääsemme arvoon 1 + 1 = 2 matemaattisen päättelyn avulla ja vahvistamme matemaattisen todisteen sille. Ja sanokaamme, perustelun vuoksi huomaamme myöhemmin, että tällainen todiste on väärä, itse asiassa 1 + 1 = 3. Ei, se ei aiheuttaisi maailmankaikkeutta kaaokseen. Maailmankaikkeus oli se, mitä se oli ennen ihmisten pääsyä käsite 1 + 1 = 2 (tai oletan, etten ollut oikeastaan paikalla tarkkailemaan sitä, mutta meillä on monia hyviä todisteita, jotka auttavat meitä tietämään, miten se oli.) Ja joka kerta, kun matemaattinen todiste on osoittautunut virheelliseksi, maailmankaikkeus on sitä ei ole kaadettu. Mikä muutti käsitystämme matematiikasta. On järkevää olettaa, että sama olisi 1 + 1 = 3.

On yksi asia, joka heitetään kaaokseen. Matemaatikot . Nyt kun tiedämme, että 1 + 1 = 2 on väärä, jokainen siitä riippuva todiste on virheellinen. Viallinen, ei aivan väärä. Lausumat, jotka on vahvistettu todisteilla, jotka riippuvat 1 + 1 = 2, voivat silti olla totta, mutta vanhat todisteet Paljon materiaalia tarvitsisi tarkistaa ja kirjoittaa uudelleen, käy paljon keskustelua. Mutta meistä tulisi viisaampia kaaoksessa.

Entä tieteelliset teoriat, jotka riippuvat 1 + 1 = 2: sta? Kuten toisessa vastauksessa tähän kysymykseen kuvattu. Ei, tämä ei sekoita koko maailmankaikkeutta atomiatomaksi melko lyhyessä järjestyksessä. Maailmankaikkeus oli sellainen kuin se oli ennen kuin havaitsimme 1 + 1 = 3 ja olisimme niin edelleen (oletan, koska sellaista on tapahtunut muille hylätyille todisteille). Koska olisimme huomanneet, että vanhat tieteelliset teoriat eivät selitä universumia kunnolla, kehitettäisiin parempia malleja.

Jos tällaiset alkeelliset asiat kyseenalaistetaan, joten varsinkin sitäkin vähemmän perustavanlaatuiset asiat, kuten perustelut, joita tarvitaan osoittamaan, että yksi ja yksi eivät lisää kahta. Siksi olisi järkevää epäillä tällaisia todisteita. Itse asiassa jätän huomiotta todisteet – yhdessä noin kymmenen muun uskomattoman väitteen kanssa, joita kohtaan joka päivä – kuten (epäilen) useimmat muutkin ihmiset.

Tämän seurauksena odotan todisteita niillä on yhtä paljon vaikutuksia maailmaan kuin uudella demonstroinnilla euklidisesta kulma-trisektiosta (kuten on esitetty monta kertaa aikaisemmin). Eli se tilapäisesti miehittäisi suhteellisen harvat ihmiset, jotka päättivät tarkastella sitä.

Lyhyt vastaus: Kyllä. Jos pystyt todistamaan, että tällainen alkeellinen ja näennäisesti ilmeinen väite on väärä, niin se kyseenalaistaa paljon mitä luulemme tietävän matematiikasta ja luultavasti paljon muuta universumista.

Joten mitä? Ellei sinulla ole todisteita siitä, että tämä väite on väärä, se on turha hypoteettinen. Minulla on todellakin ollut paljon keskusteluja, joissa joku esitti minulle jonkin hypoteettisen kompleksisen aiheen, kuten: ”Entä jos osoitetaan, että tämä poliittinen politiikka että tuet, että et toimi? ”, tai” Entä jos Jumala käski sinut tekemään jotain pahaa? ”jne. Ja vastaukseni on yleensä sanoa:” En usko, että kuvailemaasi hypoteettista tilannetta todennäköisesti tapahtuu. Entä jos joku todistaa, että 1 + 1 = 2 on väärä? ”

Tarkka matemaattisessa mielessä en näe, kuinka voit todistaa 1 + 1 = 2 vääräksi, koska se on määritelmän mukaan totta. ”2”: n määritelmä on ”1 + 1”. Ainakin sitä minulle opetettiin lukuteorian luokassa. Nykyaikaisen matematiikan monimutkaisuuden vuoksi muilla aloilla on todennäköisesti muita määritelmiä. Mutta määritelmää ei voida todistaa vääräksi. Se on totta … määritelmällä.

todellisuudelle ei tapahtuisi mitään – se pysyisi sellaisena kuin se on. Tarvitsemme kuitenkin muutoksen laskentateoriassa, joka heijastuu muiden laskentaan rakennettujen matemaattisten teorioiden kautta. Koska tämä aritmeettinen yhtälö on käytännössä kahden määritelmä (katso esim. Aritmeettisen rakentaminen matemaattisissa aksiomajärjestelmissä), todiste siitä, että tämä yhtälö on väärä, tarkoittaisi, ettemme voi pätevästi lisätä yhtä ja yhtä tai tarkemmin sanottuna mikä tahansa aksiomajärjestelmä, jonka avulla voimme lisätä yhden ja yksi, on loogisesti epäjohdonmukainen). Se vaatisi meitä muotoilemaan vaihtoehtoisia matematiikan aksiomajärjestelmiä, jotka välttävät epäjohdonmukaisuuden. Todellisuus jatkaisi halailemista yhtä normaalisti, kun yritimme selvittää sen.

Aksiomia ei voi kumota. ja Peanon aksiomit sanovat, että 1 + 1 = 2.

Kontekstivaihto, boolen logiikassa + tarkoittaa jotain muuta ja 1 + 1 = 1.

kommentit

• olen ' olen melko varma, että ' s pyöreä logiikka. sanoit lähinnä, että se ' on aksioma, koska se ' on aksioomaluettelossa.
• @ Ruadhan2300 Peano-aksioomat ovat tavallisia logiikan aksiomia. Voit pitää sitä dogmaattisena, mutta se on yhtä triviaali kuin " Jokaisella numerolla on seuraaja. kieltää, että Peano-aksioomat ovat ehdottomasti erittäin uskottava lähde, mutta " se ' on totta, koska se ' s true " on edelleen outo argumentti.