Mitä tarkoitamme termillä “ asioiden lukumäärä ”?

Kirja on hyvin vanha: 2. painos 1903; 1. painos 1890.

Kuten alaviitteestä sivulta 131 näet, Cantor ja Dedekind mainitaan ”mielenkiintoisina panoksina aiheen kirjallisuuteen” …

Siksi et voi odottaa, että alussa käyttöön otetut käsitteet , joita käytetään primitiivinä seuraavan käsittelyn ”selvittämiseksi”, voidaan muuntaa tarkasti moderneiksi (iepost-1930) joukko-teoreettisiksi käsitteiksi.

Luulen, että:

ryhmän on tarkoitettava rajallista objektien kokoelmaa (asiat)

ja että:

asioiden määrä ryhmässä on ”selvästi” (keskustelusta) vastaava moderni kardinaliteetti (rajoitettu rajallisiin kokoelmiin) ja sitä kutsutaan kokoelma (ryhmä).

Tulkitsen, että asiat ovat ”yksilöllisiä”, konkreettisia tai abstrakteja (jos sellaisia on). Tietenkin on helppo ajatella heitä konkreettisina esineinä, kuten peebles taskussa tai sotilas joukkueessa.

Joukkue on ryhmä sotilaita ja joukossa olevien asioiden lukumäärä on sen muodostavien yksittäisten sotilaiden lukumäärä.

Tämä tulkinta on järkevä myös seuraavan lisäyksen määritelmän suhteen (katso CoolHandLouis Vastaus).

Huomaa, että tässä ryhmällä on kokoelman tai aggregaatin ”yleinen” merkitys; sillä ei ole mitään tekemistä <: n teknisen termin kanssa. em> ryhmateoria .

Kun ”abstraktoidaan” yksittäisten asioiden ”hahmoista” (ts. muotoillaan niiden yksilölliset ominaisuudet, kuten väri, koko, muoto pallojen kokoonpanoa varten) ja kokoelman kohteiden järjestyksestä (se on sama ”modernille” set -konseptille: {A, B, C} on ”sama” joukko kuin {C, B, A} ) saamamme on ryhmän asioiden ”määrä” (kokoelman jäsenten lukumäärä).

Remembe r että Cantorin alkuperäinen merkintä joukon A kardinaalinumeron edustamisesta oli ”kaksoispalkki” A: n päällä:

symboli joukolle, joka on merkitty yhdellä ylipalkilla A-osoitteen yläpuolella. A-merkinnällä on poistettu kaikki rakenteet paitsi -järjestys, siten se edusti joukon tilaustyyppiä . Kaksoispalkki A: n päällä osoitti tällöin järjestyksen poistamisen joukosta ja osoitti siten sarjan kardinaalinumeron.

Kommentit

• Mitä tarkoitamme termillä asioiden määrä yleensä englanniksi?
• @Anupam – anteeksi, mutta en ’ ole äidinkielenään englanninkielinen. Olen ’ hakenut Cambridge Dictionary Online -sivustolta : suoraa parafraasia ei ole: vastaavin sijaintipaikka I ’ Löysimme ” useita tietyntyyppisiä asioita: Päätin olla menemättä monista syistä. ” Meidän on käytettävä hieno ’ s-sijaintia primitiivisenä ” teknisenä terminä ”.
• Luulen, että ” ryhmä ” ei ole ” set ” modernista matematiikastamme. Joukko on kokoelma abstrakteja objekteja ja toisaalta ” ryhmä ” on kokoelma asioita (jotka eivät ole abstrakteja). Joukkoteorialla ei ole mitään tekemistä kysymykseni kanssa.
• En ole lukenut tätä teosta ’, mutta lauseena ” -ryhmän tulee tarkoittaa rajallista esineiden (esineiden) kokoelmaa. ” saa minut rypistymään.
• @JamesKingsbery – mutta ” ryhmää ” tässä ei tarkoiteta kuten ryhmateoriassa ; merkitys on ” colelction ” tai ” aggregaatti ” yksittäisiä objekteja.

Esipuhe

Annoin kaksi vastaukset tähän kysymykseen:

• Toinen vastaus on parempi vastaus ja ensisijainen vastaukseni. Se ehdottaa, että Mr. Fine viittaa naiiviin joukko-teoriaan.

• Annoin tämän vastauksen koska OP vaati ajatella, että {A, A, A} sisältää ”kolme erillistä elementtiä” ”ja lähetti palkkion. Toisinaan ei ollut mitään vakuuttavaa OP: ta, joten miksi ei vain sopia ja saada palkkio? 🙂

  Kaksi vastausta todella täydentävät toisiaan, koska ne osoittavat, kuinka voidaan kuvata samoja matemaattisia ilmiöitä muuttamalla aksiomia, määritelmiä ja sääntöjä eri paikoissa. Sanot TOE MAY TOE Minä sanon TOE MAH TOE. Kuten käy ilmi, tämä vastaus sisältää söpön” matemaattisen todistuksen ”siitä, että herra Fine ajatteli, että {A, A, A} edustaa kolmea erillistä elementtiä. vastaus.

Anupam,

Olet oikeassa herra Hieno harkitsee {A, A, A} = 3.

Lähetän toisen vastauksen, koska tajusin tämän, mutta halusin jättää vanhan vastaukseni historian vuoksi. Olet oikeassa! Henry Burchard Fine tarkoitti kolmea konkreettista asiaa, joten {A, A, A} lasketaan kolmeksi. Hänen lausuntonsa ei voi olla virhe, koska se on hänen ensisijainen lähtökohtansa perustellessaan koko numeerista aritmeettisuutta – koko kirjansa perustaa – aloittaen lisäyksellä:

Lisäys: Jos kaksi tai useampia asioiden ryhmiä yhdistetään yhden ryhmän muodostamiseksi, tämän ryhmän numerosymbolia kutsutaan erillisten ryhmien numeroiden summaksi.

Jos summa on s ja erillisten ryhmien numerot abc jne. vastaavasti niiden välinen suhde ilmaistaan symbolisesti yhtälöllä s = a + b + c + etc, jossa summa-ryhmän oletetaan muodostuvan liittymällä toiseen ryhmään, johon b kuuluu ensin kolmas ryhmä, johon c kuuluu muodostuneeseen ryhmään ja niin edelleen. kaksi tai useampi ryhmä asioita kootaan yhteen ryhmän muodostamiseksi, tämän ryhmän numerosymbolia kutsutaan erillisten ryhmien numeroiden summaksi. Jos summa on s ja erillisten ryhmien abc jne. numerot, niiden välinen suhde on symbolisesti ilmaistaan yhtälöllä sab c + jne., jossa summa-ryhmän oletetaan muodostuvan liittymällä toiseen ryhmään, johon b kuuluu ensimmäiseen, kolmanteen ryhmään, johon c kuuluu tuloksena olevaan ryhmään, ja niin edelleen. tunnetaan on lisäys Lisäys on lyhennetty laskenta

• Koska a, b, c ovat ”ryhmät / sarjat”,

• If two or more groups of things be brought together so as to form a single group...
  Olkoon d = a U b U c

• ...the numeral symbol of this group is called the sum of the numbers of the separate groups)
  Summa (d) = Summa (a) + Summa (b) + Summa (c)

• Määritä nyt ryhmät / sarjat seuraavasti:

  • a = {A}
  • b = {A}
  • c = {A}

• Summa (d ) = Summa (a) + Summa (b) + Summa (c) = 1 + 1 + 1 = 3

• d = a U b U c

• Siksi herra Fine: n ”liitäntäoperaattorin” on luotava d = {A, A, A} ja summa ({A, A, A}) = 3.

• Jos Mr. Fine ”unionioperaattori” oli tavallinen asetettu merkintä, niin d = {A} eikä siitä voida mitenkään saada ”3”.

Siksi herra Fine pitää {A, A, A} = 3.

Näin on silloin, kun A edustaa erillisiä konkreettisia esineitä, kuten 3 kolikkoa. taskussa.

Kommentit

• En usko ’ sitä, että tämä on oikea johtopäätös. Mielestäni Fine olettaa vain, että kun ” ryhmät kootaan yhteen ” summatarkoitusta varten, ” ryhmät ” eivät ole yhteydessä toisiinsa.
• Oletatko kirjaimen $ A $ olevan ” abstrakti objekti ” tai ” konkreettinen esine ”. Jos $ A $ oletetaan ” abstraktiksi objektiksi ”, niin kaikilla $ a $: lla, $ b $: lla ja $ c $: lla on $ 1 , 1,1 $ esineiden lukumäärä niissä, mutta $ d $: lla ei ole $ 3 $ asioita, koska termi asioiden määrä on määritelty vain ” ryhmät ”, joilla on erillisiä asioita. Jos oletat, että $ ” A ” $ ” konkreettisena objektina ” niin kaikki asiat ovat kunnossa.
• +1 Anupamin yllä olevaan kommenttiin!Anupam, se on luultavasti paras kysymys, jonka ’ olet kysynyt kommenteissa! Bravo ja +1 tähän kysymykseen! Tämä koko vastaukseni riippuu siitä, mitä tarkoitin! Joten se tarkoittaa, että et voi olla varma, onko tämä oikein vai ei, ellet kerro, tarkoitin ” abstrakti ” vai ” konkreettinen ”. Erinomainen! Rakastan sitä! Luulen, että tämä vastaa alkuperäistä kysymystä herra Finein tarkoituksesta.
• ” A ” on konkreettinen esine.

Työ, joka Ensin tulee mieleen Edmund Husserlin aritmeettinen filosofia . Hän käsittelee yksityiskohtaisesti numeron ilmeistä vaikeutta: että laskettujen asioiden laskemiseksi on oltava molemmat erilaisia (joten niitä voi olla useampi kuin yksi) ja sama (lasket tiettyjä asioita). Kun sanon ”kolme omenaa”, ne kaikki ovat samassa mielessä samanlaisia (ne ovat ”omenoita”) ja ne kaikki ovat erilaisia toisessa (niitä on kolme, eroteltuna alueellisena) jos ei muuta)

On olemassa samanaikaista ”moninaisuutta” ja ”yhtenäisyyttä”. Tämä johtaa kysymykseen ”sama millä tavalla ja erilainen millä tavalla”.

Eniten muistan tästä kirjasta keskustelua eroista ja erottamisesta. Se on jotain, josta kannattaa puhua. On olemassa kaksi erottuvaa termiä, ”erilainen”, ”erottuva”.

• Erottaaksemme kaksi asiaa meidän on tehtävä tuomio
• Erilainen on välttämätön, mutta ei riittävä edellytys asioiden erottamiseksi

Matematiikassa erotetaan kaikki erilainen ja otetaan huomioon erillisten asioiden kokonaisuus. Näin vältetään hankala osa: inhimillinen tuomitseminen.

Tämä tuomio on meille usein helppo. On selvää, että koemme monet asiat erillisinä ja että maailma ”kiteytyy” esineiksi. Vaikka tämä käsitys ei aina ole kaiken mitä tarvitaan asioiden erottamiseen, useimmissa päivittäisissä tilanteissa se riittää.Vain reunatapauksissa meidän on ylitettävä avaruudessa erotettujen esineiden ulkonäkö ja käytettävä jotakin muuta tuomiomuotoa.

Kyky erottaa asiat on pääaihe psykofysiikan tieteellisellä alalla, joka todella kierteli 1890-luvulla ja jatkuu edelleen. Siitä on ollut monia filosofisia kirjoituksia myös tästä ihmisestä, itse asiassa olen sitä mieltä, että se on filosofian pääkysymys (muut eivät välttämättä ole samaa mieltä).

Voit vastata suoraan kysymykseesi: matematiikka sulkee pois ihmisen tuomion, joten muodollisen järjestelmän rakentamisessa meidän on aloitettava tuomion antamisen jälkeen – teemme sen olettaen, että kaikki sen objektit ovat erotettavissa toisistaan. Jos matematiikan kohteet eivät ole erotettavissa, niiden katsotaan olevan samat. Tämä ei päde todellisiin asioihin, jotka voivat olla erilaisia, mutta joita ei voida erottaa toisistaan.

Huomaa: Yksityiskohdat siitä, kuinka aritmeettinen abstraktio ihmisen tuomiosta, käsitellään Husserlin kirjan loppuosassa. En todellakaan kykene kuvaamaan sitä täällä. Luulen, että siinä saattaa olla joitain ongelmia viimeaikaisen tieteellisen tutkimuksen valossa ”lukuisuus” . En ”ole varma vielä.

Kommentit

• ” Yksi-moniin -ongelma ” juontaa juurensa Platoniin; katso Kolmannen miehen väite , mutta se antaa meille vähän tietoa siitä, mitkä numerot ovat ja miten ne tukevat ihmisprosessia ” ” laskemisesta. Matematiikka voi ilmaista numerot primitiivisenä tai yrittää ” selittää niitä ” joukko-teorian avulla käsitteiden avulla. kirjeenvaihdosta (kardinaalinumerot) ja järjestyksestä (järjestysnumerot). Mutta silti ongelma on olemassa: mitä numerot ovat ja miksi voimme ” soveltaa niitä ” ulkoiseen todellisuuteen?
• @MauroALLEGRANZA Yup, se ’ on vanha, se on ’ s pääkysymys;) Loput Husserl ’ -kirja kertoo abstraktin laskutoimituksen ja maailman suhteesta, minkä vuoksi ’ mainitsen sen pikemminkin kuin mitään muuta. En tarkentanut sitä ’, koska sen 1) varsin tekninen (tärkein syy) 2) mahdollisesti väärä ja 3) ei tarvinnut selittää > Miksi Mr. Fine on rajoittanut tämän termin vain niille ryhmille, joilla on kaikki erilliset elementit. ”
• I ’ m ei sano, että Husserl oli väärässä … Oma henkilökohtainen käsitykseni on, että hieno (1890!) yritti ” selvittää ” numeron käsitettä välttäen ” platonistia ” maku, vältetään kaikki viittaukset ” abstrakteihin ” esineisiin. En ’ ole vakuuttunut siitä, että Platonilla oli oikeus … mutta olen ’ vakuuttunut siitä, että tähän asti ei ääni argumentti ” selittää ” mitä numeroita on löydetty, joka välttää kaikki viittaukset ” abstrakti ” esineitä tai käsitteitä.
• @MauroALLEGRANZA En tarkoittanut ’ tarkoittavan, että olit. Husserl suhtautuu melko kriittisesti ajatukseen, jonka mukaan numerot tulisi rajoittaa fyysisiin esineisiin (erityisesti Milliin), hän sanoo ” Pelkkä viittaus psyykkisiin tekoihin tai tiloihin, joka varmasti voidaan laskea yhtä hyvin kuin fyysinen sisältö, kumoaa tämän [div id = ”2b22048b23”>

Esipuhe

Annoin kaksi vastausta tähän kysymykseen:

• Tämä vastaus on parempi vastaus ja se viittaa siihen, että Mr. Fine viittaa naiiviin joukko-teoriaan. Tässä ei myöskään ole mitään suurta tarkkuuskokemusta, ja herra Fine yksinkertaisesti hyppää eteenpäin kiinnostavaan aiheeseensa. Tämä vastaus on ensisijainen vastaukseni.

• Annoin toinen vastaus sisään tämä sama säie, koska OP vaati ajattelemasta, että {A, A, A} sisältävät ”kolme erillistä elementtiä” ja lähetti palkkion. Toisinaan ei ollut mitään vakuuttavaa OP: ta, joten miksi ei vain sopia ja saada palkkio? 🙂

  Kaksi vastausta todella täydentävät toisiaan, koska ne osoittavat, kuinka voidaan kuvata samoja matemaattisia ilmiöitä muuttamalla aksiomia, määritelmiä ja sääntöjä eri paikoissa. Sanot TOE MAY TOE Minä sanon TOE MAH TOE. Kuten käy ilmi, toinen vastaus sisältää söpön ”matemaattisen todistuksen”, että Hieno ajatus {A, A, A} edustaa kolmea erillistä elementtiä. Voi olla mielenkiintoista nähdä, kuinka puolustin tällaista ehdotusta.

1. Kirja viittaa naiivijoukon teoriaan

Seuraavaan Google-kirjojen linkkiin on helpompi viitata: Algebran numero-järjestelmä: teoreettisesti ja historiallisesti käsitelty ” (Henry Burchard Fine, tekijänoikeus 1890, julkaistu 1907). Seuraava on ote kyseisestä 1907-kirjasta:

I. SOSITIIVINEN INTEGERI JA LAIT, JOTKA SÄÄTELEVÄT POSITIIVISEN INTEGERIN LISÄYTTÄMISTÄ JA MONIKÄSITTELYÄ >

Q1: Koska $ A $ ja $ A $ eivät ole erillisiä, vain $ A $ ja $ B $ ovat erillisiä (ellet ole rabulistinen ja erota ”$ A $: n muodostava ensimmäinen mustepatruuna” toisesta $ A $: n muodostavasta mustemäestä), mutta se tekee mahdottomaksi mainita oikein mikä tahansa näistä $ A $ s: stä konkreettisena kirjaimena (musteen läppä) $ A $ käytti mainitsemaan tietyn kirjaimen (musteen läppä) $ A $ eroaa tarkoituksensa mukaisesti automaattisesti siitä mustemäestä. Kaikissa näissä tapauksissa puhumme $ A $: n ”ideasta”, ts. mikä tahansa ”$ A $” -teksti viittaa samaan objektiin, joka itsessään on ajateltava tekstin ulkopuolella (jotta se olisi mahdollista ensimmäisessä paikka, jossa käytetään ”$ A $” puhumaan $ A $: sta. Vain tässä mielessä $ A = A $ (sillä paperin musteiden konkreettisina läpinä heillä on erilaiset sijainnit, mikä tekee niistä erilaiset) ja kaksi $ A $ Kohdissa ”$ A, B, A $” olevista s: stä puuttuu erottuvuus. Ryhmäsi on siis sama kuin sillä, jolla on elementit $ A, B $ (tai $ B, A $, jos haluat), eli numero on $ 2 $.

K2: Ne eivät vieläkään ole identtisiä esineiden kanssa. Esimerkiksi. Voit laittaa ensimmäisen ja laittaa toisen kaappiin samalla, kun silitys kolmas. huomaisit varmasti, jos itse silityssi kuumalla samaa paitaa kuin mitä pidät. Paidat eivät ole erotettavissa ominaisuuden ”väri” perusteella (kuten ne olivat ennen sitäkin olleet jo erotettavissa esimerkiksi ominaisuudesta ”koko”, oletan), mutta ne voidaan silti erottaa ominaisuudella ”avaruusasento”. Kiinnostavasti tämä jättää meille ongelman, että kohtaamme vaikeuksia tunnistaa tämän päivän paidat eilisen. On mietittävä jonkin aikaa, mitä ”erillinen” (toisin kuin perhas ”erotettavissa”) ja ”sama asia” tarkoittaa.

K3: Elementtien (jotka voivat sallia samanväriset paidat) erottaminen on välttämätöntä, koska et halua laskea samaa esinettä uudelleen (se tekisi sinusta rikkaan miehen, jolla on vain yksi kolikko taskussa). Täysin (?) Erilainen lähestymistapa on määritellä ”luku” sarjojen ekvivalenssiluokaksi (ja näyttää siltä, että ”hienoa” ”ryhmää” kutsutaan tänään ”joukoksi”) ”laskettavuus” (ts. Bijektion olemassaolo) Tällä tavalla käsite 2 tai Kaksi-ness vastaa (tai itse asiassa on) kaikkien joukkojen luokkaa $ X $ siten, että mihin tahansa tiettyyn joukkoon (jota kutsumme ) kaksi elementtiä, kuten $ \ {\ tyhjyset, \ {\ tyhjyset \} \} $. Jos sinulla on kauhua (oikeista) luokista, voidaan huomata, että jokainen tällainen vastaavuusluokka sisältää erityisen ”yksinkertaisen” sarjan, järjestysnumero (ainakin äärellisessä tapauksessa ja yleensä oletuksena valitun aksiooman mukaan).

Kommentit

• Mitä tarkoitamme asioiden lukumäärä ? miksi sanomme Q1: ssä, että ryhmällä G: {A, A, B} on kaksi määrää asioita, miksi ei 3, kuten sen pitäisi olla, koska ryhmässä G on 3 määrää asioita , jopa ryhmässä G olevat kaksi asiaa ovat samat, mutta ne ovat olemassa ja meidän pitäisi laskea ne o. Käytämmekö termiä asioiden määrä matematiikassa eri tavoin kuin tavallisessa elämässä? primitiivinen laskemiskäsitys ei vaivaudu erilaisten asioiden erottamiseen ryhmässä laskettaessa ryhmässä olevien asioiden lukumäärää. Miksi matematiikassa teimme tämäntyyppisen epätavallisen määritelmän termille ei. asioista .
• Sir, olen muokannut kysymystäni suoremmaksi. Selittäisitkö ainakin, mitä tarkoitamme asioiden lukumäärällä .

”Asioiden lukumäärä” yleensä englanniksi: Pelkästään termissä ei ole tarpeeksi tietoa yhden vastauksen antamiseksi.

Ongelma on termi ”asiat”. Yleensä englanniksi tämä viittaa joihinkin jo määritelty järjestely, esimerkiksi samanväristen tuotteiden määrä tai munien määrä laatikossa tai puhelinnumerossa olevien numeroiden ”3” määrä.

Ilman sitä ”numeron” merkitys asioista ”on moninkertainen – se on kaikenlaisten / kokoisten säiliöiden esineiden määrä luokiteltu millä tahansa haluamallasi tavalla.

Kommentit

• Oletetaan, että siellä on ryhmä {A, A, A}. Kysyn kuinka monta kirjainta tässä ryhmässä on ? Minkä pitäisi olla vastaus.
• Katso tyypit ja tunnukset
• @MauroALLEGRANZA linkkiä, jonka sinulla on annettu on varsin mielenkiintoinen. Ne näyttävät tarkoittavan, että ” Tyyppi ” = ” Tiivistelmäobjekti ” ja ” Tunnus ” = ” Betoni ”. Kirjassa Me.Fine outsaetissa sanotaan: ” Sanomme tietyistä erillisistä asioista , että ne muodostavat ryhmän ” ” Asia ” = ” betoni ” = ” Tunnus ” olen oikeassa?
• @Mauro, anteeksi, mutta teillä on se taaksepäin. Sana ” asia ” ei johda sitä ’ s merkitykseen ” Tyyppi / tunnuksen filosofia ”. Kohteen google.com/search?q=definition+thing määritelmä sisältää ” abstrakti kokonaisuus tai käsite: ’ suru ja masennus eivät ole sama asia ’. synonyymit: ominaisuus, laatu, attribuutti, ominaisuus, piirre, ominaisuus, kohta, näkökohta, puoli, omituisuus …
• @Mauro, myös ” äärellinen kokoelma ” ei tarkoita konkreettisia asioita. Tässä on joitain rajallisia kokoelmia abstrakteja asioita / elementtejä: {1,2,3,4,5}, {rakkaus, sota, rauha}. Enemmän kuin todennäköistä, hän vältteli loputtomia sarjoja, koska ne olivat tuolloin erittäin kiistanalaisia: fi.wikipedia.org/wiki/Controversy_over_Cantor’ s_theory .

Ehdotan, että vertaat Fine-määritelmää seuraavaan keskustelu, RL Goodsteinilta, Rekursiivinen lukuteoria (1957) :

Kysymys ”Mikä on matemaattisen kokonaisuuden luonne?” on kiinnostunut ajattelijoista yli kahden tuhannen vuoden ajan ja on osoittautunut erittäin vaikeaksi vastata. Jopa ensimmäinen ja tärkein näistä kokonaisuuksista, luonnollinen numero, jolla on wisp-tahdon käsittämättömyys, kun wc yrittää määritellä sitä.

Yksi lähde vaikeudesta sanoa, mitä numerot ovat, on se, että ei ole mitään, mihin voimme osoittaa ympäröivässä maailmassa, kun etsimme numeromääritelmää. Esimerkiksi numero seitsemän ei ole mikään erityinen seitsemän esineen kokoelma, koska jos se olisi, mikään muu kokoelma ei voisi sanoa olevan seitsemän jäsentä; sillä jos tunnistamme seitsemän vuoden omaisuuden ominaisuudeksi olla tietty kokoelma, niin seitsemän vuoden ikäinen on omaisuus, jota millään muulla kokoelmalla ei voi olla. Kohtuullisempi yritys määritellä numero seitsemän olisi sanoa, että seitsemän vuoden omaisuus on se ominaisuus, joka kaikilla seitsemän kohteen kokoelmilla on yhteistä. Tämän määritelmän vaikeus on kuitenkin sanoa, mikä on se, että kaikilla seitsemän kohteen kokoelmilla on todella yhteistä (vaikka teeskentelisimme, että voimme koskaan tutustua kaikkiin seitsemän kohteen kokoelmiin). Kokoelman numero ei todellakaan ole sen ominaisuus siinä mielessä, että oven väri on oven ominaisuus, sillä voimme muuttaa oven väriä, mutta emme voi muuttaa kokoelman numeroa muuttamatta kokoelmaa itse. On järkevää sanoa, että aiemmin punainen ja nyt vihreä ovi on sama ovi, mutta on hölynpölyä sanoa joistakin seitsemän helmen kokoelmasta, että se on sama kokoelma kuin kahdeksan helmen kokoelma. Jos kokoelman numero on kokoelman ominaisuus, se on kokoelman määrittelevä ominaisuus, olennainen ominaisuus.

Tämä ei kuitenkaan tuo meitä lähemmäs vastausta kysymykseemme ”Mikä on seitsemän esineen kokoelmalla yhteistä?” Hyvä tapa edistyä tällaisessa kysymyksessä on kysyä itseltämme ”Mistä tiedämme, että kokoelmalla on seitsemän jäsentä?” koska vastauksen tähän kysymykseen pitäisi varmasti tuoda esiin jotain, mikä seitsemän kohteen kokoelmilla on yhteistä. Ilmeinen vastaus on, että selvitämme kokoelman määrän laskemalla kokoelman, mutta tämä vastaus ei näytä auttavan meitä, koska kun laskemme kokoelmaa, näytämme tekevän vain ”merkitsemään” jokaisen kokoelman jäsenen numero. (Ajattele riviä sotilaita, jotka numeroidaan.) Se ei selvästikään anna numeromääritelmää sanomaan, että numero on kokoelman ominaisuus, joka löytyy jakamalla numeroita kokoelman jäsenille.

Jokaisen kokoelman jäsenen merkitseminen numerolla, kuten näytämme tekevän laskemisessa, tarkoittaa itse asiassa kirjeenvaihdon luomista kahden kokoelman jäsenten, laskettavien kohteiden ja luonnollisten numeroiden välillä. . Laskettaessa esimerkiksi seitsemän objektin kokoelmaa muodostetaan vastaavuus laskettujen kohteiden ja numeroiden välillä yhdestä seitsemään. Jokaiselle objektille on annettu yksilöllinen numero ja jokainen numero (yhdestä seitsemään) on osoitettu jollekin kokoelman objektille. Jos sanomme, että kaksi kokoelmaa ovat samanlaisia, kun jokaisella on ainutlaatuinen osakkuusyhtiö toisessa, kokoelman laskemisen voidaan sanoa määrittävän kokoelman, joka on samanlainen kuin laskettu kokoelma.

Määritelmän heikkous on tässä kirjeenvaihdon käsitteessä. Mistä tiedämme, kun kaksi elementtiä vastaavat toisiaan?Kuppikokoelmissa olevilla maljoilla ja lautasilla, jotka seisovat lautasissaan, on ilmeinen kirjeenvaihto, mutta mikä on esimerkiksi planeettojen ja musien välinen kirjeenvaihto? Ei ole mitään syytä sanoa, että vaikka planeettojen ja musien välillä ei olisikaan patenttikirjeitä, voimme helposti luoda sellaisen, mistä tiedämme tämän, ja mikä tärkeämpää, minkälaisen kirjeenvaihdon sallimme? Määriteltäessä lukua samankaltaisuuden suhteen olemme vain korvanneet vaikeasti ymmärrettävän luvun käsitteen yhtä vaikeasti ymmärrettävällä vastaavuuden käsitteellä.

Jotkut matemaatikot ovat yrittäneet välttää numeroiden määrittelyn vaikeuksia tunnistamalla numerot numeroilla. Numero yksi on merkitty numerolla 1, numero kaksi numerolla 11, numero kolme 111: llä ja niin edelleen. Mutta tämä yritys epäonnistuu heti, kun havaitaan, että numeroiden ominaisuudet eivät ole numeroiden ominaisuuksia. Numerot voivat olla sinisiä tai punaisia, painettuja tai käsinkirjoitettuja, kadonneita ja löydettyjä, mutta ei ole järkevää osoittaa näitä ominaisuuksia numeroille, ja päinvastoin, numerot voivat olla parillisia tai parittomia, alkuluokkia tai yhdistettyjä, mutta nämä eivät ole numeroiden ominaisuuksia.

”Numeron” ja ”numeron” vastakohta on kielessä yleinen, ja ehkä sen tunnetuin esiintymä löytyy termiparista ”propositio” ja ”lause”. Lause on jonkinlainen ehdotuksen fyysinen esitys, mutta sitä ei voida identifioida ehdotuksen kanssa, koska eri lauseet (esimerkiksi eri kielillä) voivat ilmaista saman ehdotuksen. [katso tyypit ja rahakkeet ]

Shakkipeli, kuten on usein havaittu, tarjoaa erinomaisen rinnakkaisuuden matematiikan (tai itse asiassa kielen) kanssa. Numeroihin vastaavat shakkipalat ja laskutoiminnot, pelin liikkeet.

Täältä löydät viimeinkin vastauksen numeroiden luonteen ongelmaan. Ensinnäkin ymmärrämme numeroiden merkityksen meidän on tarkasteltava sitä ”peliä”, jota numerot pelaavat, toisin sanoen aritmeettista. Numerot, yksi, kaksi, kolme ja niin edelleen, ovat merkkejä aritmeettipelissä, näitä merkkejä toistavat kappaleet ovat numeroita ja mikä tekee merkistä tietyn luvun numeron, on osa, jota se pelaa, tai kuten voimme sanoa kontekstille sopivammalla sanamuodolla, jotka muodostavat merkin tietyn numeron merkin, ovat merkin muuntosäännöt. Tästä seuraa, että tutkimuksen kohteena on EI NUMMA, MUTTA MÄÄRÄMERKIT .

Interseting, but debatable …

Yli 60 vuotta sitten Frege alredy kritisoi tätä näkemystä; katso Gottlob Frege, Aritmeettiset peruslait (1893), uusi englanninkielinen käännös, kirjoittanut Philip Ebert & Marcus Rossberg, Oxford UP 2013, sivu xiii:

[on] yleinen taipumus hyväksyä vain se, mikä voidaan tuntea olevan. […] Nyt aritmeettiset kohteet, numerot, ovat huomaamattomia; miten tulla toimeen tämän kanssa? Erittäin yksinkertainen! Ilmoita numeromerkit numeroiksi. […] Toisinaan näyttää siltä, että numeromerkkejä pidetään shakkinäköinä ja niin sanottuja määritelmiä kuten pelisääntöjä. Siinä tapauksessa merkki ei tarkoita mitään, vaan pikemminkin itse asia. Yksi pieni yksityiskohta jätetään tietysti huomiotta tässä kaikessa; nimittäin ajatus ilmaistaan ”3 ^ 2 + 4 ^ 2 = 5 ^ 2”: lla, kun taas shakkipalojen kokoonpano ei sano mitään.

Kommentit

• Muistan jännityksen, jonka tunsin ensimmäisen kerran lukiessani Goodsteinin ’ johdannon. Hän ’ ei ole Frege, mutta ’ on hienoa saada selkeä näkymänäkymä, joten jos joku on eri mieltä, voi sano tarkalleen millä.

Selventääkseen tarkkaa määritelmää ” asian numero ”, joka on aivan erilainen kuin ” moderni ” joukko-teoreettinen lähestymistapa, mielestäni voi olla hyödyllistä viitata siihen XIX vuosisadan brittiläisen emprismin filosofiseen perinteeseen.

Erityisesti filosofi John Stuart Mill omisti osan työstään Logiikan, ratiosinatiivisen ja induktiivisen järjestelmän (1843) aritmeettisten perusteiden keskusteluun.

Tässä on joitain kohtia, jotka – toivottavasti – voivat selventää Fine-määritelmää:

Kolme kiviä kahdessa erillisessä paketissa ja kolme kiviä yhdessä paketissa, eivät tee samaa vaikutelmaa aisteihimme, – ja väite, että samat kivet voidaan sijoituspaikkaa ja järjestelyä muuttamalla saada aikaan joko yksi tai toinen aistimussarja, vaikkakin hyvin tuttu ehdotus, ei ole identtinen. […]

Tuon tieteen [numerotieteen] perustotuudet perustuvat kaikki järjen todisteisiin – ne todistetaan osoittamalla silmillemme ja sormemme, että mikä tahansa määrä esineitä, esimerkiksi kymmenen palloa, voi erottamalla ja järjestelemällä osoittaa aistillemme kaikki erilaiset numerosarjat, joiden summa on yhtä suuri kuin kymmenen. ( CW VII, 256-57)

Kun siis sanomme, että 12: n kuutio on 1782, vahvistamme tämän: että jos meillä on riittävä määrä kiviä tai muita esineitä, ne kootaan th tietyn tyyppiset paketit tai aggregaatit, joita kutsutaan kaksitoistaisiksi; ja koota nämä itse samankaltaisiksi kokoelmiksi – ja lopuksi muodostavat kaksitoista näistä suurimmista paketeista: näin muodostunut aggregaatti on sellainen, jota kutsumme 1728: ksi; nimittäin se, joka (jotta sen muodot olisivat tunnetuimpia) voidaan valmistaa liittämällä paketti, jota kutsutaan tuhanneksi pikkukiveksi, paketti nimeltään seitsemänsataa kiviä, paketti nimeltään kaksikymmentä kiviä ja paketti, jota kutsutaan kahdeksaksi kiveksi. ( CW VII: 611-12)

Millin naturalistinen lähestymistapa laskutoimitus perustuu ” perus ” yhdistämis- ja erottamisprosesseihin, jotka synnyttävät ja hajoavat ” aggregaatit ” fyysisiä esineitä.

Gottlob Frege kritisoi terävästi Millin empiiristä näkemystä. hänen perusopinnassaan Die Grundlagen der Arithmetik ( Aritmeettiset perusteet ) (1884).

Millin matemaattisen filosofian esittely: katso Philip Kitcher, Mill, matematiikka ja naturalistinen perinne John Skorupskiin (toimittaja), Cambridge Companion to Mill (1998), sivu 57-sivulla.

Kommentit

• Sir, kiitos tästä erittäin hyödyllisestä vastauksesta . Minun vie aikaa lukea niin monta aiheeseen liittyvää tekstiä (tutkin parhaillaan kirjoja, jotka sinä ja muut aiemmin mainitsitte). Onko olemassa lopullinen kirja, joka on kokonaan omistettu laskennan historiaan ? Kirja, joka voi selittää asioita historiasta alkaen ja siirtyä sitten lopulta selittämään, kuinka moderni laskutoimitus vakiintui. Kirja, joka selittäisi kaikki siihen liittyvät asiat, ts. Kuka, miten, milloin, miksi laskutoimituksesta. Esitän kuukauden kuluttua kaksi hyvin filosofista (ja teknistä) aritmeettista kysymystä: Pyydänkö sinua.
• Tietoja ” modernin ” aritmeettinen filosofia Kantista lähtien (mutta JSMillistä ei keskustella) näet Michael Potterin, Syy ’ s Lähin sukulainen: Aritmeettiset filosofiat Kantista Carnapiin (2002).

Kirjassa ”asioiden lukumäärä” erottuu käytännössä niiden esityksestä. Oletetaan, että sinulla on vieraita, jotka haluat kutsua juhliin. Mikä on kutsumiesi vieraiden määrä?

Jos kutsut 5 kaveria, kutsumme heitä Johniksi, Frediksi, Mariaksi, Jilliksi ja Barneyksi. On 5 vieraskaveria- asioita, jotka kutsut juhliin.

Mutta nyt, entä jos juhlat ovat naamiopallo, ja ne kaikki ovat naamioituja. John on pukeutunut aaveeksi, Fred gobliniksi, Mary noidaksi, Jill kurpitsaksi ja Barney dinosaurukseksi. Pelkästään siksi, että he ovat nyt aaveita, goblinia, noita, kurpitsaa ja dinosauruksia, ei muuteta juhliin kutsumiesi vieras-ystävä-asioiden määrää. Niiden ominaisuudet ovat muuttuneet – ne eivät enää näytä ystäviltäsi, ne näyttävät kuten heidän naamiointinsa.

Entä jos 5 heistä tulee pukeutuneina erottamattomiksi aaveiksi. Tarkoittaako tämä sitä, että sanomme, että puolueeseesi on tullut vain yksi aave? Ei, koska ne voidaan silti erottaa toisistaan paikkakunta, saapumisaika, korkeus, paino, levyn väri jne.

Entä jos heillä olisi täsmälleen sama puku etkä koskaan nähnyt enempää kuin yhtä kerrallaan – siten, että mitään erottavaa ominaisuutta ei olisi erotettu ystävä toisesta. Et ehkä ole varma, kuinka monta vieras-ystävä-asiaa sinulla oli juhlallasi. TÄMÄ muutos on tuhonnut erottuvuuden, joka erotti heidät ennen tätä, joten se ei ole kelvollinen muunnos asioiden lukumäärän laskemiseksi.

”Useiden asioiden” ajatus kutsuihisi nähden on nimenomaisesti ryhmän ominaisuus siten, että kaikki muutokset (uudelleenlähettäminen, uudelleen numerointi, uudelleenjärjestäminen, mutta EI kopioiminen, poistaminen) tai alaryhmien laskeminen), jotka säilyttävät elementtien erottuvuuden, ylläpitävät kyseistä ominaisuutta. Se ei ole huolissaan siitä, onko kyseisen omaisuuden arvo 1, 5 vai miljoona miljardia vai ei, vain se, että ”esineiden lukumäärä” on rajallinen arvo, joka pitää tämän omaisuuden.

yksinkertaiseen englantiin, asioiden määrä on vain … kiinnostavien kohteiden määrä. Se ei tule yksinkertaisemmaksi kuin se, ja koska se on niin yksinkertainen käsite, on erittäin vaikea kirjoittaa tarkka määritelmä, joka ei aiheuta ongelmia mahdollisissa puhekielisissä ilmaisuissa.

Tästä kysymyksestä (ja monista vastauksista) jätetään huomiotta matemaattisen teorian tarkoitus, eli käsitellä aksioomia annettuna. Oletamme, että meillä on käsite (esimerkiksi) erillisyydestä ja tutkitaan sitten seuraukset, jotka aiheutuvat tämän käsitteen saamisesta.

Toisin sanoen on mahdotonta esittää kysymys ”Kuinka monta elementtiä on joukossa $ \ { A, A, B \} $? ”Antamatta ensin aksioomia noin $ A $ ja $ B $. Normaalin matemaattisen syntaksin mukaan meidän pitäisi todella kysyä tämä kysymys vasta sen jälkeen, kun on merkitty uudelleen tunnuksiin $ \ {A, A”, B \} $ sekaannusten välttämiseksi, mutta tässä on kyse viestinnästä ja käytännöllisyydestä, ei dogmasta eikä todellakaan jonkinlaisesta totuudesta sarjoista.

Matematiikka on Roberto Ungerin sanoin ”visionäärinen tutkimus”maailman simulakrumin ”. Jos olet eri mieltä jonkun toisen näkemyksestä, se on täysin ok. Mutta jos luulet, että sinulla on ongelma itse matematiikassa, on todennäköistä, että luot omia ristiriitasi väärin käyttämällä kieltä. Jos olet selvä siitä, mitä ominaisuuksia erotuksellesi pitäisi olla, niin joukko teoria pätee , kysymys on vain siitä, miten. Siinä ei määrätä tiettyä erottelumuodoa, vaan pikemminkin tutkitaan kaikkien erottamiskyvyn yhteisiä piirteitä.

Näyttää siltä, että että vastaus kysymykseesi on hyvin kietoutunut siihen, mikä ”asia” on. Saatat olla tietoinen siitä, että abstraktina kysymyksenä se saattaa olla, sitä on esitetty toistuvasti fysiikkayhteisössä kvanttikenttäteorian ja kvanttimekaniikan perusteiden yhteydessä (katso esimerkiksi Paul Teller ja Chris Isham). Yksi johtopäätöksistä on, että asian käsite olemukseksi, johon ominaisuudet ”tarttuvat”, on hylättävä. Tätä Teller kuvailee ”leimatun tensorituotteen Hilbert-avaruusformalismin” ongelmaksi, koska se on ristiriidassa todellisen fyysisen käyttäytymisen kanssa. Joten jos haluat yleisen määritelmän ”asioiden lukumäärälle”, et voi välttää näitä huomioita siitä, mikä on asia ja mikä erotettavuus on fyysisestä näkökulmasta. (Ellet halua määritelmää, joka koskee universumia, joka ei ole meidän oma).

Aivan vain antamaan sinulle esimerkin, sanotaan, että sinulla on yksi fotoni oikeassa kädessäsi ja yksi vasemmalla. Voit erottaa ne viittaamalla siihen, missä kädessä he ovat. Joten ”tapojen laittaa taskuun” on 2 (ensin vasemmassa, sitten oikeassa tai päinvastoin) . Kuitenkin, kun ne ovat taskussa, ne tulevat fyysisesti erottamattomiksi ja ”niiden poistamistapojen määrä” on 1 (ulos tulee yksi, sitten toinen).

Kommentit

• Antamassasi taskuesimerkin fotoneissa ’ re näyttää minusta olevan kaksi fotonia. Heidän identiteettinsä (vasen / oikea) menetetään (yksi, joka tietää mikä on ensimmäinen, toinen toinen). Siellä ’ on vielä kaksi heistä, vaikka ’ olisit menettänyt vähän tietoa. Kadonneiden tietojen ” on vasen / oikea käsi ”, joka ei ole ’ ta fotonien ominaisuus yleensä. Näytät sanovan, että kaikki ominaisuudet ovat luovutettavissa samalla tavalla, mutta en voi ’ t selvittää, jos sanot, että tämä on ylitsepääsemätön ongelma ” ’ -määritelmän yleismäärä ’ ”. Vai onko tavaraa laskettavissa riippumatta?
• Voi kyllä, ympärillä on aina 2 fotonia. ’ puhun identiteetin menettämisen seurauksesta laskukykyyn, ja tämä on seurausta ’ asian luonteesta. ’ kuin fotoni. Päinvastainen käyttäytyminen tapahtuu fermioneille, joiden on aina oltava erotettavissa, mikä estää sinua ahtauttamasta liikaa samassa paikassa (mikä on Paulin poissulkemisperiaate).Joten asioiden laskeminen laskemalla (kuten esimerkissä) laskemalla tapoja, joilla voit järjestää ne, ei aina toimi ’. En tiedä ’ en tiedä onko kyseessä ylitsepääsemätön ongelma, mutta yleismaailmallinen määritelmä ei varmasti voi sivuuttaa sitä.