Oikea yhtälö Breslow-päivän tilastolle kertoimien homogeenisuustestissä

In Cancer Research Statistic Methods; Osa 1 – Tapaus-kontrollitutkimusten analyysi kirjoittajat Breslow ja Day johtavat tilaston testatakseen kerrostumien yhdistämisen kerroinsuhteeksi homogeenisuuden (yhtälö 4.30). Kun otetaan huomioon tilaston arvo, testi määrittää, onko asianmukaista yhdistää kerrokset yhteen ja laskea yksi kerroin.

Esimerkiksi, jos meillä on vain yksi 2×2-varautumistaulukko:

_{(lähde: kean.edu )}

todennäköisyyssuhde sairauden saamiseksi riskitekijällä verrattuna riskitekijän puuttumiseen on:

$$ \ psi = (A * D) / (B * C) $$

jos meillä on useita valmiustaulukoita (esimerkiksi ositellaan iän mukaan ryhmää), voimme Mantel-Haenzel-estimaatin avulla laskea kerroinsuhteen kaikissa $ I $ -kerroksissa:

$$ \ psi_ {mh} = \ frac {\ sum_ {i = 1} ^ {I} A_i D_i / N_i} {\ sum_ {i = 1} ^ {I} B_i C_i / N_i} $$

Kullekin varautumistaulukolle on $ R1 = A + B $ , $ R2 = C + D $ ja $ C1 = A + C $ , jotta voimme ilmaista kyseisen taulukon odotetun kerroinsuhteen kokonaismäärinä:

$$ \ psi_ {mh} = \ frac {AD} {BC} = \ frac {A (R2-C1 + A)} {(R1-A) (C1-A)} $$

, joka antaa A: lle toisen asteen yhtälön. Olkoon $ a $ ratkaisu tähän neliöyhtälöön (vain yksi juuri antaa järkevän vastauksen).

Täten kohtuullinen testi yhteisen kerroinsuhteen oletuksen riittävyydelle on yhteenveto neliön poikkeama; havaittujen ja sovitettujen arvojen arvo, kukin standardoitu varianssillaan:

$$ \ chi ^ 2 = \ sum_ {i = 1} ^ {I} \ frac { (a_i – A_i) ^ {2}} {V_i} $$

missä varianssi on:

$$ V_i = \ vasen (\ frac {1} {A_i} + \ frac {1} {B_i} + \ frac {1} {C_i} + \ frac {1} {D_i} \ oikea) ^ {- 1} $$

Jos homogeenisuusoletus on pätevä ja otoksen koko on suuri suhteessa kerrostumien määrään, tämä tilasto noudattaa likimääräistä khi-neliöjakaumaa $ I-1 $ vapausasteet ja siten p-arvo voidaan määrittää.

Jos sen sijaan jaamme $ I $ kerrokset $ H $ -ryhmiin ja epäilemme, että kerroinsuhteet ovat homogeeniset ryhmissä, mutta eivät niiden välillä, Breslow ja Day antavat vaihtoehtoisen tilaston (yhtälö 4.32) :

$$ \ chi ^ 2 = \ sum_ {h = 1} ^ {H} \ frac {\ left (\ sum_i a_i – A_i \ right) ^ {2}} {\ summa _i V_i} $$

missä $ i $ -yhteenvedot ovat yli kerroksia $ h ^ {th} $ -ryhmä, jonka tilasto on chi-neliö ja jossa on vain $ H-1 $ vapausastetta (oletan toisen Mantelin -Haenzel-estimaatti lasketaan kussakin ryhmässä).

Kysymykseni on yhtälö 4.32 ei vaikuta oikealta. Jos jotain, odotan sen olevan muotoa:

$$ \ chi ^ 2 = \ sum_ {h = 1} ^ {H} \ frac {\ sum_i \ left (a_i – A_i \ right) ^ {2}} {\ sum_i V_i} $$

tai:

$$ \ chi ^ 2 = \ sum_ {h = 1} ^ {H} \ sum_ {i} \ frac {(a_i – A_i) ^ {2}} {V_i} $$

jälkimmäisen yhtälön avulla likimääräisen chi-neliöjakauman $ I-1 $ vapausasteella.

Mikä näitä yhtälöitä minun pitäisi käyttää?