Tällainen kysymys on jo täällä , jotta kysymykseni voidaan ottaa huomioon kaksoiskappale, mutta yritän tehdä kannan selväksi, että tämä on erilainen kysymys.
Onko Biot-Savart -lakia johdettavissa Lorentzin ”Force-laista” vai vain Maxwellin yhtälöistä?
Kohta on, että yleensä määritämme kokeiden perusteella, että liikkuvan varauksen magneettikentän läsnä ollessa tuntema voima on $ \ mathbf {F} = q \ mathbf {v} \ kertaa \ mathbf {B} $, mutta siinä tapauksessa magneettikenttä jätetään yleensä määrittelemään myöhemmin.
Voiko tätä pakolakia nyt käyttää jollakin tavalla Biot-Savartin lain saamiseksi, kuten saamme sähkökentän yhtälön suoraan Coulombin voimalaista?
Halusin tiedän, että koska kuten mainitsin kysymyksessä, jonka mainitsin, vaikka Maxwellin yhtälöitä voidaankin pitää perustavanlaatuisempina, nämä yhtälöt saadaan sen jälkeen, kun tunnemme Coulombin ja Biot-Savartin lait, joten jos aloitamme Maxwellistä ” s Yhtälöt Biot-Savartin saamiseksi ”käyttävät sitä Maxwellin yhtälöiden löytämiseen, joten luulen, että putoamme pyöreään argumenttiin.
Tällöin ainoa Maxwellin yhtälöihin turvautumatta tapa saada Biot-Savartin laki on havaintojen kautta vai voidaanko se johtaa jollakin tavalla?
Kommentit
- Maxwell ja Biot-Savart eivät ole perustavanlaatuisia – kaikki tällaiset kaavat ovat seurausta Coulombista ja hyvin valitusta $ B $: n määritelmästä, joka mainitaan tangentiaalisesti tässä lyhyessä äänessä .
- @ ChrisWhite, Maxwell iv id = ”00df650a bd. Esimerkiksi ei-suoraviivaista latausliikettä koskevaa Gaussin lakia ei voida johtaa ilman muita oletuksia.
- Luulen, että @Hans de Vries voi tarjota tyylikkään vastauksen.
Vastaa
$ \ def \ VA {{\ bf A}} \ def \ VB {{\ bf B}} \ def \ VJ {{\ bf J}} \ def \ VE {{\ bf E}} \ def \ vr {{\ bf r}} $ Biot-Savart-laki on seurausta Maxwellin yhtälöistä.
Oletamme Maxwellin yhtälöt ja valitse Coulomb-mittari, $ \ nabla \ cdot \ VA = 0 $. Sitten $$ \ nabla \ kertaa \ VB = \ nabla \ kertaa (\ nabla \ kertaa \ VA) = \ nabla (\ nabla \ cdot \ VA) – \ nabla ^ 2 \ VA = – \ nabla ^ 2 \ VA. $ Mutta $$ \ nabla \ kertaa \ VB – \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {\ partituali \ VE} {\ osittainen t} = \ mu_0 \ VJ. $$ vakaana tilassa tämä tarkoittaa $$ \ nabla ^ 2 \ VA = – \ mu_0 \ VJ. $$ Siten meillä on Poissonin yhtälö yllä olevan yhtälön kullekin komponentille. Ratkaisu on $$ \ VA (\ vr) = \ frac {\ mu_0} { 4 \ pi} \ int \ frac {\ VJ (\ vr ”)} {| \ vr- \ vr” |} d ^ 3 r ”. $$ Nyt tarvitsemme vain laskea $ \ VB = \ nabla \ kertaa \ VA $. Mutta $$ \ nabla \ kertaa \ frac {\ VJ (\ vr ”)} {| \ vr- \ vr” |} = \ frac {\ VJ (\ vr ”) \ kertaa (\ vr- \ vr”)} {| \ vr- \ vr ”| ^ 3} $$ ja niin $$ \ VB (\ vr) = \ frac {\ mu_0} {4 \ pi} \ int \ frac {\ VJ (\ vr”) \ kertaa (\ vr- \ vr ”)} {| \ vr- \ vr” | ^ 3} d ^ 3 r ”. $$ Tämä on Biot-Savart-laki äärellisen paksulle langalle. Ohuelle langalle tämä pienenee $$ \ VB (\ vr) = \ frac {\ mu_0} {4 \ pi} \ int \ frac {I d {\ bf l} \ kertaa (\ vr- \ vr ”)} {| \ vr- \ vr ”| ^ 3}. $$
Lisäys : Matematiikassa ja luonnontieteissä on tärkeää pitää mielessä ero historiallisen ja loogisen kehityksen välillä. Aiheen historian tunteminen voi olla hyödyllistä saadakseen käsityksen osallistuvista persoonallisuuksista ja joskus kehittäen intuition aiheesta. Aineen looginen esitys on miten harjoittajat ajattelevat sitä. Se kiteyttää pääideat täydellisimmällä ja yksinkertaisimmalla tavalla. Tästä näkökulmasta sähkömagneettisuus on tutkimus Maxwellin yhtälöistä ja Lorentzin voimalaista. Kaikki muu on toissijaista, mukaan lukien Biot-Savart-laki.
kommentit
- Mutta kuinka olen ’ nähnyt sen tekevän, Maxwell ’ yhtälöt ovat peräisin biot-savart-laista, joka tekisi tämän kiertomerkin.
- @JLA: Olen ’ lisännyt jotain käsittele ” -kierroketta ”, johon viitat.
- @JLA, ei ole mahdollista johtaa matemaattisesti Maxwell ’ s yhtälöt Biot Savart -laista. Ihmiset toisinaan tekevät johtopäätöksen (saapuvat) Maxwell ’ -yhtälöihin Biot-Savart-laista tiettyyn tapaukseen, kuten kiinteät virtaukset, ja yleistävät ne sitten kaikkiin tilanteisiin sanalla. / li>
- Selkeyden vuoksi differentiaalioperaattoreita käytetään $ {\ bf r} $ eikä $ {\ bf r ’} $, että ’ s miten ne vaihdetaan integraalien kanssa yli $ {\ bf r ’} $.
- @AG Johdannaisen ottamiselle suhteessa $ {\ bf r ’} $ ei ole mitään järkeä.Meillä on $ \ nabla = \ summa \ hat e_i \ osittainen / \ osittainen x_i $, ei $ \ summa \ hattu e_i \ osittainen / \ osittainen x ’ _i $ (josta minä kirjoittaisi $ \ nabla ’ $ tai jotain sellaista).
Vastaa
Voi olla totta, että muina aikoina ihmiset mitasivat hehkuvirrasta johtuvaa voimaa, löysivät Biot-Savartin lain ja käyttivät sitä vuorostaan inspiraationa Maxwellin yhtälöiden rakentamiseen. kuinka se todellisuudessa tapahtui historiallisesti, hieno.
Mutta tämä on analogista muille muukalaisarkkeologeille, jotka löytävät 10 miljoonan vuoden päästä luurankokädet maasta. Kädestä arkeologi ymmärtää, mitä eläin, jolla oli tämä käsi, halusi tehdä siihen: että se osasi tarttua työkaluihin ja niin edelleen. Jalkalta arkeologi ymmärtää, että eläin, johon se kuului, käveli kahdella jalalla ja että se painoi yleensä aikuisuudessa noin 100-300 puntaa.
Vasta myöhemmin arkeologi totesi, että käsi ja käsi jalka kuului samalle eläimelle – ihmiselle. Mutta työn luonne tarkoittaa sitä, että palapeli siitä, mikä ihminen oli, on jaettava paloiksi, jotka voidaan yksilöllisesti ymmärtää, ennen kuin koko kuva voi muodostua. Siitä huolimatta olisi taaksepäin ehdottaa, että käsi ja jalka ovat perustavanlaatuisempia kuin ihminen itse.
Maxwell-yhtälöt on rakennettu vastaamaan Biot-Savart -lakia ja muita tietoja. , kuten Coulombin laki. Voit siis johtaa Biot-Savartin Maxwellista, mutta et päinvastoin, sillä Maxwell on yleisempi ja kattavampi.
Jos tiedät jo Lorentzin voimalaki, voit päätellä magneettikentän voimakkuuden langasta vain ampumalla varautuneita testihiukkasia langan lähelle ja tarkkailemalla niiden liikettä. Mutta tämä asettaa kyseenalaiseksi kuinka tiedät jo Lorentzin voimalain jne. päällä.
Voit käydä ympyröissä koko päivän sen suhteen, mikä on tai ei ole perustavaa, mitä on perustuttava kokeelliseen havainnointiin ja mikä on yksinkertaisesti rakennettu vastaamaan näitä havaintoja, mutta usein se on etusijalla ”yksinkertaisten” kokeellisten havaintojen katsotaan olevan perustavanlaatuisia vs. teoreettiset rakenteet t hat sisältää monia tällaisia havaintoja – katso Chris Whiten kommentti siitä, että Maxwellin yhtälöt voidaan johtaa Coulombin laista ja joistakin muista asioista.
Minulle tämä on typerää. Maxwellin yhtälöt sisältävät havaintojemme summan (ainakin ne, jotka sopivat klassiseen järjestelmään). Minulle se on mitä tiedämme klassisesta sähkömagnetismista. Sanoa, että voit johtaa Maxwellin ” Yhtälö, jossa on vain yksi tulos plus muutama oletus … No, se menettää sen, että nuo oletukset myös oli ensin testattava ja vahvistettava. Minulle on hyvin taaksepäin erottaa erityistapaukset (puhtaat sähköiset, puhtaat magneettiset, staattiset tai dynaamiset kentät) ja kohdella niitä ”perustavanlaatuisina”.
Muokkaa: mutta todella, fyysikko täytyy työskennellä molempiin suuntiin. Uuden teorian luomiseksi meillä on usein erityistapauksia, joiden tiedämme olevan yhteydessä toisiinsa, ja meidän on yhdistettävä ne toisiinsa. Se rakentaa Maxwellin yhtälöitä Coulombin laista ja Biot-Savartista. Jos haluat analysoida tiettyä ongelmaa helpoimmin, emme ole varmoja siitä, onko olemassa erityistapauskaava, meidän on käytettävä yleisintä kuvausta (Maxwell) ja yritettävä vähentää sitä yksinkertaisemmaksi ja helpommin ratkaistavaksi ( Jos ei ole nykyistä eikä aikariippuvuutta, voit palata Coulombin lakiin). Molempien lähestymistapojen on oltava mahdollisimman joustavia.
Vastaus
Aloittamalla Rowland Ring -tyyppikokeesta on mahdollista määritellä läpäisevyys mittayksikkönä amperikierrosta kohti syntyvän vuon mittana. Jos oletamme tämän vuon hajoavan käänteisenä neliölaina, saadaan biot-savart-laki magneettisena analogina coulombin lakia lisäämällä ristituote huolehtimalla kentän suunnan kohtisuoruudesta ja tiukasti sillä ymmärryksellä, että se on toimiva hypoteesi, jonka sen hyödyllisyys on vahvistanut, koska nykyinen elementti ei voi olla erillään muusta piiristään. Neuvoni – Ohita kaikki kiusaukset pudota enemmän matematiikkaan kuin tarvitaan, mikä johtaa sinut ymmärtämiseen. Toivottavasti tämä auttaa .
Vastaa
Seuraa ystävällisesti seuraavaa linkkiä. https://en.wikipedia.org/wiki/Jean-Baptiste_Biot ja plese siirtyvät otsikkoon ”Työ”. Siinä sanotaan, että laki löydettiin kokeellisesti vuonna 1820 eli 45 vuotta ennen Maxwellin yhtälöiden julkaisemista. Biot-Savart-lain antoi P. Laplace. Biot-Savart-lain ilmaisu (integraatio) osoittaa, että nippi päällekkäisyyttä on jo sisällytetty siihen.Maxwell-yhtälöt kehitettiin myöhemmin ja ne suunniteltiin sopivasti kattamaan Biot-Savartin lain vaikutukset. Ehkä se on syy, miksi voimme johtaa Maxwellin yhtälöt Biot-Savartin laista ja päinvastoin.
Siirry tähän linkkiin https://en.wikipedia.org/wiki/Lorentz_force ja siirry Historia-osioon. Siinä sanotaan, että vuonna 1881 eli 16 vuotta Maxwell-yhtälöiden julkaisemisen jälkeen Thomson johti ensin muodon Lorentzin voimalaista Maxwell-yhtälöiksi. Lopuksi Lorentz johti Lorentzin voimanlain modernin muodon Maxwell-yhtälöistä vuonna 1892.
Historiallinen järjestys on siis seuraava:
Biot-Savartin laki ==> Maxwellin yhtälöt ==> Lorentzin voimassa oleva laki.
Mutta luokkahuoneissa olemme opetetaan seuraavassa järjestyksessä:
Ensinnäkin: Lorentzin voimalaki, jotta voidaan ottaa käyttöön käsite, että magneettikenttä vaikuttaa voimaan liikkuvalla varauksella.
Toinen: Biot-Savart-laki, esitellä käsite, joka liikkuu cha rges tuottaa magneettikenttää.
Kolmas: Maxwellin yhtälöt; kaikkien sähkömagneettisten kokeellisten havaintojen yleistäminen.
Joten johtopäätös on seuraava:
(1) Biot-Savartin laki on kokeellisesti havaittu laki. Tämä laki sisältää myös ajatuksen Tämä superpositioperiaate pätee myös magnetostaatikoihin. Tämä laki antoi perustan magnetostaatiolle.
(2) Maxwellin yhtälöt on johdettu siten, että ne kattavat Biot-Savartin lain havainnot ( yhdessä muiden sähkömagneettisten kokeellisten havaintojen kanssa). Se on teoreettinen yleistys. Maxwellin yhtälöt ovat perustavanlaatuisempia kuin mikään muu kokeellinen havainto, koska kokeet tehdään yleensä tietyissä olosuhteissa, eivätkä ne siten voi antaa yleistettyä tietoa.
(3) Lorentzin voimalaki on johdettu Maxwellin yhtälöistä, mutta voidaan tarkistaa suoraan kokeellisesti.
HUOMAUTUS
”Tarkkailu ja sitten yleistys”: Luulen, että fysiikkaa kehitetään tällä tavalla. Tarkkailu (kokeilu) luo aina perustan. Yleistäminen kattaa havainnon ja laajentaa sen käytettävyyttä muihin kuviteltaviin kokoonpanoihin, tapauksiin ja olosuhteisiin. Siksi on aina mahdollista johtaa yleistys havainnoista ja päinvastoin [Biot-Savart-laki voidaan johtaa Maxwell-yhtälöistä ja Maxwell-yhtälöt voidaan johtaa Biot-Savart-laista ] .
Tässä korostetaan, että Biot-Savartin laki on tärkeä havainto, joka aloitti magnetostaattisen kentän. Voidaan käyttää Maxwell-yhtälöitä (yleistys) ja vektoripotentiaalin käsitettä (vektorikentän yleinen ominaisuus). johtaa Biot-Savartin lakiin, mutta se ei tarkoita, että laki on vain välivaihe magnetostaatiota koskevan tiedon kehittämisessä. Se, että on mahdollista johtaa Biot-Savartin lain muotoiset Maxwell-yhtälöt ja vektoripotentiaalin käsite vain todistaa, että Maxwellin yhtälöiden yleistys on oikea.
Kommentit
- Mutta toimenpideohjelma ei kysynyt tapahtumien historiallisesta järjestyksestä.
vastaus
Meidän on tarkasteltava aikajanaa (historiaa). Biot-Savart-laki julkaistiin Gaussin magneettikenttilaki (toinen Maxwellin yhtälö) on johdettu Biot-Savartin laista eikä päinvastoin. Gaussin magneettikenttilaki (toinen Maxwellin yhtälö) on johdettu. ) Biot-Savartin lakista voi lukea täältä Gaussin laki magneettikentille
Vastaus
Biot-Savartin lain ongelma on, että teoreettisesti se muotoillaan nykyisen elementit $ Idl $ ja integroitu. Mutta useimmissa oppikirjoissa se on muotoiltu myös POINT-maksuille $ qv $ . Ongelmana on, että kun pistemaksu $ q $ liikkuu nopeudella $ v $ magneettikenttä läheiset tilat MUUTTUU ajan myötä, ts. meillä on $ \ frac {dB} {dt} $ , ja sitten tapahtuvat induktiovaikutukset ja magnetostaattinen ehto rikkoutuu. Sitä vastoin, kun $ Idl $ on integroitu jatkuvaan johtimeen, $ B $ -kenttä on vakio, (magnetostaattinen ). Nämä kaksi tilannetta ovat hyvin erilaisia, ja parhaan tietoni mukaan pistemaksu $ B $ -kenttää ei ole koskaan mitattu suoraan. Force on $ qv $ , kyllä, mutta ei kenttää, jonka $ qv $ tuottaa.