Ovatko numerot todella äärettömiä? [suljettu]

Et ole ainoa, joka kyseenalaistaa lukemattoman lukemattoman määrän numeroita. Itse asiassa on olemassa kokonaisia ajattelukouluja, jotka tutkivat lukemattomia lukuja, kokonaisia ajattelukouluja, jotka tutkivat äärettömän spektrin ulkopuolella olevia lukemattomia lukuja, ja kokonaisia ajattelukouluja, jotka tutkivat kuinka tehdä matematiikkaa siellä, missä äärettömyyksiä ei ole (tunnetaan finitistisinä kouluina) ajatus)!

Äärettömien lukujen keskustelussa on olennaista Peanon aritmeettinen käsite. Giuseppe Peano kehitti joukon aksiomia ns. ”Luonnollisille numeroille”, jotka on epävirallisesti määritelty sekvenssiksi 0, 1, 2, 3, 4. .. Aksioomat ovat:

• 0 on luonnollinen luku (julistamme sen olevan olemassa, se on vakio)
• Jokaiselle luonnolliselle luvulle x, x = x (refleksiivinen: kaikki” ovat yhtä ”kuin itse)
• kaikille luonnollisille numeroille x ja y, jos x = y, sitten y = x (tasa-arvon symmetrinen ominaisuus)
• Kaikille luonnollisille numeroille x, y, z, jos x = y ja y = z sitten x = z (tasa-arvon transitiivinen ominaisuus)
• kaikki a ja b, jos b on luonnollinen luku ja a = b sitten a on luonnollinen luku (tasa-arvo on ”suljettu”)

Meidän on sitten määritettävä funktio S, joka tunnetaan nimellä seuraajafunktio, jotta meillä voi olla lukuja suurempi kuin 0. Epävirallisesti S(0)=1, S(1) = 2 ja niin edelleen päällä.

• Jokaiselle luonnolliselle luvulle n S(n) on myös luonnollinen luku
• Kaikille luonnollisille numeroille m ja n, m = n jos ja vain jos S(m) = S(n) (S on injektio)
• Jokaiselle luonnolliselle luvulle n, S(n) = 0 on väärä (luvun seuraaja ei ole koskaan 0 … alias 0 on ”ensimmäinen” luonnollinen luku)

Tarvitsemme nyt aksiooman, joka tekee kysymyksestäsi niin hienosti mielenkiintoisen, induktioaksion:

• jos f on tällainen funktio t f(0) on tosi ja jokaiselle luonnolliselle luvulle n, jos f(n) on totta f(S(n)) on totta, niin f(n) on totta kaikille luonnollisille numeroille.

Tämä viimeinen aksioma on sellainen, joka saa aikaan niin paljon mielenkiintoista käyttäytymistä. Se yrittää päästä kohti ääretöntä ja väittää tarjoavansa tapoja tarttua siihen. Ja kuten kaikki aksioomat, se ei välttämättä väitä, että se on ”oikea”, vain että sen julistetaan olevan totta rajojen sisällä. aritmeettisten sääntöjen (sellaisina kuin Peano ne on määritellyt).

Suuri osa laskutoimituksista virallistettiin ns. joukko-teoriaan, joka on perustana suurelle osalle matematiikkaamme, koska se näyttää olevan perustavanlaatuinen maailmankaikkeuden organisoinnissa. Sarjat käsittelevät tiettyjä tavarakokoelmia, kuten ”alle 5: n luonnollisten lukujen joukko”, joka on kirjoitettu nimellä {0, 1, 2, 3, 4}.Peano-aritmeettisuus kartoitetaan yleisimmin joukko-teoriaan seuraavan rakenteen avulla:

• Tyhjä joukko {} julistetaan vakioksi 0 Peanon aksiomeissa
• Seuraajafunktioksi S(n) määritellään olevan” S (n) = {{}, {n }} (Minkä tahansa numeron seuraajaksi määritetään tyhjän joukon ja edellisen numeron sisältävän joukon yhdistys)

Tämä määritelmä kuulostaa hieman tylsältä, mutta se valittiin, koska se on helppo kartoittaa kaikki muut Peano-aksioomat näihin kahteen määritelmään. Tämän avulla saamme kyvyn käyttää joukko-teoria-aksiomia manipuloida ”lukuja” erittäin voimakkailla ja perustavilla tavoilla. Yksi tärkeimmistä näistä on käsite joukon kardinaalisuus. Tämä on joukon asioiden ”määrä”. Epävirallisesti {1, 2, 3}, {3, 4, 5} ja {omena, appelsiini, orangutan} kaikilla on 3 kardinaalisuutta, koska ne on 3 elementtiä, mutta {2, 4, 6, 8}: n kardinaali on 4.

Tämä on missä se tulee hankalaksi, koska osoittautuu, että ”kaikkien luonnollisten numeroiden joukko” on kelvollinen joukko, jota tyypillisesti edustaa isolla N, joten voimme kysyä ”mikä on kaikkien luonnollisten lukujen joukko? ”Vastaus on” ääretön ”, ja tämä lausunto tehdään määritelmänä. Määritämme N: n kardinaalin tietyksi numeroksi, joka tunnetaan nimellä ℵ₀, jolle annetaan englanninkielinen nimi ”countable infinity”. Kyllä, matemaatikoille ääretön on laskettavissa, koska teoreettisesti voit aloittaa nollasta, laskea ylöspäin 1, 2, 3, 4, 5 … ja ”saavuttaa” ℵ₀ induktioaksion mukaan. On myös lukemattomia äärettömyyksiä, kuten ℵ₁, joka tunnetaan jatkuvuuden kardinaalisuutena tai reaalilukujen lukumääränä (olettaen, että jatkumahypoteesi on totta … tästä on jopa erilaisia mielipiteitä). Siellä on jopa koulu ajatellut ”äärettömistä” numeroista, jotka pystyvät käsittelemään lauseita, kuten ”kaksinkertainen koira uskallan sinut ääretön plus yksi kerta!”

Tervetuloa matematiikan kanin reikään. Olemme määritelleet sanan tarkoittavan jotain tässä. Se määritellään suhteessa aksioomien ryhmään. Pitävätkö nämä aksioomat ”tosielämässä”? Useimpien matemaatikkojen mielestä on kätevää olettaa tekevänsä. Tietokone, jolla luet tätä tänään kehitettiin käyttämällä monia laskennan malleja, ja kalkin juuret löytyvät syvältä äärettömyydestä (erityisesti sen käsite ”rajat”). Toistaiseksi tämä oletus on tehnyt meille melko hyvää. Onko tuo oletus ”totta?” Se on monimutkaisempi kysymys. On finitistisiä ajattelukouluja, jotka lähtevät olettamuksesta, että luonnollisten lukujen määrä on rajallinen, joka liittyy tavallaan ihmismielen tai maailmankaikkeuden rajalliseen kapasiteettiin tavalla tai toisella. Jos aika on rajallinen ja laskenta on rajallinen, niin teoreettisesti ei voida tietokoneella ”ääretöntä”, joten he väittävät, ettei sitä ole olemassa. Ovatko he oikeassa? No, kyllä … määritelmissään, aivan kuten vastakkainen väite on totta Peano-aksioomien ja joukko-teorian määritelmät. Molemmat voivat olla totta, koska ne kaikki määrittelevät sanan ”ääretön” tarkoittavan jotain, joka on aina niin hieman erilaista.

Lopputuloksena voi olla syytä hemmotella kielellistä valinta: ”Sanoimmeko siis, että luvut ovat äärettömiä?” Voimme sanoa suuren määrän asioita. Täyttävätkö nuo asiat totuuden ihanteen (itseään hyvin vaikea sana virallisesti kuvata), riippuu suuresti ihmisen henkilökohtaisista merkityksistä sanat. Jos hyväksyt valtavirran matematiikan antaman ”äärettömyyden” määritelmän, niin ”luvut ovat äärettömiä” on totta, kirjaimellisesti siksi, että valtavirran matematiikka määrittelee ”äärettömyyden” sellaisenaan. Jos hyväksyt finitistien antaman määritelmän, niin ”luvut ovat äärettömiä” on väärä, kirjaimellisesti, koska finitistit määrittelevät ”äärettömyyden” sellaisenaan. Voit valita oman määritelmän. Se voi olla jopa asiayhteys (ei ole harvinaista löytää kristittyjä matemaatikkoja, jotka määrittelevät ”äärettömyyden” uskonnossaan hiukan eri tavalla kuin he määrittelevät sen matematiikassa, ilman mitään haittavaikutuksia kahden hyvin samanlaisen käsitteen lisäksi, jotka sanassa on sama sana) .

Kommentit

• " on kokonaisia ajattelukouluja, jotka tutkivat lukemattomia lukuja ". Kukaan ei voi tutkia ääretöntä määrää numeroita, koska ne ovat äärettömiä. Tarvitset loputtoman määrän vuosia ja loputtoman määrän tutkijoita.
• Tämä vastaus sisältää mielestäni viattoman virheen. Jatkuvuuden kardinaalisuuden arvo on yksi joukko-teorian suurista tuntemattomista. ZFC ei ole tarpeeksi vahva vastaamaan arvon määrittämiseen. Jos sanotaan, että " c " on yhtä suuri kuin aleph-1, oletetaan jatkuvuushypoteesin totuus.

i Pidän todella tästä vastauksesta.Niin paljon kuin mitä sanomme sen olevan, kun vallitsee yleinen yhteisymmärrys, tämä vastaus menee vielä pidemmälle ja antaa erittäin nopeasti ja selkeästi matemaattisen kehyksen, jolla molemmat määrittelemme termit ja tarkemmin kuinka ääretön määritellään käyttämällä samaa. +1

• @NickR Kiitos saalista! Muokkaus on otettu käyttöön!
• @JohnAm Voit tutkia niitä rajallisessa ajassa, kunhan keskimäärin rajattomasti aikaa kuhunkin numeroon 😉 Se herättää kysymyksen siitä, kuinka perusteellisesti me tutkia joitain suurempia lukuja, ei ' t sitä!

On yleisesti hyväksyttyä, että luonnolliset luvut täyttävät Dedekind-Peano-aksiomit (yleensä vain nimetty Peanon mukaan, koska Dedekind jäykistyy). Nämä aksioomat tarkoittavat että luonnollisia lukuja on äärettömän paljon. Ja ei ole vaikea ymmärtää miksi: Suurinta luonnollista lukua n ei voi olla, koska n + 1 on suurempi luonnollinen luku.

Yleisemmin, vakio (ZFC) -aksiomit joukko-teoriaan voimme todistaa melko monien äärettömien joukkojen olemassaolon. Tämä on vähän vähemmän hyödyllistä sinun tarkoituksiisi, koska olemassaolo ääretön joukko on rakennettu ZFC: hen aksioomana, mutta koska ZFC on yleisesti hyväksytty matemaatikoiden ja filosofien mielestä se on syytä huomauttaa.