Okei, joten minulla on todellisia ongelmia erottaa Steady State -konsepti ja tasapainoinen kasvupolku tässä mallissa :
$$ Y = K ^ \ beta (AL) ^ {1- \ beta} $$
Minua on pyydetty johtamaan vakaan tilan arvot pääomalle efektiivistä työntekijää kohti :
$$ k ^ * = \ left (\ frac {s} {n + g + \ delta} \ right) ^ {\ frac {1} {1- \ beta}} $$
Pääoman ja tuotoksen vakaan tilan suhde (K / Y):
$$ \ frac {K ^ {SS}} {Y ^ {SS}} = \ frac {s} {n + g + \ delta} $$
Löysin molemmat näistä hienoista, mutta minua on myös pyydetty etsimään ”pääoman rajatuotteen vakaan tilan arvo, dY / dK ”. Näin tein:
$$ Y = K ^ \ beta (AL) ^ {1- \ beta} $$ $$ MPK = \ frac {dY} {dK} = \ beta K ^ {\ beta -1} (AL) ^ {1- \ beta} $$
Korvaamalla K vakaana olevaan tilaan (lasketaan, kun vakiotila määritetään edellä olevalle K / Y-suhteelle):
$$ K ^ {SS} = AL \ vasen (\ frac {s} {n + g + \ delta} \ oikea) ^ {\ frac {1} {1- \ beta}} $$
$$ MPK ^ {SS} = \ beta (AL) ^ {1- \ beta} \ vasen [AL \ vasen (\ frac {s} {n + g + \ delta} \ oikea) ^ {\ frac {1} {1- \ beta}} \ right] ^ {\ beta -1} $$
$$ MPK ^ {SS} = \ beta \ left (\ frac {s} {n + g + \ delta} \ right) ^ {\ frac {\ beta -1} {1- \ beta}} $$
Ensinnäkin minun on tiedettävä, onko tämä laskelma MPK: n vakaan tilan arvolle oikein?
Toiseksi minua on pyydetty luonnostelemaan pääoman ja tuotoksen suhteen ja pääoman rajatuotteen aikareitit taloutta varten, joka lähenee tasapainoista kasvupolkuaan ”alhaalta”.
Minulla on vaikeuksia ymmärtää tarkalleen, mikä tasapainoinen kasvupolku on, toisin kuin vakaa tila, ja kuinka laskelmien avulla selvitän miltä näiden kaavioiden pitäisi näyttää.
Anteeksi mammutti viesti, apua on erittäin arvostettu! Kiitos etukäteen.
Vastaus
Tällöin tarkkuusyritys aiheuttaa sekaannusta ja väärinkäsityksiä.
Tuolloin kasvumallit eivät sisällyttäneet teknistä kehitystä, ja ne johtivat pitkän aikavälin tasapainoon, jolle oli ominaista vakio asukasta kohti. Sanallisesti termi ”vakaa tila” näytti sopivalta kuvaamaan tällaista tilannetta.
Sitten tulivat Romer ja endogeeniset kasvumallit, jotka myös pakottivat vanhemmat mallit aloittamaan rutiinina ulkoiset kasvutekijät (väestön lisäksi). Ja ”yhtäkkiä” henkeä kohti lasketut ehdot eivät olleet vakioita pitkällä aikavälillä tasapainossa, mutta kasvaneet tasaisella nopeudella . Alun perin kirjallisuudessa kuvattiin sellainen tilanne ”vakaan tilan kasvunopeudessa”.
Sitten näyttää siltä, että ammatti ajatteli jotain ”on epätarkkaa käyttää sanaa” tasainen ”täällä, koska asukaskohtaiset suuruudet kasvavat. Tapahtuu, että kaikki suuruudet kasvavat tasapainoinen korko (ts. samalla nopeudella, joten niiden suhteet pysyvät vakioina). Ja koska ne kasvavat, he seuraavat polkua … ”Eureka !: termi” tasapainoisen kasvun polku ”syntyi.
… Ainakin opiskelijoiden turhautumiseen, joiden on nyt muistettava, että esimerkiksi ”satulapolku” on todellakin vaihekaavion polku , mutta ”tasapainoinen kasvupolku” on vain piste! (Koska voidaksemme todella piirtää vaihekaavion ja saavuttaa vanhan hyvän pitkän aikavälin tasapainon, ilmaisemme suuruudet tehokasta työntekijää kohti, ja näillä suuruuksilla on perinteinen vakaa tila. Mutta kutsumme sitä edelleen ”tasapainoiseksi kasvupoluksi”, koska asukaskohtaiset suuruudet, joista olemme kiinnostuneita, individualistisessa lähestymistavassa), kasvavat edelleen).
Joten ”tasapainoinen kasvupolku” = ”vakaa suuruusaste työvoimayksikköä kohti”, ja luulen, että voit selvittää loput vaiheistasi.
Vastaa
Seuraten keskustelua käyttäjän @denesp kanssa kommenttini edellisestä vastauksestani, minun on selvitettävä seuraava: tavanomainen graafinen laite, joka liittyy Solow-perusmalliin (katso esimerkiksi täällä , kuva 2 ) ei ole vaihekaavio, koska kohtuullisesti kutsumme ”vaihekaavioiksi” sellaisia, jotka sisältävät nollamuutoslokeja, tunnistamme niiden risteyskohdat dynamiikan kiinteiksi pisteiksi l järjestelmä ja tutkia niiden stabiilisuusominaisuudet. Ja tätä emme tee Solow-mallille. Joten se oli omasta puolestani huolimaton terminologian käyttö.
Siitä huolimatta voimme piirtää Solow-kasvumallille ”puolivaihekaavion” $ (y, k) $ -avaruudessa. Kun ymmärrämme symbolit ”työn tehokkuusyksikköä kohti”, meillä on differentiaaliyhtälöjärjestelmä (kun taas $ y = f (k) $)
$$ \ dot k = sy – (n + \ delta + g ) k $$
$$ \ dot y = f ”_k (k) \ cdot \ dot k $$ Kirjoittamalla nollamuutosyhtälö heikkona eriarvoisuutena osoittamaan myös dynaamisia taipumuksia, meillä on
$$ \ dot k \ geq 0 \ tarkoittaa y \ geq \ frac {n + \ delta + g} {s} k $$
$$ \ dot y \ geq 0 \ tarkoittaa \ dot k \ geq 0 $$
Joten tämä järjestelmä antaa yksittäisen nollamuutospaikan, suoran linjan. Ei risteyspisteitä kiinteän pisteen tunnistamiseksi Mitä voimme tehdä?Piirrä myös tuotantofunktio kaavioon, koska todellisuudessa $ (y, k) $ -väli on yksidimensionaalinen, ei alue, vaan viiva. Sitten saat
dynaamisia suuntauksia osoittavat pystysuuntaiset / vaakasuorat nuolet tulevat oikein yllä olevista heikoista eriarvoisuuksista (sekä $ y $ että $ k $ kasvavat yleensä nollamuutoskohdan yläpuolella). Sitten, koska $ y $ ja $ k $ pakotetaan liikkumaan katkoviivalla (mikä on tuotantofunktio), seuraa, että ne siirtyvät kohti kiinteää pistettään riippumatta siitä, mistä aloitamme. Tässä tuotantofunktiokaavio edustaa olennaisesti polkua kohti pitkän aikavälin tasapainoa, koska lähentyminen on yksitoikkoista.