Tausta: ystäväni harrastaa (kuten kuvittelen monien) yrittää ennustaa jääkiekon pudotuspelien tuloksia. Hän yrittää arvata voittavan joukkueen jokaisessa ottelussa ja voittoon tarvittavien pelien määrän (kenelle tahansa, joka ei tunne NHL-jääkiekkoa, sarja päätetään 7 parhaan joukosta). Hänen ennätyksensä tänä vuonna 3 pelikierroksen jälkeen (8 + 4 + 2 = 14 parasta 7 ottelusta) on 7 oikeaa / 7 väärää voittaneelle joukkueelle ja 4 oikeaa / 10 väärää pelien lukumäärälle (hän pitää vain oikeaa pelien lukumäärää) jos hän valitsi myös voittavan joukkueen).
Voimme vitsailla, että hän ei pärjää paremmin kuin sokea arvaus joukkueiden kysymyksestä, mutta että hän voittaa huomattavasti kertoimet, jos oletetaan, että todennäköisyydet 4, 5, 6 tai 7 pelisarjan kohdalla ovat yhtä suuret (odottaa 12,5%: n onnistumisastetta, hän on 28,5%: ssa).
Tämä sai meidät miettimään, mitkä kertoimet todella ovat jokaiselle mahdolliselle numerolle Luulen, että olen tehnyt sen, mutta haluan sitoa muutaman löysän pään, koska osa lähestymistapaani oli raakavoimainen kirjoitus suurelle paperille. Perusoletukseni on, että jokaisen pelin tulos on satunnainen todennäköisyydellä $ \ frac {1} {2} $ jokaisen joukkueen voittaessa.
Johtopäätökseni on seuraava:
$$ \ rm P (4 \; pelejä) = \ frac {2} {2 ^ 4} = 12,5 \% \\ P (5 \; pelejä) = \ frac {8} {2 ^ 5} = 25 \% \\ P (6 \; pelejä) = \ frac {20} {2 ^ 6} = 31.25 \% P (7 \; pelejä) = \ frac {40} {2 ^ 7} = 31.25 \% $$
Ohjasin analyysiani, joka perustui käsitykseen, että 4 pelisarjan todennäköisyyden tulisi olla $ \ frac {2} {2 ^ 4} $, analoginen kertoimen kanssa, että käännät 4 kolikkoa ja saat joko 4 kolikkoa. päät tai 4 häntää. Nimittäjiä oli tarpeeksi helppo selvittää sieltä. Sain osoittajat laskemalla ”laillisten” yhdistelmien määrän (WWLWWLL olisi laitonta, koska sarja päätetään viiden pelin jälkeen, viimeisiä 2 peliä ei pelata) tietyn pelimäärän tuloksia:
Possible 4 game series (2): WWWW LLLL Possible 5 game series (8): LWWWW WLLLL WLWWW LWLLL WWLWW LLWLL WWWLW LLLWL Possible 6 game series (20): LLWWWW WWLLLL LWLWWW WLWLLL LWWLWW WLLWLL LWWWLW WLLLWL WLLWWW LWWLLL WLWLWW LWLWLL WLWWLW LWLLWL WWLLWW LLWWLL WWLWLW LLWLWL WWWLLW LLLWWL Possible 7 game series (40): LLLWWWW WWWLLLL LLWLWWW WWLWLLL LLWWLWW WWLLWLL LLWWWLW WWLLLWL LWLLWWW WLWWLLL LWLWLWW WLWLWLL LWLWWLW WLWLLWL LWWLLWW WLLWWLL LWWLWLW WLLWLWL LWWWLLW WLLLWWL WLLLWWW LWWWLLL WLLWLWW LWWLWLL WLLWWLW LWWLLWL WLWLLWW LWLWWLL WLWLWLW LWLWLWL WLWWLLW LWLLWWL WWLLLWW LLWWWLL WWLLWLW LLWWLWL WWLWLLW LLWLWWL WWWLLLW LLLWWWL Mikä on ei-voimaton menetelmä osoittajien johtamiseksi? Luulen, että määritelmä voi olla rekursiivinen, jotta $ \ rm P (5 \; pelejä) $ voidaan määritellä muodossa $ \ rm P (4 \; pelejä) $ ja niin edelleen, ja / tai että se voi sisältää yhdistelmiä, kuten $ \ rm (todennäköisyys \; of;; vähintään \; vähintään \; 4/7 \; W) \ kertaa (todennäköisyys \; \; laillinen \; yhdistelmä \; \; 7 \ ; lopputulokset) $, mutta olen hieman jumissa. Alun perin ajattelin joitain ideoita, joihin sisältyi $ \ left (^ n_k \ right) $, mutta näyttää siltä, että se toimii vain, jos tulosten järjestyksellä ei ole väliä.
Mielenkiintoista on, että toinen yhteinen ystävä keräsi tilastoja seitsemästä pelisarjasta (NHL, NBA, MLB 1905-2013, 1220-sarja) ja keksi:
4 Game Series - 202 times - 16.5% 5 Game Series - 320 times - 26.23% 6 Game Series - 384 times - 31.47% 7 Game Series - 314 times - 25.73% Se on oikeastaan aika hyvä ottelu (ainakin tähtitieteilijän näkökulmasta!). Luulen, että ristiriita johtuu siitä, että jokaisen pelin lopputulos on puolueellinen kohti toisen tai toisen joukkueen voittoa (todellakin joukkueet kylvetään yleensä ensimmäisellä kierroksella niin, että johtava karsintaryhmä pelaa tuskin pätevää joukkuetta, toinen sija pelaa toiseksi viimeisenä, ja niin edelleen … ja suurin osa peleistä on ensimmäisellä kierroksella).
Kommentit
- En ole erityisen aktiivinen CV.SE-tiedostossa, joten tämä saattaa vaatia hieman uudelleentunnistamista.
Vastaa
joukkue voittaa [sarja] pelissä N, heidän on voitettava täsmälleen 3 ensimmäisistä N-1 peleistä. Seitsemän pelin pelaamiseen on $ \ binom {6} {3} = 20 $ tapoja. On olemassa 2 mahdollista tulosta seitsemälle pelille ja 20 mahdollista voittoyhdistelmää kullekin joukkueelle, joka voi voittaa, joten 40 mahdollista tulosta. N-sarjan sarjassa seitsemän parhaan sarjan loppu N peliä, mahdollisuuksien määrä on $ 2 \ binom {N-1} {3} $.
Tilauksella ei todellakaan ole väliä, i f olet jo antanut pelattujen pelien määrän. Vain viimeisellä pelillä on merkitystä, ja voittajalla on oltava 3 edellistä voittoa missä tahansa järjestyksessä.
Kommentit
- N-pelisarjan ei pitäisi ' t onko se $ 2 (^ {N-1} _ {{\ \ rm lattia} (N / 2)}) $, tai jotain sellaista? Olettaen, että pelejä on pariton määrä, mikä on vain järkevää.
- Käytin N: tä seitsemän parhaan pelattujen pelien määränä. Esimerkiksi. Jos arvo on N = 4, $ 2 \ binom {3} {3} = 2 $ antaa sinulle sarjan mahdollisia tapoja päättyä neljään peliin. eli. jokaiselle joukkueelle, kuinka monta tapaa valita 3 voittoa kolmesta pelistä.
- Kyllä, N-peleissä päätettyjen M-pelisarjojen mahdollisuuksien tulisi olla 2 dollaria \ binom {N-1} { \ mathrm {kerros} (M / 2)} $. Tämä toimii edelleen, jos ' s on parillinen määrä pelejä, jos sidottuja sarjoja ei pidetä päättyneinä.
- Jos olet realistinen, todennäköisyys voiton ei pitäisi olla 0,5 jokaiselle joukkueelle kutakin peliä kohden. Yksi esimerkki voi olla koti-jään etu.
- @MichaelChernick true, ja kosketan tätä hieman kysymyksen viimeisessä kappaleessa, mutta 0,5 lähtökohtana, jota voidaan myöhemmin säätää, on kohtuullinen .
vastaus
Vaihtoehtoinen tapa tarkastella olisi binomijakauma: Tarvitset x = 3 (täsmälleen 3 n = 6 (polut), joten jos pelin voittamisen todennäköisyys on .5 (molemmat joukkueet yhtäläisesti), binomi sanoisi P (x = 3) = 6C3 * (.5) ^ 3 * (.6 ) ^ 3 = .3125 Tämä tarkoittaisi 31,25% mahdollisuutta mennä 7 pelisarjaan. Ja todennäköisyys, jonka voitat 7. pelissä, seuraisi negatiivista binomia, kuinka monta polkua = 7 4 menestykselle, 7-1 C 4-1 * (.5) ^ 3 * (.5) ^ 4