Todiste heikommasta Baker-Campbell-Hausdorffin kaavasta [kaksoiskappale]

Ensinnäkin oletan rajalliset ulottuvuusoperaattorit: muuten sinun on tarkistettava tietyt operaattoreiden rajoitusehdot. Koska CBH-sarjaa katkaisevat katoavat kaksoiskommutaattorit, lineaaristen operaattoreiden ehdot esim $ \ mathbf {L} ^ 2 (\ mathbb {R}) $: ssa ovat lieviä.

Sinun on harjoiteltava toimintoja $ \ mathrm {Ad} $: lla. Etsi seuraava. Lie-ryhmässä $ \ mathfrak {G} $ algebralla $ \ mathfrak {g} $ polun tangenttivektori:

$$ \ sigma: \ mathbb {R} \ to \ mathfrak {G }; \; \ sigma (\ tau) = e ^ A \, e ^ {\ tau \, B} \, e ^ {- A}; \; A, \, B \ in \ mathfrak {g} \ tag {1} $$

identiteetillä on $ \ mathrm {Ad} (e ^ A) \, B = \ exp (\ mathrm {ad} (A)) \, B $. Tässä $ \ mathrm {Ad}: \ mathfrak {G} \ – GL (\ mathfrak {g}) $ on liitosesitys . Se on Lie-ryhmän homomorfismi yleisestä Lie-ryhmästä $ \ mathfrak {G} $ matriisin Lie-ryhmään $ GL (\ mathfrak {g}) $. Sen ydin on $ \ mathfrak {G} $ -keskus. Koska kyseessä on homomorfismi, meillä on $ \ mathrm {Ad} (\ gamma \, \ zeta) = \ mathrm {Ad} (\ gamma) \, \ mathrm {Ad} (\ zeta); \, \ kaikki \ gamma , \, \ zeta \ sisään \ mathfrak {G} $. Toinen hyödyllinen identiteetti on:

$$ \ begin {array} {lcl} \ mathrm {Ad} (e ^ A) \, B & = & \ exp (\ mathrm {ad} (A)) \, B \\ & = & B + \ mathrm {ad} (A) B + \ frac {\ mathrm {ad} (A) ^ 2} {2!} \, B + \ cdots \\ & = & B + [A, \, B] + \ frac {1} {2!} \, [A, \, [A, \, B]] + \ cdots \ end {array} \ tag {2} $$

ja tämä sarja on yleisesti yhteneväinen jos operaattori $ B \ mapsto [A, \, B] $ on sopivasti rajattu ( esim. $ \ vasen \ | [A, \, B] \ oikea \ | \ leq K (A) \, \ vasen \ | B \ oikea \ | $ joillekin $ K (A ) \ in \ mathbb {R} $ – tämä pätee varmasti rajallisiin ulottuvuuksiin).

Nyt (1) ja homomorfismi-ominaisuus ($ \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \) , A} \, e ^ {\ lambda \, B}) = \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, A}) \, \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, B}) $), huomaat, että:

$$ \ begin {array} {lcl} \ mathrm {d} _ \ lambda f & = & A \, e ^ {\ lambda \, A} \, e ^ {\ lambda \, B} \, e ^ {- \ lambda \, (A + B)} + e ^ {\ lambda \, A} \, B \, e ^ {\ lambda \, B} \, e ^ {- \ lambda \, (A + B)} – e ^ {\ lambda \, A} \, e ^ {\ lambda \, B} \, (A + B) \, e ^ {- \ lambda \, A + B)} \\ & = & \ vasen (A + e ^ {\ lambda \, A} \, B \, e ^ {- \ lambda \, A} – e ^ {\ lambda \, A} \, e ^ {\ lambda \, B} \, (A + B) \, e ^ {- \ lambda \, B} \, e ^ {- \ lambda \, A} \ oikea) \, e ^ {\ lambda \, A} \, e ^ {\ lambda \, B} \, e ^ {- \ lambda \, (A + B)} \\ & = & \ left (A + \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, A}) \ left (B- \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, B}) \, ( A + B) \ oikea) \ oikea) \, f \ end {array} \ tag {3} $$

Kaikki yllä olevat ovat täysin yleisiä. Sinun on erikoistuttava se katkaistuun tapaukseen. Joten käytä yleisesti yhtenevää (ja tässä lyhennettynä kahteen termiin) sarjaa (2) laajentaaksesi $ A + \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, A}) \ left (B- \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, B}) \, (A + B) \ oikea) $ ja katkaise se erityistapauksessasi, ja mielestäni sinun pitäisi edetä.

Pedanttinen kurkistus: vaikka molemmat nimen tilaukset ovat melko yleisiä, järjestys, joka heijastaa tarkasti historiallista etusijaa, on ”Campbell-Baker-Hausdorff”, koska kukin kirjoittajista antoi panoksensa vuosina 1897/1898 (Campbell), 1905 (Baker) ja 1906 (Hausdorff ). Kukin oli tietoinen edeltäjiensä ”työstä, mutta kuten Bourbakin (1960) Fascicule 16 Ch 1: ssä (1960) todettiin,” kukin piti edeltäjiensä esityksiä vakuuttamattomina (!) ”. Tämä lausunto saa minut aina kikahtelemaan ja lohduttaa, että minä ”En ole ainoa, jolla on noin 5%: n ymmärrysaste teknisen kirjallisuuden lukemisessa (luulen, että minun täytyy lukea paperi keskimäärin noin 20 kertaa” saamiseksi ”). Hauska tosiasia on, että kukaan näistä kolmesta ei todellakaan kehittänyt sarjaa. Sen sijaan he loivat lauseen, jonka mukaan sarja oli konvergenssi joissakin läheisyydessä $ \ mathbf {0} $ Lie-algebrassa ja käsittää vain lineaariset ja Lie-suluoperaatiot. Itse kaava johtuu Dynkinistä, ja se valmistui täysin vuonna 1947!

Kommentit

• kiitos paljon vastauksestasi! <