Säännöllisessä pentagrammassa (5-tähtinen tähti) kulma kussakin pisteessä on 36 astetta, joten kulmat kaikissa viidessä pisteessä summa 180 asteeseen:
Entä epäsäännöllinen pentagrammi, kuten seuraava?
Nyt kulmat saattavat kaikki poiketa toisistaan; tilanne on paljon monimutkaisempi. Voitteko todistaa, että kaikkien viiden pisteen kulmat silti summautuvat edelleen 180 asteeseen?
Rajoitukset (selväksi, että tämä ei ole matematiikan ongelma [toisin kuin matematiikkapulma] eikä laskennan tai edistyneen euklidisen geometrian harjoitus):
- ei aritmeettisia operaatioita sallittu (summaaminen, kertolasku, …)
- voit piirtää tähdelle yhden uuden viivasegmentin, mutta enempää kuin
Kommentit
- Anteeksi rand, mutta mielestäni tämä on vain yksi matemaattinen ongelma … (” todista ”, ” kulmat ”, ” summa ”, ” 180 astetta ”)
- @MarkN kanoninen metakirje tälle, matematiikan palapelin merkki ongelman sijaan on hav ea fiksu tai tyylikäs ratkaisu, usein ” aha ” hetki , odottamaton ongelma-ilmoitus , tai odottamaton tai väärä tulos . Mielessäni olevalla ratkaisulla on ehdottomasti ensimmäinen näistä ominaisuuksista ja IMO myös kahdesta viimeisestä.
- Tämä ei ole ’ ta matematiikkapeli – se ’ sa logiikkapulma. Opit tämän logiikan tavallisesti sellaiselta, joka opettaa myös matematiikkaa.
Vastaa
$ \ hskip 1.5in $ 
ole unelmoiva?
Tämä on kuva nuolesta, joka lakaisee kaikki peräkkäiset kulmat tähti. Huomaa, että kun se jäljittää kaikki $ 5 $ kulmat, sen suunta on päinvastainen, eli se on kiertänyt $ 180 ^ {\ circ} $ ja että tämän on oltava kulmien summa. Voimme tehdä saman asian kuvassasi olevalle tähdelle, ergo, myös sen kulmat ovat 180 dollaria ^ {\ circ} $.
Yleistys:
Voimme tehdä saman asian tällaiselle kuvalle, jonka kulmat ovat $ 180 ^ {\ circ} $: $ \ hskip 1.5 in $ 
Voimme tehdä tämän myös kolmioon. Tärkeä ominaisuus on tämä:
Tähden sisätiloissa ei saa olla kärkipisteitä kartioon, jonka säde kulkee. annettu kulma.
Tämän ehdon tyydyttäminen – mikä periaatteessa sanoo, että meidän ei tarvitse koskaan ”jättää” huomioimatta piikkejä, vaan vain kiertää nuolta ja nähdä, mitä se osumat – havaitsemme, että voimme järjestää pisteet ”myötäpäivään” siten, että kussakin kulmassa joko nuolen pää tai pyrstö astuu seuraavaan kärkeen järjestyksessä (ja ne vuorottelevat kumpaakin). On selvää, että sekä pää että häntä tekevät täydellisen kierroksen, kun on jäljitetty kaksi kertaa niin monta kulmaa kuin kärkipisteitä, mikä antaa halutun tuloksen.
(Voi myös ilmaista ehtoni, että ”pisteisiin osoitetaan numerot $ 1 $ $ 2n + 1 $: n kautta myötäpäivään keskipisteestä katsottuna on oltava, että $ 1 $ muodostaa yhteyden $ n $: iin ja $ n + 1 $: iin, ja kaikki muut pisteet on kytketty vastaavasti ”)
Kommentit
- (Lisäksi siitä, mitä se ’ arvoinen, pidin todella tästä palapelistä, vaikka vastaukseni ei olekaan tarkoitettu – minulla oli hyvä, ” No, että ’ s ilmeinen ” hetki, jota seurasi muutama tunti voimakasta pään raapimista yrittäen selvittää miksi se oli ilmeistä, jota seurasi ” Aha! Se oli ilmeinen! ”)
- Pidän sitä, että kommenttisi viittaa tähän vitsiin ? =)
- Hyväksytty, koska se ’ on vielä mukavampi kuin vastauksen, jota myös etsin, ja kattaa myös yleistämisen.
vastaus
Aseta kynä riville 1.
Kierrä kynääsi siten, että se on linjassa linjan 2 kanssa. Kierrät sitä vain vastapäivään pentagrammin yläosassa olevan kulman verran.
Kierrä nyt sitä taas vastapäivään viivalle 3. Sitten taas riville 4, sitten 5 ja lopuksi takaisin 1. Olet kiertänyt kynääsi pentagrammin kaikkien viiden kulman läpi järjestyksessä.
Ja mitä tapahtui? Kynä on nyt samalla linjalla, josta se aloitti, osoittaen vastakkaiseen suuntaan.Jos seuraat, mihin suuntaan lyijykynä osoittaa kussakin vaiheessa, voit nähdä, että kokonaisuutena kierrät sitä vastapäivään puoli kierrosta. Mistä $ 180 ^ \ circ $.
Kommentit
- Tämä on hieno todiste, jos nipistät sitä sulkeaksesi pois mahdollisuuden kiertää lyijykynällä jonkin muun $ 180 ^ \ circ $: n parittoman kerrannaisen läpi. Kun tämä heptagrammi , kynä osoittaa myös päinvastoin, mutta on kiertänyt $ 540 ^ \ circ $: n läpi
- referenssipentagrammi mihin tahansa epämuodostuneeseen pentagrammiin. Siten kierto ei voi siirtyä 180∘: n kerrannaisista toiseen.
- Pohjimmiltaan mikä tahansa $ \ {m: n \} $ – gramma, jossa $ n < \ frac m 2 $ kiertää 360 dollaria \ kertaa (\ frac m 2 – n) $ astetta.
- Hieno selitys Lopsy … yksinkertainen, puhdas 🙂 Aioin sanoa, ota 4 kulmaa ja visuaalisesti aloita niiden pienentäminen 0: ksi. mieti mitä tähti näyttää tällöin … viides kulma kasvaa jatkuvasti mukautumaan … kunnes 4 kulmaa on 0 ja viides on 180 (eli suora viiva) ..: ) Mutta pidän Lopsyn ’ selityksestä paremmin ..;)
- Tämän vastauksen kauneus on, että se ei ’ t lukea kuin matemaattinen todiste. Kuka tahansa voi ymmärtää sen.
Vastaa
Tässä on toinen todiste.
Tunniste pisteet kuvan osoittamalla tavalla ja piirrä viivasegmentti CD. Käytä A, B jne. osoittamaan kulmat, joiden summan pyydetään löytämään.
Nyt
$ \ angle ADC + \ angle DCA + A = 180 ^ \ circ $ (kulmat kolmiossa)
Joten riittää todistaa, että
$ \ kulma ADC + \ kulma DCA = B + C + D + E $
Nyt
$ \ kulma ADC = D + \ kulma BDC $ ja $ \ kulma DCA = C + \ kulma ECD $
Joten riittää todistaa, että
$ \ kulma BDC + \ kulma E CD = B + E $
mikä on tietysti totta, koska
LHS on $ \ angle DFC $ -lisäosa ja RHS on $ \ angle EFB $ -lisäosa , jossa $ \ angle DFC $ ja $ \ angle EFB $ ovat yhtä suuret, koska ne ovat vertikaalisesti vastakkaisia .
Kommentit
- Tätä etsin vastausta.
- Joten voit tislata tämän ratkaisun kahteen sääntöön: kulmat kolmioissa = 180 ja kahden leikkaavan viivan vastakulmat ovat yhtä suuret.
- @randal ’ thor Tähän ratkaisuun sisältyy myös lisäys, joten se ei olisi rajoitusten mukainen, tai sinun tulisi muuttaa rajoituksiasi.
- Joo, sanoin, että tämä ei ole -the- mutta yksi matematiikasta – vastauksia täällä. Aritmeettisen arvon puuttuminen ei tarkoita sitä, että se ei ole ’ t matematiikkaa …
Vastaa
Viisikulmion sisäkulmien summa on aina 540 °.
Kunkin ulkopisteen kulma on aina kahden vierekkäisen sisäkulman summa – 180 °. Voimme sanoa tämän, koska kun otetaan huomioon sisäiset kulmat A ja B, kolmion kulmat ovat 180 – A, 180 – B, X. Kolmion kulmien määritelmän mukaan X on yhtä suuri kuin $ 180 – (180 – A) – ( 180 – B) = A + B – 180 $.
Jokaista viisikulmion sisäkulmaa käytetään kahdesti, ja pisteitä on 5, joten $ (2 \ kertaa 540) – (5 \ kertaa 180) = 180 ° $
Kommentit
- Uskon, että tämä on luokan 9 geometria, joka kohtaa päänsä …
- Tämä on monimutkaisempaa kuin ajattelin todisteita. Voin muokata kysymystä rajoittaakseni mahdollisia todisteita hieman enemmän, mutta annan silti sinulle + 1-merkinnän ’. Voisitko perustella toisen lauseesi? En myöskään ymmärrä ’ sitä, mitä kolmas lause sanoo.
- Jos annamme A: n ja B: n olla kaksi vierekkäisen vierekkäisen sisäkulmaa, niin kolmion piste on 180 – (180-A + 180-B) = A + B – 180
- +1 Hieno todiste, mutta olisi hienoa, jos voisit käyttää kuvaa tai 2, tai jopa gif!
- Mielestäni ’ on mahdollista yleistää tämä todiste osoittamaan, että kulmat minkä tahansa
n -gramman summa on $ 180 ^ \ circ $ edellyttäen, että muoto yhdistää jokaisen pisteen kahteen vierekkäiseen pisteeseen n -gonissa.(Huomaa, että yksisuuntainen heksagrammi ei ’ t täytä yhteyskriteeriä; eikä myöskään kahdesta kolmiosta muodostuva heksagrammi; ja vain yksi kahdesta yksisuuntaisesta heptagrammasta.)
Vastaus
Tässä on toinen siisti todiste, tällä kertaa induktiolla. Voimme tehdä pentagrammin aloittamalla tavallisella ja neljän pisteen siirtäminen peräkkäin. Riittää siis todistaa, että
pisteen siirtäminen pentagrammassa ei muuta kulmien summaa pisteet
Anna ”s
siirtää piste A A: han ja soittaa sekä A- että A-kulma ”yläkulma
Saamme tämän:
Riittää todistaa, että
yläkulman muutos ja kulman muutokset C: n ja D: n summa on nolla.
Tässä uudessa kaaviossa
näytämme
yläkulman muutos muodossa $ xw $ ja muutosten kohdissa D ja C muodossa $ -y $ ja $ z $,
ja meidän on todistettava, että
$ xw-y + z = 0 $ tai toisin sanoen, että $ x + z = w + y $,
mikä on selvää, kuten aiemmin, koska
LHS ja RHS ovat täydennyksiä pystysuoraan vastakkaisiin kulmiin G: ssä.
Vastaus
Toinen lähestymistapa:
Alkaen tavallisesta tähdestä, tiedämme, että $ A + B + C + D + E = 180 ^ {\ circ} $. Piirretään nyt s: n viivasegmentti kaavion mukaisesti.
Huomaa, että $ B, D, E $ pysyy muuttumattomana! Havaintojemme perusteella näemme, että $ Y = C – X $ ja $ Z = A + X $.
Siten uuden tähtemme $ ZBYDE = Z + B + pisteiden summa Y + D + E = (A + X) + B + (CX) + D + E = 180 ^ {\ circ} $.
Joten voimme jatkaa segmenttien piirtämistä ja uusien tähtien luomista (ja skaalaa uudelleen) niitä), kunnes saavutamme halutun muodon.
Kommentit
- Hyvää, mutta voisitko ehkä lisätä jotain, jotta sen tekeminen olisi intuitiivisempaa yleinen epäsäännöllinen pentagrammi yhden pisteen liikkeillä yhden pisteiden läpi kyseisen pisteen läpi ja skaalaus.
- Voisin yrittää, jos vain geometria ei vahingoittanut ’ aivoni niin paljon D:
vastaus
On väistämätöntä, että jotkut aritmeettinen on tehtävä – lopputulos on loppujen lopuksi kvantitatiivinen – joten haasteen ei pitäisi olla t o piilota aritmeettinen eikä myöskään kutsua sitä jollakin muulla nimellä, vaan jotta se olisi ilmeinen ja yksinkertainen. Seuraava argumentti vähentää aritmeettista havaitsemalla, että viisi on yksi enemmän kuin neljä (ja että kokonaisuus on kaksi kertaa puoli, tosiasia käytetään ohimennen).
Tähti pyörii kahdesti keskipisteensä ympärillä, ja siksi jokaisen sen läpi kulkevan on käännettävä kaksi täyttä ympyrää (neljä puoliympyrää). Kaikki käännökset tapahtuvat vain kärkipisteissä, joissa enimmäismäärä on ympyrän puolikkaan täydellinen kasvot. Viiden kärjen kohdalla, jotka olisivat viisi puoliympyrää tai yksi enemmän puoliympyrää kuin todella käännetään: 180 astetta. Tämän maksimin ja toteutuneen kääntymismäärän välinen puute on täsmälleen sisäkulmien summa, QED.
Tätä lähestymistapaa käytetään modernissa (ts. 1700-luvun jälkeisessä) matematiikassa. Se yleistää mielivaltaisiin lukuihin, jotka on piirretty mielivaltaisista ulottuvuuksista, jotka on piirretty muihin kuvioihin, jotka itse voivat olla kaarevat. Se tunnetaan nimellä Gauss-Bonnet-lause .
Vastaus
On olemassa ympyräpohjainen lause, jonka mukaan ”kirjoitetun kulman mitta on puolet sen kaaren mitasta, jonka se kaappaa.” Tämä tarkoittaa, että kulmalle x sen kaareva kaari on 2x . 
Jos kirjoitat tähden ympyrään, saat tämän:
Tunnistamalla edellisen piirustuksen saat tämän;
Tällä lauseella tiedämme, että kulma ∠1 = c / 2, ∠2 = d / 2, ∠3 = e / 2, ∠4 = a / 2, ja ∠ 5 = b / 2. Jos jaamme sen, saat ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = (a + b + c + d + e) / 2 . Lisäksi, koska ympyrän kaikkien kaarien mitat ovat yhteensä 360, tiedämme, että a + b + c + d + e = 360 . Lopuksi korvausominaisuutta käyttämällä saadaan ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360/2 tai ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 180 . Siten kaikkien kulmien summa on 180.
kommentit
- ’ on yksi virhe argumentissasi: kaikkia pentagrammeja ei voi merkitä sisään ympyrä.
- @ThomasKwa Voitteko antaa minulle esimerkin?
- @ user1812 siirrä vain yksi esimerkkisi piste ympyrään tai siitä pois. Ympyrän määrittelyyn tarvitaan vain kolme pistettä, ja pentagrammissa on viisi.
Vastaa
Tämä todiste järki ei ole muuta kuin kulmien asteen laskeminen.
Muistakaa, että viisikulmion, riippumatta siitä, onko se säännöllinen vai epäsäännöllinen, sisäiset kulmat ovat 540. Lisäksi kahden suoran leikkauspisteen kulmat ovat 360, missä myös vastakkaiset kulmat ovat yhtenevät.
Tarkastellaan viisikulmion 5 pistettä, pisteitä, joissa tapahtuu kahden viivan leikkauspiste. Näiden viiden pisteen ympärillä on yhteensä 360 x 5 = 1800 astetta ja 5 x 4 = 20 laskettavaa kulmaa.
20 kulmasta 5 on viisikulmioita, 5 muuta on yhtenevä niille. Joten tämä on 540 + 540 = 1080 astetta. 1800 – 1080 = 720 asteen jäännökset tulevat viiden kolmion sisältä.
5 kolmiota sisältää 5 x 180 = 900 astetta sisäkulmia. 720 näistä asteista on viisikulmion / kolmion / risteyksen kulmissa.
Tämä lähtee tähden kärjistä 900 – 720 = 180 astetta.
Muokkaa: Aritmeikka on yksinkertaisesti kulman lyhenne. summaus ja vähennys, sama kuin muissa vastauksissa.
Vastaus
Keski-Pentagon muodossa A, B, C, D , E sisältää 540 astetta.
Yhteenveto 5 PARIN lisäkulmasta eli. 2 (180-A) +2 (180-B) +2 (180-C) +2 (180-D) +2 (180-E) = 1800 2 (540) = 720 Tämä 720 astetta edustaa ”emästä” viiden kolmion kulmat, jotka ovat yhteensä 5 * 180 = 900 900-720 = 180 (5 kulmaa, jota haetaan.
Viisi pisteessä olevaa kolmiota on 5 * 180 = 900
Kommentit
- Kysymys pyytää nimenomaan todistamaan sen ilman aritmeettisia operaatioita.