Un échantillon dun processus aléatoire est donné comme suit:
$$ x (t) = A \ cos (2 \ pi f_0t) + Bw (t) $$
où $ w (t) $ est un processus de bruit blanc avec une moyenne de $ 0 $ et une densité spectrale de puissance de $ \ frac {N_0} {2 } $, et $ f_0 $, $ A $ et $ B $ sont des constantes. Trouvez la fonction dauto-corrélation.
Voici ma tentative de solution:
Soit $ a = 2 \ pi f_0t $, et $ b = 2 \ pi f_0 (t + \ tau) $
\ begin {align} \ text {Autocorrélation de} x (t) & = E \ left \ {x (t) x ( t + \ tau) \ right \} \\ & = E \ left \ {\ left (A \ cos (a) + Bw (t) \ right) \ left (A \ cos (b) + Bw (t + \ tau) \ right) \ right \} \\ & = E \ {A ^ 2 \ cos (a) \ cos (b) + AB \ cos (a) w (t + \ tau) + AB \ cos (b) (wt) \\ & \ quad + B ^ 2w (t) w (t + \ tau) \} \\ & = E \ left \ {A ^ 2 \ cos (a) \ cos (b) \ right \} + E \ left \ {AB \ cos (a) w (t + \ tau) \ droite \} + E \ gauche \ {AB \ cos (b) (wt) \ droite \} \\ & \ quad + E \ gauche \ {B ^ 2w (t) w (t + \ tau) \ droite \} \\ & = E \ gauche \ {A ^ 2 \ cos (a) \ cos (b) \ droite \} + E \ gauche \ {B ^ 2w (t) w (t + \ tau) \ droite \} \\ & = E \ gauche \ {A ^ 2 \ cos (a) \ cos (b) \ right \} + B ^ 2 \ left (R_w (\ tau) \ right) \\ & = E \ gauche \ {A ^ 2 \ cos (a) \ cos (b) \ right \} + B ^ 2 \ left (\ frac {N_0} {2} \ right) ( \ delta (\ tau)) \\ \ end {align}
Les termes despérance avec le bruit en eux sont tous égaux à $ 0 $ (le dernier nest que lauto-corrélation du bruit blanc … doù la simplification au dessus. Utilisation des identités trigonométriques: $$ \ cos (a) \ cos (b) = \ frac 12 \ left [\ cos (a + b) + \ cos (a – b) \ right] $$
nous avons:
\ begin {align} \ text {Autocorrélation de} x (t) & = E \ left \ {A ^ 2 \ cos (a ) \ cos (b) \ right \} + B ^ 2 \ left (\ frac {N_0} {2} \ right) (\ delta (\ tau)) \\ & = E \ gauche \ {\ gauche (A ^ 2 \ droite) \ frac 12 \ gauche [\ cos (a + b) + \ cos (ab) \ droite] \ droite \} + B ^ 2 \ gauche (\ frac {N_0} {2} \ right) (\ delta (\ tau)) \\ & = \ left (\ frac {A ^ 2} {2} \ right) \ left [E \ {\ cos (a + b) \} + E \ {\ cos (ab) \} \ right] + B ^ 2 \ left (\ frac {N_0} {2} \ right) (\ delta (\ tau)) \\ \ end {align}
Nous avons affaire à des termes constants, donc le terme dattente disparaît et en remplaçant nos conditions initiales, nous obtenons: $$ \ frac {A ^ 2} 2 \ gauche [\ cos (2 \ pi f_o (2t + \ tau) + \ cos (2 \ pi f_o \ tau) \ droite] + B ^ 2 \ gauche (\ frac {N_0} {2} \ droite) (\ delta (\ tau)) $$
Pour une raison quelconque, je ne peux pas mempêcher de penser que jai fait quelque chose de mal en calculant cette autocorrélation … cest censé être une fonction de $ \ tau $, mais a un $ t $ est là-dedans … Japprécierais beaucoup que quelquun puisse me diriger dans la bonne direction ou mexpliquer ce que jai raté. Je ne sais pas si cela compte, mais dans cette classe, nous ne traitons que des processus stationnaires au sens large.
Commentaires
- Sauf si vous êtes sûr que le processus aléatoire $ x (t) $ est WSS, vous ne devriez pas vous attendre à ce que son ACF soit une fonction de $ \ tau $ uniquement. Il semble donc correct dinclure ici les termes de temps $ t $. Mais je pense que le terme cosinus à lintérieur de $ x (t) $ peut inclure une amplitude aléatoire ou une phase aléatoire que vous oubliez de taper, alors vous aurez peut-être une chance de vous débarrasser de lélément temps $ t $ si vous le souhaitez so …
- Le processus $ \ {A \ cos (2 \ pi f_0t) \} $ est un processus cyclostationnaire (satisfait aux exigences de stationnarité pour ces décalages sont des multiples de $ (2 \ pi f_0) ^ {- 1} $) et pas du tout un processus WSS. Notez, par exemple, que même la fonction moyenne $ E [x (t)] $ nest pas une constante comme elle devrait lêtre pour un processus WSS. Comme le dit @ Fat32 (+1), vous avez peut-être oublié dinclure une phase aléatoire $ \ Theta $ dans votre définition $ x (t) $ (la propriété nécessaire pour la stationnarité WS est que $ E [\ cos (2 \ Theta) ] = E [\ sin (2 \ Theta)] = 0 $ qui vaut pour $ \ Theta \ sim U (0,2 \ pi) $ ou $ P \ {\ Theta = n \ pi / 2 \} = \ frac 14 $ pour $ n = 0,1,2,3 $).
Réponse
Je suppose que vous « Jai presque tout fait correctement, mais jai un problème avec le calcul de la valeur despérance concernant $ t $. Vous devriez calculer la valeur despérance de la fonction cosinus. Malheureusement, elle ne » disparaît « pas simplement comme vous lavez écrit.
Consultez la page Wikipédia . Vous y trouverez une autre formule, plus explicite, pour la fonction dautocorrélation dune fonction $ f (t) $:
$ R _ {\ textrm {ff}} (\ tau) = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ \ infty f (t + \ tau) \ bar {f} ( t) \, \ textrm {d} t $.
(Notez que par rapport à la page Wikipédia, jai pris la liberté dutiliser la variable $ t $ dans lintégration au lieu de $ u $, whi ch serait la version mathématiquement la plus précise.)
Comme vous pouvez le voir à partir de cette équation, vous « intégrez » la dépendance sur t, et en effet vous devriez vous retrouver avec une fonction indépendante de $ t $.
Notez quil existe aussi une version qui ne va pas à des temps infinis, mais qui est contrainte à une période $ T $. Peut-être que cette version est plus appropriée dans votre cas.Cependant, il en va de même pour cette version: $ t $ est intégré et ne doit pas être une variable dans la formule résultante.
Commentaires
- Vous mélangent deux notions différentes lorsque vous écrivez » Comme vous pouvez le voir dans cette équation, vous » vous intégrez » la dépendance sur $ t $, et en effet vous devriez vous retrouver avec une fonction indépendante de $ t $ »
- Vous pouvez prenez aussi la formule de la page Wikipedia sans $ t $ et écrivez $ R_ \ textrm {ff} (\ tau) = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ \ infty f (u + \ tau) \ bar {f} ( u) \, \ textrm {d} u $. Limportant ici est dans les deux cas que largument de la fonction $ f $ est t et est intégré sur – par conséquent, vous navez plus le $ t $ dans le résultat final, mais seulement $ \ tau $.
- @Dilip Vous pouvez également jeter un œil ici ocw.mit.edu/courses/mechanical-engineering/… – cest essentiellement le premier résultat après une simple recherche sur google. Là, à la page 22-2 (page 3 dans le PDF) est un exemple pour une fonction dautocorrélation, qui a été calculée par cette formule et est indépendante de $ t $. Vous pouvez également trouver la notation intégrale mathématiquement pas si saine sur la page précédente.
- Loin de moi lidée de remettre en question la validité dune formule que vous prétendez être trouvée sur Wikipedia ou est enseigné dans un cours en ligne du MIT, mais il me semble que dans \ begin {align} 2 \ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ cos (2 \ pi f_0t) \ cos (2 \ pi f_0 (t + \ tau)) dt & = \ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ cos (2 \ pi f_0 (2t + \ tau)) + \ cos (2 \ pi f_0 \ tau ) dt \\ & = \ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ cos (2 \ pi f_0 (2t + \ tau)) dt + \ int _ {- \ infty} \ infty \ cos (2 \ pi f_0 \ tau) dt \ end {align} cette seconde intégrale sur cette seconde ligne (dont lintégrale est une constante wrt $ t $) diverge à moins que $ \ tau $ ait une valeur telle que $ \ cos (2 \ pi f_0 \ tau) = 0 $.
- @Dilip Vous avez raison, cette intégrale diverge. Même la première intégrale na pas de sens, car elle ne converge pas. Pour cette raison, il y a le dernier paragraphe de ma réponse.