La question qui ma été posée est:
Les atomes dargent dans un réseau métallique ne remplissent que 88 $ \, \% $ de lespace ($ 12 \, \% $ est vide). La densité de largent est de 10,5 $ \ \ mathrm {g \ cdot cm ^ {- 3}} $. En supposant que les atomes dargent sont des sphères dures ($ V = \ tfrac43 \ cdot \ pi \ cdot r ^ 3 $, quand $ r $ est le rayon atomique), quel est le rayon dun atome dargent? Donnez la réponse en unités de 10 $ ^ {- 12} $ mètres.
La masse atomique de $ \ ce {Ag} $ est de 107,8682.
Ma solution:
$$ V = 0.88 \ times V $$
$$ V = \ frac {0.88 \ times10.5 \ times6.022 \ times10 ^ {23}} {107.8682} = 5.158 \ times10 ^ {22} \ \ mathrm {cm ^ 3} $$
$$ V = \ frac43 \ cdot \ pi \ cdot r ^ 3 \ Rightarrow r = \ left (\ frac34 \ cdot \ frac V \ pi \ right) ^ {1/3} $$
Puis je suis passé aux $ 10 ^ {12} $ mètres, le résultat était de 4,953 $ \ times10 ^ {17 } $ et ce nest pas correct. Quest-ce que je fais mal?
Commentaires
- Jai ' ajouté les informations sur la masse atomique de $ \ ce {Ag} $ afin de clarifier pour vous et pour les autres les informations dont vous ' aurez besoin pour résoudre le problème.
- en fait Ag cristallise dans FCC et les sphères se remplissent $$ \ dfrac {\ pi} {3 \ sqrt {2}} \ approx 0.74048 $$
Answer
Si vous aviez inclus les unités dans votre calcul, vous auriez remarqué pourquoi votre équation nest pas correcte.
Masse molaire $ M $ est défini comme $$ M = \ frac mn \ tag1 $$ où $ m $ est la masse et $ n $ est la quantité de substance.
Depuis la constante dAvogadro $ N_ \ mathrm A $ est $$ N_ \ mathrm A = \ frac Nn \ tag2 $$ où $ N $ est le nombre de particules, la masse $ m $ dun atome $ (N = 1) $ est $$ m = \ frac M {N_ \ mathrm A} \ tag3 $$
Densité $ \ rho $ est défini comme $$ \ rho = \ frac mV \ tag4 $$ où $ V $ est le volume.
Ainsi, le volume dun échantillon est $$ V = \ frac m \ rho \ tag5 $$ Utilisation de léquation $ \ text {(3)} $ , le volume $ V $ peut être calculé pour un seul atome: $$ V = \ frac M {N_ \ mathrm A \ cdot \ rho} \ tag6 $$
En supposant quune fraction de $ 88 \, \% $ du volume $ V $ est rempli dune sphère dure, le volume $ V_ \ text {sphère} $ de la sphère est $$ \ begin {align} V_ \ text {sphère} & = 0,88 \ fois V \ tag7 \\ [6pt] & = 0,88 \ times \ frac M {N_ \ mathrm A \ cdot \ rho} \ tag8 \ end {align} $$
Puisque le volume dune sphère est $$ V_ \ text {sphère} = \ frac43 \ pi r ^ 3 \ tag9 $$ où $ r $ est le rayon de la sphère, le rayon $ r $ est $$ \ begin {align} r & = \ sqrt [3] {\ frac {3V_ \ text {sphère}} {4 \ pi}} \ tag {10} \\ [6pt] & = \ sqrt [3 ] {\ frac {3 \ times0.88 \ times M} {4 \ pi \ cdot N_ \ mathrm A \ cdot \ rho}} \ tag {11} \\ [6pt] & = \ sqrt [3] {\ frac {3 \ times0.88 \ times 107.86820 \ \ mathrm {g \ mol ^ {- 1}}} {4 \ pi \ times 6.02214076 \ times10 ^ {23} \ \ mathrm {mol ^ {- 1}} \ times 10,5 \ \ mathrm {g \ cm ^ {- 3}}}} \\ [6pt] & = 1,53 \ times10 ^ {- 8} \ \ mathrm {cm} \\ [6pt] & = 1,53 \ times10 ^ {- 10} \ \ mathrm m \\ [6pt] = 153 \ times10 ^ {- 12} \ \ mathrm m \\ \ end {align} $$