Cinq angles dans une étoile

$ \ hskip 1.5in $

Placez votre crayon sur la ligne 1.

Faites pivoter votre crayon pour quil saligne sur la ligne 2. Vous venez de le faire pivoter dans le sens antihoraire de langle en haut du pentagramme.

Maintenant, faites-le pivoter à nouveau dans le sens antihoraire sur la ligne 3. Puis à nouveau sur la ligne 4, puis sur 5, et enfin de nouveau à 1. Vous venez de faire tourner votre crayon sur les cinq angles du pentagramme dans lordre.

Et que sest-il passé? Le crayon se trouve maintenant sur la même ligne où il a commencé, pointant dans la direction opposée.Si vous suivez la direction dans laquelle le crayon pointe à chaque étape, vous pouvez voir quau total, vous lavez fait pivoter dun demi-tour dans le sens antihoraire. Doù, 180 $ ^ \ circ $.

Commentaires

• Ce sera une belle preuve si vous le modifiez pour exclure la possibilité que vous ayez fait pivoter le crayon à travers un autre multiple impair de 180 $ ^ \ circ $. Avec cet heptagramme , le crayon finit également par pointer dans le sens inverse mais a tourné de 540 $ ^ \ circ $
• Il y a une déformation continue de le pentagramme de référence à tout pentagramme déformé. Ainsi, la rotation ne peut pas sauter dun multiple de 180∘ à un autre.
• Fondamentalement, tout $ \ {m: n \} $ – gramme où $ n < \ frac m 2 $ tourne $ 360 \ fois (\ frac m 2 – n) $ degrés.
• Belle explication Lopsy … simple, propre 🙂 Jallais dire, prenez 4 angles et visuellement commencez à les réduire à 0 .. pensez à ce à quoi ressemble létoile au fur et à mesure que cela se produit … le 5ème angle continue de croître pour sadapter … jusquà ce que 4 angles soient à 0 et le 5ème à 180 (soit une ligne droite) .. ) Mais jaime mieux lexplication de Lopsy ‘ ..;)
• La beauté de cette réponse est quelle ne ‘ t se lit comme une preuve mathématique. Tout le monde peut le comprendre.

Voici une autre preuve.

Libellé les points comme indiqué, et dessinez le CD du segment de ligne. Utilisez A, B, etc. pour désigner les angles dont nous sommes invités à trouver la somme.

Maintenant

$ \ angle ADC + \ angle DCA + A = 180 ^ \ circ $ (angles dans un triangle)

Il suffit donc de prouver que

$ \ angle ADC + \ angle DCA = B + C + D + E $

Maintenant

$ \ angle ADC = D + \ angle BDC $ et $ \ angle DCA = C + \ angle ECD $

Il suffit donc de prouver que

$ \ angle BDC + \ angle E CD = B + E $

ce qui est évidemment vrai car

le LHS est le supplément de $ \ angle DFC $ et le RHS est le supplément de $ \ angle EFB $ , où $ \ angle DFC $ et $ \ angle EFB $ sont égaux car opposés verticalement .

Commentaires

• Voici la réponse que je cherchais.
• Donc, à peu près, vous pouvez distiller cette solution en 2 règles: les angles dans les triangles = 180 et les angles opposés de 2 lignes qui se croisent sont égaux.
• @randal ‘ thor Cette solution implique également des ajouts, donc ne serait pas conforme à vos restrictions, ou vous devriez modifier vos restrictions.
• Oui, jallais dire que ce nest pas -le- mais lun des plus mathématiques -ish réponses ici. Labsence darithmétique ne signifie pas quelle nest pas ‘ t maths …

La somme des angles intérieurs dun pentagone est toujours de 540 °.

Langle de chaque point extérieur est toujours la somme des deux angles intérieurs adjacents – 180 °. On peut dire cela puisque, étant donné les angles internes A et B, les angles du triangle sont 180 – A, 180 – B, X. Par définition des angles dun triangle, X est égal à 180 $ – (180 – A) – ( 180 – B) = A + B – 180 $.

Chaque angle intérieur du pentagone est utilisé deux fois, et il y a 5 points, donc $ (2 \ fois 540) – (5 \ fois 180) = 180 ° $

Commentaires

• Je crois que cest une géométrie de 9e année qui fait son apparition …
• Cest plus compliqué que la preuve à laquelle je pensais. Je peux modifier la question pour restreindre un peu plus les preuves possibles, mais je ‘ vous donnerai toujours un +1. Pouvez-vous justifier votre deuxième phrase? Je ne comprends pas ‘ ce que dit la troisième phrase.
• Si nous considérons A et B deux angles intérieurs adjacents du pentagone, alors l’angle de le point dans le triangle est 180 – (180-A + 180-B) = A + B – 180
• +1 Belle preuve, mais ce serait cool si vous pouviez utiliser une photo ou 2, ou même un gif!
• Je pense quil ‘ est possible de généraliser cette preuve pour montrer que les angles aux points de tout n -gram somme à 180 $ ^ \ circ $ à condition que la forme relie chaque point à deux points adjacents sur le n -gon.(Notez que lhexagramme unicursal ne ‘ t satisfait pas le critère de connexion; ni lhexagramme formé de deux triangles; et un seul des deux heptagrammes unicursaux le fait.)

Voici une autre preuve intéressante, cette fois par récurrence. On peut faire le pentagramme en commençant par le régulier et déplacer successivement quatre des points. Il suffit donc de prouver que

déplacer un point dans un pentagramme ne change pas la somme des angles au points

Laissez « s

déplacer le point A vers A » et appeler à la fois langle en A et langle en A « langle supérieur

Nous obtenons ceci:

Il suffit de prouver que

le changement de langle supérieur et les changements de langle es en C et D sadditionnent à zéro.

Sur ce nouveau diagramme

nous montrons

le changement de langle supérieur en $ xw $ et les changements en D et C en $ -y $ et $ z $,

et nous devons prouver que

$ xw-y + z = 0 $, ou en dautres termes, que $ x + z = w + y $,

ce qui est évident, comme avant, car

LHS et Les RHS sont les compléments dangles verticalement opposés à G.

Autre approche:

En commençant par létoile régulière, nous savons que $ A + B + C + D + E = 180 ^ {\ circ} $. Maintenant, dessinons un segment de ligne comme indiqué dans le diagramme.

Notez que $ B, D, E $ De nos observations, nous voyons que $ Y = C – X $ et $ Z = A + X $.

Ainsi la somme des points de notre nouvelle étoile $ ZBYDE = Z + B + Y + D + E = (A + X) + B + (CX) + D + E = 180 ^ {\ circ} $.

Nous pouvons donc continuer à dessiner des segments et créer de nouvelles étoiles (et redimensionner eux) jusquà ce que nous atteignions la forme souhaitée.

Commentaires

• Bien, mais pouvez-vous peut-être ajouter quelque chose pour le rendre plus intuitif que vous pouvez faire un pentagramme irrégulier général par une séquence de mouvements dun point le long de lune des lignes passant par ce point et des redimensionnements.
• Je pourrais essayer si seule la géométrie ne ‘ faisait mal mon cerveau tellement D:

Il est inévitable que certains larithmétique doit être faite – la conclusion escomptée est une conclusion quantitative, après tout – donc le défi ne devrait pas être t o cache larithmétique, ni pour lappeler par un autre nom, mais pour la rendre évidente et simple. Largument suivant réduit larithmétique à observer que cinq est un plus que quatre (et quun tout est deux fois la moitié, un fait utilisé au passage).

Létoile senroule deux fois autour de son centre, et donc quiconque la traverse devra faire deux cercles pleins (quatre demi-cercles). Tout retournement se produit uniquement aux sommets, où le montant maximum est une demi-face complète dun demi-cercle. Pour cinq sommets, ce serait cinq demi-cercles, ou un demi-cercle de plus que ce qui est réellement tourné: 180 degrés. Le décalage entre ce maximum et la quantité de virage réellement réalisée est précisément la somme des angles intérieurs, QED.

Cette approche est celle des mathématiques modernes (cest-à-dire post-XVIIIe siècle). Il se généralise à des figures arbitraires de dimensions arbitraires dessinées dans dautres figures qui peuvent elles-mêmes être courbées. Il est connu sous le nom de Théorème de Gauss-Bonnet .

Il existe un théorème basé sur le cercle qui stipule que « La mesure dun angle inscrit est la moitié de la mesure de larc quil intercepte. » Cela signifie que pour langle x , larc quil intercepte sera 2x .

Maintenant, si vous inscrivez létoile dans un cercle, vous obtenez ceci:

En étiquetant le dessin précédent, vous obtenez ceci;

Avec ce théorème, on sait que langle ∠1 = c / 2, ∠2 = d / 2, ∠3 = e / 2, ∠4 = a / 2, et ∠ 5 = b / 2. Si nous distribuons cela, nous obtenons ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = (a + b + c + d + e) / 2 . De plus, étant donné que les mesures de tous les arcs dun cercle totalisent 360, nous savons que a + b + c + d + e = 360 . Enfin, en utilisant la propriété de substitution, on obtient ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360/2 , ou ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 180 . Ainsi, la somme de tous les angles est de 180.

Commentaires

• Il y a ‘ un défaut dans votre argument: tous les pentagrammes ne peuvent pas être inscrits dans un cercle.
• @ThomasKwa Pouvez-vous me donner un exemple?
• @ user1812 déplacez simplement nimporte quel point de votre exemple dans ou hors du cercle. Il suffit de trois points pour définir un cercle, et un pentagramme en a cinq.

Cette preuve en un sens nest rien dautre que de compter le degré des angles.

Rappelez-vous quun pentagone, quil soit régulier ou irrégulier, a ses angles internes totalisant 540. Aussi, les angles dune intersection de 2 droites totalisent 360, où également les angles opposés sont congruents.

Considérez les 5 points du pentagone central, les points où se produit lintersection de 2 lignes. Autour de ces 5 points, il y a 360 x 5 = 1800 degrés au total et 5 x 4 = 20 angles à compter.

Des 20 angles, 5 sont du pentagone, 5 autres sont congruents à ceux-ci. Cela représente donc 540 + 540 = 1080 degrés. Les restes des 1800 – 1080 = 720 degrés proviennent de lintérieur des 5 triangles.

5 triangles contiennent 5 x 180 = 900 degrés dangles intérieurs. 720 de ces degrés sont aux coins du pentagone / triangle / intersection.

Cela laisse au bout de létoile 900 – 720 = 180 degrés.

Edit: Larithmétique ici est simplement un raccourci pour langle addition et soustraction, comme dans les autres réponses.

Le Pentagone central comme A, B, C, D , E contient 540 DEGREES

Additionnez les 5 paires dangles supplémentaires ie. 2 (180-A) +2 (180-B) +2 (180-C) +2 (180-D) +2 (180-E) = 1800 2 (540) = 720 Ces 720 degrés représentent la « base » angles des 5 triangles qui totalisent 5 * 180 = 900 900-720 = 180 (les 5 angles recherchés.

La somme des cinq triangles aux points est de 5 * 180 = 900

Commentaires

• La question demande spécifiquement de le prouver sans utiliser dopérations arithmétiques.