Comment 64 = 65?

Ceci est un puzzle physique célèbre qui peut être lié au série fibonacci .

Pour répondre à la question posée, le problème est que les deux pentes sont différentes ( $ \ frac25 $ vs $ \ frac38 $ ). Notez que tous ces nombres sont dans la série fibonacci ( $ 1,1,2,3,5,8,13,21, \ ldots $ ).

Les fractions successives sont des approximations plus proches de $ \ varphi $ , en alternant entre le haut et le bas. Des diagrammes comme celui-ci peuvent être générés en faisant un carré avec des côtés égaux à un nombre dans la série fibonacci (dans cette question 8), puis en le divisant en deux rectangles avec des largeurs des deux nombres fibonacci qui composent le premier choisi (3 et 5).

Coupez le plus petit sur la diagonale, et coupez le plus grand au milieu en diagonale, de sorte que la largeur de la coupe diagonale soit le nombre le plus petit suivant (2 dans ce cas). Notez que cela laissera un trapèze, dont la petite taille parallèle correspond au plus petit côté du petit rectangle dorigine (3 dans ce cas), et dont la plus grande taille parallèle correspond au plus petit côté du plus grand rectangle dorigine (5 dans ce cas).

Puisque $ \ frac25 \ approx \ frac38 $ , et à partir des constructions ci-dessus, les pièces peuvent être réorganisées en un rectangle (comme indiqué), le dont la zone sera toujours à une distance de la place dorigine, mais aura lair à peu près correcte, car les pentes correspondent presque.

Edit: Puisque cette réponse a reçu tant de votes positifs (merci!), je supposons que les gens sy intéressent beaucoup, alors jai pensé que jaurais dessiné quelques images!

1,1,2,3 : 3 $ \ times3 = 9 = 10 = 2 \ times5 $

1,2, 3,5: $ 5 \ times5 = 25 = 24 = 3 \ times8 $

2,3,5,8: $ 8 \ times8 = 64 = 65 = 5 \ times13 $ (Lexemple du PO)

3,5,8,13 : 13 $ \ times13 = 169 = 168 = 8 \ times21 $

5,8,13,21: 21 $ \ times21 = 441 = 442 = 13 \ times34 $

Un commentaire de @EricJ . a suscité une discussion qui peut valoir la peine dêtre soulevée ici:

Je ne prétends pas que toutes ces énigmes sont basées sur la série de Fibonacci. Juste que tous les nombres de Fibonacci peuvent générer ces diagrammes. Il existe plusieurs caractéristiques de Fibonacci les nombres qui font que cela fonctionne.

1. Premièrement, le carré dun nombre de Fibonacci alterne entre un de plus et un de moins que le produit des nombres de chaque côté.
2. Il ya la chose de pente que jai déjà mentionnée, ce qui signifie que notre construction nous donnera deux pentes approximativement égales. Et
3. Il y a un argument selon lequel la construction globale peut être faite sur la base de chaque nombre étant la somme des deux précédents.

Les deux derniers points peuvent mieux être compris en étudiant la construction en détail. Le premier point peut être prouvé par récurrence:

RTP : $ f_k ^ 2 = f_ {k-1} f_ {k + 1} \ pm1 $ pour $ k \ geq1 $

Nous « réindexons pour que $ f_0 = 0 $ et $ f_1 = 1 $ .

Étape 1 : $ k = 1 $ : $ f_1 ^ 2 = f_0f_2 + 1 $ peut être vérifié par substitution.

Étape 2 : Supposons que cest vrai pour $ k $ . Donc $ f_k ^ 2 = f_ {k-1} f_ {k + 1} \ mp1 $ . (Je » m utilise $ \ mp1 $ parce que je mattends à ce quil alterne, et donc à létape 3 je vais le prouver pour $ \ pm1 $ )

Étape 3 : Nous devons montrer que $ f_ {k + 1} ^ 2 = f_ { k} f_ {k + 2} \ pm1 $ . Alors voilà:

\ begin {eqnarray} f_ {k} f_ {k + 2} \ pm1 & = & f_ {k} (f_ {k} + f_ {k + 1}) \ pm1 \\ & = & f_ {k} ^ 2 + f_kf_ {k + 1} \ pm1 \\ & = & (f_ {k-1} f_ {k + 1} \ mp1) + f_kf_ {k + 1} \ pm1 \\ & = & f_ {k + 1} (f_ {k-1} + f_ {k}) \\ & = & f_ {k + 1} (f_ {k + 1}) \\ & = & f_ {k + 1} ^ 2 \ end {eqnarray}

Jai utilisé la définition de la série de Fibonacci deux fois ( $ f_ {k + 2} = f_k + f_ {k + 1} $ et $ f_ {k-1} + f_k = f_ {k + 1} $ ) et lhypothèse de létape 2.

Cela signifie que lorsque vous effectuez la construction ci-dessus, les zones diffèrent toujours de seulement 1 (en alternant au-dessus et en dessous à chaque fois).

Commentaires

• Exc excellente réponse! Je ‘ m familier avec ces énigmes mais je n’ai jamais entendu parler de la connexion Fibonacci. En fait, je nai ‘ même pas réalisé quil y avait un algorithme pour générer de telles formes.
• Cest pourquoi je ne fais jamais confiance à  » preuve par démonstration  » images sur math.stackexchange.com .
• Après avoir vu cette question, jai réalisé pourquoi ma Ferrari 488 plus rapide que la lumière ne fonctionnait pas ‘ t tout à fait (je veux dire, elle ‘ d revenir en arrière dans le temps plus vite que la lumière Just Fine – mais ça revenait sans cesse sous la forme dune Ford Fiesta!) Et moi ‘ d JUSTE terminé le réparer et le lancer sur un test quand jai lu cette réponse stupide ! Et ALORS, la Ferrari est revenue – mais cette fois, elle est revenue sous forme de vélo AVEC UN DINOSAURE QUI LE CONDUIT! Alors, OK, jai frappé le dino (son nom ‘ s Fred, BTW – gentil gars. Drôle de chose ‘, la vie .. .) avec une poêle à frire, et maintenant je ‘ re-réparer le moteur FTL. Alors t ‘ anks fer nuttin ‘ !! 🙂
• Je pense quil ‘ dit simplement quil faisait quelque chose dimpossible et quil peut maintenant ‘ t plus parce que cela ‘ sest avéré impossible. Ce que je ‘ nobtiens pas, cest pourquoi tant de votes positifs? Je veux dire que je pensais être intelligent, mais pas que intelligent!
• Oh, ouais? BIEN! Je viens de voter pour votre réponse, juste pour en faire 100! DONC LÀ!!!! 🙂 (Et en passant à @ghosts_in_the_code – je ne ‘ pas vraiment dire que cette réponse est stupide – je lai appelée  » stupid  » dans un sens ironique qui signifie  » La réponse ma donné tort! Quelle réponse stupide!  » – cest-à-dire que je ‘ m le vrai mannequin ici. Jespère que nous ‘ que tout va bien maintenant …) . Mon commentaire est en fait un hommage à trois films: Retour vers le futur, ET et Caddyshack. Et la trilogie Guide To The Galaxy de Hitchiker ‘ – les cinq livres. 🙂

Le diagramme est trompeur , car il cache un espace au milieu de la deuxième configuration.

Cest ce que nous obtenons réellement si nous réorganisons les formes en question. Notez que la diagonale «sincline» légèrement, laissant un espace supplémentaire entre les formes – cest là que lunité supplémentaire de surface se glisse.

Mais vous ne devriez pas me faire plus confiance que la personne qui a dessiné limage originale!

Comme nous le voyons ici, les images peuvent être trompeuses – mon diagramme nest donc pas la preuve que le le schéma original était faux. Cela donne simplement une idée intuitive de lorigine de lespace supplémentaire.

Pour une preuve correcte, considérons les dégradés:

• Le dégradé du trapèze bleu est $ 5/2 = 2,5 $
• Le dégradé du le triangle rouge est $ 8/3 = 2,666 … $

Puisque les dégradés ne correspondent pas, nous ne pouvons pas les disposer côte à côte comme ça sans un espace vide entre eux . Mais parce quils sont proches, lœil peut être amené à penser quils forment une seule ligne continue et ne remarque pas que la pente du triangle change à mi-chemin.

Commentaires

• Jadore ces puzzles – il y a ‘ une bonne morale philosophique de ne pas accepter les choses telles quelles ‘ sont présentées à vous.

Limage de droite triche : les pièces ne sintègrent pas parfaitement ensemble, il ya un espace entre les deux. Pour le prouver, nous pouvons calculer la taille de lécart, en calculant la taille dun triangle, formé par:

• le côté le plus long du triangle jaune: $ a = \ sqrt {3 ^ 2 + 8 ^ 2} $
• le côté incliné du trapèze: $ b = \ sqrt {2 ^ 2 + 5 ^ 2} $
• la diagonale du rectangle sur le droite: $ c = \ sqrt {5 ^ 2 + 13 ^ 2} $

Laire de ce triangle peut être calculée à laide de la formule de Heron:

$ $ A = \ sqrt {s (sa) (sb) (sc)} $$

où

$$ s = \ frac {1} {2} (a + b + c) $$

La substitution des valeurs dans la formule donne exactement 0,5 pour $ A $. Il existe deux triangles de ce type, de sorte que « sa total 1 = lécart attendu.

Cest un diagramme trompeur. En réalité, les angles ne correspondent pas vers le haut – langle intérieur le plus grand du triangle orange est denviron 69,5 degrés, alors que cest 68,2 pour le quadrilatère gris. (Corrigez-moi si je suis en train de dépoussiérer mon trigonomètre ici.) Dans le diagramme avec la zone 65, les zones oranges sont en fait des quadrilatères. Si vous regardez de près, vous pouvez voir quelles ont une légère inflexion là où elles rencontrent lautre orange. section. Donc, cette zone supplémentaire vient de leur expansion juste un peu.

Les triangles nont pas la même pente ; vous pouvez voir que la grande ligne diagonale à travers le rectangle « plus grand » se courbe. Il « est recouvert par les lignes épaisses autour des triangles, mais il y a un trou très mince qui a une superficie totale dun carré – le même carré qui est censé » sortir de nulle part « .

Agrandissez simplement limage et vous « ll voir la réponse.

Réponse simple :

Ces formes (en orange) sur le côté droit de limage, ne sont pas du tout des triangles! ce sont deux quadrilatères. et donc ils ont une superficie plus grande que visuellement prévue. il ny a donc pas déquité ici. Ils sont différents et ont donc une superficie totale différente.

Limage du rectangle du bas est trompeuse, car elle trompe les gens en supposant à tort que la largeur des triangles est exactement de 3 unités.

La largeur réelle peut être facilement calculée – cest une fraction de la largeur totale, définie par la hauteur du point sur la diagonale, ou à exactement 8 / 13e de 5, cest-à-dire 3.076923077 (et non 3), qed

Commentaires

• Selon lénoncé de puzzle, les triangles dans les deux diagrammes sont identiques et la forme des triangles est définie dans la configuration 8×8 comme étant exactement trois unités par huit unités. Lerreur est bien illustrée dans alexwlchan ‘ la réponse, et expliquée mathématiquement dans plusieurs autres: Les pièces ne ‘ t semboîtent réellement dans la configuration 5×13. Là ‘ est un mince espace trapézoïdal entre eux, qui est masquée par la ligne diagonale épaisse, noire et pas tout à fait droite dessinée dans lillustration originale 5×13.