On sait quun pont brownien multivarié standard $ y (\ mathbf u) $ est un processus gaussien centré avec la fonction de covariance $$ \ mathbb E ( y (\ mathbf u) y (\ mathbf v)) = \ prod_ {j = 1} ^ d (u_j \ wedge v_j) – \ prod_ {j = 1} ^ d u_j v_j $$
Je ne suis pas sûr de savoir comment construire un tel pont brownien multivarié.
Ma première pensée a été de commencer en quelque sorte avec un pont brownien univarié. Jai trouvé des informations à ce sujet et même un package dans R qui peut le faire, mais uniquement pour le pont brownien univarié.
Jai trouvé ceci , mais si je comprends bien, ce qui a été fait il ny a pas de pont brownien multivarié standard tel que défini ci-dessus ou par exemple dans cet article .
Japprécierais tous conseils et assistance.
Commentaires
- Comme je lai découvert dans larticle de Deheuvels lien , il y a le lien relation suivante entre un pont brownien $ B_t $ et une feuille brownienne (ou feuille Wiener) $ W_t $: $$ B_t: = W_t – \ frac t T W_T $$ Donc je pense que le problème se réduit à simuler une feuille brownienne. Je poserai mes questions à ce sujet dans une question distincte.
- correction, la relation pour plus de dimensions est $$ B _ {\ mathbf t}: = W _ {\ mathbf t} – \ prod_ {j = 1 } ^ d t_j W _ {(1, …, 1)} $$
- Connexes: stats.stackexchange.com/questions/34354/ …
Answer
Comme vous lavez déjà indiqué dans les commentaires, la question se réduit à simuler une feuille brownienne. Cela peut être fait en généralisant la simulation du mouvement brownien dune manière simple.
Pour simuler le mouvement brownien, on peut prendre un i.i.d. moyenne-0 variance-1 série chronologique $ W_i $ , $ i = 1, 2, \ cdots $ , et construisez le processus de somme partielle normalisée $$ X_n (t) = \ frac {1} {\ sqrt {n}} \ sum_ {i = 1} ^ {[nt]} Wi. $$ Comme $ n \ rightarrow \ infty $ , $ X_n $ convergence faiblement (dans le sens des mesures de probabilité de Borel sur un espace métrique) au brownien standard $ B $ sur lespace Skorohod $ D [0 , 1] $ .
Liid le cas du second moment fini est le moyen le plus simple de simuler. Le résultat mathématique (Théorème de la limite centrale fonctionnelle / Théorème de Donsker / Principe dinvariance) tient dans une bien plus grande généralité.
Maintenant, pour simuler la feuille brownienne (disons en deux dimensions), prend iid moyenne-0 -1 tableau $ W_ {ij} $ , $ i, j = 1, 2, \ cdots $ , et construisez le processus de somme partielle normalisée $$ X_n (t_1, t_2) = \ frac {1} {n} \ sum_ {1 \ leq i \ leq [nt_1], 1 \ leq j \ leq [nt_2]} W_ {ij}. $$ As $ n \ rightarrow \ infty $ , $ X_n $ convergence faiblement vers la feuille brownienne standard sur lespace Skorohod $ D ([0,1] ^ 2) $ sur le carré unitaire .
(La preuve est un argument de convergence faible standard:
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La convergence de la distribution de dimension finie découle du CLT de Levy-Lindeberg.
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Étanchéité sur $ D ([0,1] ^ 2) $ découle dune condition de moment suffisant qui tient trivialement dans le i.i.d. cas du second moment fini — voir, par ex. Bickel et Wichura (1971). )
Ensuite, par le théorème de correspondance continue $$ X_n (t_1, t_2) – \ prod_ {j = 1} ^ 2 t_j X_n (t_1, t_2) $$ converge faiblement vers le pont brownien bidimensionnel.