Jai une question sur le modèle noir 1976 et le modèle Bachelier.
Je sais quun mouvement brownien géométrique dans la mesure P $ dS_ {t} = \ mu S_ {t} dt + \ sigma S_ {t} dW_ {t} ^ {P} $ pour un cours de bourse $ S_ {t} $ mène (après un changement de mesure) au Noir- Formule de Scholes pour un appel:
$$ C = S_ {0} N (d_ {1}) – Ke ^ {- rT} N (d_ {2}) $$.
Où $ d_ {1} = \ frac {ln (\ frac {S_ {0}} {K}) + (r + \ frac {1} {2} \ sigma ^ {2}) T} {\ sigma \ sqrt {T}} $ et $ d_ {2} = d_ {1} – \ sigma \ sqrt {T} $
En fait, je ne sais pas comment il est possible dobtenir la fameuse formule noire un contrat à terme:
$$ C = e ^ {- rT} (FN (d_ {1}) – KN (d_ {2})) $$.
où maintenant $ d_ {1} = \ frac {ln (\ frac {F} {K}) + \ frac {1} {2} \ sigma ^ {2} T} {\ sigma \ sqrt {T}} $ et $ d_ {2} = d_ {1} – \ sigma \ sqrt {T} $
Dois-je simplement insérer $ F (0, T) = S_ {0} e ^ {rT} $ dans le premier BS formule pour obtenir la seconde?
Je pose la question parce que jai essayé de dériver la formule BS en utilisant un mouvement brownien arithmétique comme $ dS_ {t} = \ mu dt + \ sigma dW_ {t} ^ {P} $, a nd jobtiens:
$$ C = S_ {0} N (d) + e ^ {- rT} [v n (d) -K N (d)] $$.
où $ d = \ frac {S_ {0} e ^ {rT} -K} {v} $ et $ v = e ^ {rT} \ sigma \ sqrt {\ frac {1-e ^ {- 2rT}} {2r}} $ et en se souvenant que $ N (d) $ et $ n (d) $ sont le CDF et le PDF.
mais la substitution précédente $ F (0, T ) = S_ {0} e ^ {rT} $ doesn « t semble conduire au résultat connu $ C = e ^ {- rT} [(FK) N (d) – \ sigma \ sqrt {T} n (d )] $
où maintenant $ d = \ frac {FK} {\ sigma \ sqrt {T}} $
Je pense que je pourrais atteindre les équations en avant les deux dans la géométrie mouvement brownien et mouvement brownien arithmétique utilisant les équations
$ dF = F \ sigma dW_ {t} ^ {Q} $ et $ dF = \ sigma dW_ {t} ^ {Q} $ mais je ne le fais pas » Je ne sais pas comment justifier leur utilisation.
Commentaires
- @Macro Bienvenue dans Quant. S.E.! Voulez-vous fixer le prix dun contrat à terme ou dune option sur un contrat à terme?
- Bonjour Neeraj, merci pour votre réponse. Je ‘ aimerais fixer le prix dune option sur contrat à terme!
- Remplacez simplement $ S_0 $ par $ F e ^ {- rT} $ dans votre formule BS originale ou vous pouvez utiliser une approche neutre au risque. Les deux conduiront à la même formule de valorisation.
- Ok, merci. Mais puis-je faire la même chose pour lABM? Parce que je ne peux ‘ obtenir le résultat lorsque je fais cette substitution.
Réponse
Option européenne à lavenir
Pour fixer le prix de loption européenne à lavenir, il vous suffit de remplacer $ S_0 $ par $ Fe ^ {- rT} $ dans votre formule BS originale ou vous pouvez utiliser une approche sans risque. Les deux conduiront à la même formule dévaluation.
Option américaine sur le futur
La procédure ci-dessus ne peut pas être utilisée pour fixer le prix de loption américaine sur le futur. Dans un article, La valorisation des options sur les contrats futurs par Ramaswamy , a déclaré que
Il ny a pas de solution analytique connue pour la valorisation de loption américaine sur le contrat futur.
Les auteurs ont utilisé la méthode des différences finies implicites pour fixer le prix de loption américaine sur le contrat futur.
Edit: Dérivation du prix de loption européenne sur le contrat futur
Sous mesure de risque neutre, prix futur, $ F_t $ satisfaire SDE suivant: $$ dF_t = \ sigma F_t dW_t $$ where, $ W_t $ est un processus Wiener. On peut facilement montrer que: $$ F_T | F_t = F_t e ^ {- \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 (Tt) + \ sigma (W_T- W_t )} $$ $$ F_T | F_t \ sim logN \ left (ln (F_t) – \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 (Tt), \ sigma ^ 2 (Tt) \ right) $$
Le prix de loption sur le futur contrat $ (C_t) $ sous la mesure de risque neutre est: $$ C_t = e ^ {- r (Tt)} E_ \ mathbb {Q} [(F_T – K) ^ +] $$
Vous pouvez facilement résoudre lexpression ci-dessus pour obtenir le prix de loption écrite à lavenir. La distribution de $ F_T $ est très similaire à $ S_T $ (voir cette réponse) . Si vous remplacez $$ ln (F_t) = ln (S_t) + r (Tt) $$ alors vous obtiendrez la même distribution de $ S_T $ comme sous mesure neutre au risque. Cest la raison pour laquelle, pour obtenir le prix de loption à lavenir, nous remplaçons $ S_t $ par $ F_t e ^ {- r (Tt)} $ dans le modèle BS du prix de loption dachat européenne.
Commentaires
- Bonjour Neeraj, en fait je ‘ Je souhaite fixer le prix dune option européenne à partir dun GAB.
- @Marco, veuillez cocher modifier la réponse.
Réponse
Voici « un moyen simple dobtenir le prix de lappel sur le prix à terme en utilisant une tarification neutre au risque.
Supposons que nous ayons un appel européen qui paie à $ t = T $ , $ (Pour ( T, T ^ *) – K) ^ + $ , où $ T ^ * \ geq T $ . Supposons en outre que les taux dintérêt sont constants et représentés par « $ r $ « . Soit $ c ^ {For} (t, s) $ le prix de lappel où $ S (t) = s $ .
Ensuite, si laction ne rapporte aucun dividende:
$ c ^ {For} (t, s) = \ widetilde {\ mathbb { E}} [e ^ {- r (Tt)} (For (T, T ^ *) – K) ^ + | S (t) = s] $ , Par réplication, il peut être affiché, $ For (T, T ^ *) = S (T) e ^ {r (T * – T)} $ , et
$ c ^ {For} (t, s) = \ widetilde {\ mathbb {E}} [e ^ {- r (Tt)} (S (T) e ^ {r (T * – T)} – K) ^ + | S (t) = s] $
Vous devriez immédiatement le remarquer puisque les taux dintérêt sont constants, et donc déterministes, nous pouvons tirer le calcul « $ e ^ {r (T ^ * – T)} $ » terme hors des attentes:
$ c ^ { Pour} (t, s) = e ^ {r (T * – T)} \ widetilde {\ mathbb {E}} [e ^ {- r (Tt)} (S (T) – e ^ {- r ( T * – T)} K) ^ + | S (t) = s] $
Cest donc maintenant proportionnel au prix dappel des Black Scholes avec grève $ X = e ^ {- r (T * – T)} K $
$ c ^ {For} (t, s) = e ^ {r (T * – T)} c ^ {BS} (t, s | X = e ^ {r (T * – T) K} $ ) $ c ^ {For} (t, s) = e ^ {r (T ^ * – T)} [SN (d_ +) – e ^ {- r (Tt)} e ^ {- r (T * – T)} KN (d _-)] $ $ c ^ {For} (t, s) = e ^ {r (T ^ * – T )} [SN (d_ +) – e ^ {- r (T * – t)} KN (d _-)] $
$ c ^ {Pour } (t, s) = e ^ {- r (T – t)} (FN (d_ +) – KN (d _-)) $ , où $ F = Se ^ {r (T ^ * – t)} $
aussi:
$ d _ {\ pm} = \ frac { 1} {\ sigma \ sqrt {Tt}} [ln (\ frac {S} {K}) + (r \ pm \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2) (Tt)] $
Cest la « fameuse formule noire sur un contrat à terme ». Jespère que cela vous aidera!
Veuillez noter que le prix à terme et le prix du contrat à terme ne sont pas les mêmes. Le prix du contrat à terme au moment 0 est 0, mais peut changer, le prix à terme est le prix que vous acceptez de payer à la livraison.
Si vous êtes curieux de savoir ce que ce serait sil sagissait dun appel le prix à terme au lieu dun call sur le prix à terme, je prétends que si le prix de lactif nest pas corrélé au taux dintérêt, alors ils sont les mêmes sinon il y aurait arbitrage (sous hypothèses dabsence de risque de contrepartie, etc.). Je vous encourage à essayer de montrer ceci.
(PS À la réponse des commentateurs précédents à propos de labsence de formule pour une option américaine sur le prix à terme, cela ne nous empêche pas dutiliser Monte Carlo!)