Comment la zone peut-elle être un vecteur?

Cela pourrait être plutôt une question mathématique . Cest une chose particulière à propos de lespace tridimensionnel. Notez quen trois dimensions, une zone telle quun plan est un sous-espace à deux dimensions. Sur une feuille de papier, vous navez besoin que de deux nombres pour désigner un point sans ambiguïté.

Maintenant, imaginez que vous vous tenez sur la feuille de papier, la direction vers laquelle votre tête pointe sera toujours un moyen de savoir comment ce plan est orienté dans lespace. Cest ce quon appelle le vecteur « normal » à ce plan, il est à angle droit par rapport au plan.

Si vous choisissez maintenant la convention pour que la longueur de ce vecteur normal soit égale à laire de cette surface , vous obtenez une description complète du plan bidimensionnel, son orientation dans lespace tridimensionnel (la partie vectorielle) et la taille de ce plan (la longueur de ce vecteur).

Mathématiquement, vous pouvez exprimer cela par le « produit croisé » $$ \ vec c = \ vec a \ times \ vec b $$ dont la grandeur est définie comme $ | c | = | a || b | sin \ theta $ qui est égal à laire du parallélogramme ceux aux vecteurs (qui définissent réellement un plan) span. Pour voler cette image de larticle de wikipedia sur le produit croisé:

Comme je lai dit au début cest une chose très spéciale pour trois dimensions, dans des dimensions plus élevées, cela ne fonctionne pas aussi proprement pour diverses raisons. Si vous souhaitez en savoir plus sur ce sujet, un mot-clé serait « algèbre extérieure »

Mise à jour:

Quant à la signification physique de ce concept, les exemples les plus marquants sont les champs de vecteurs traversant les surfaces. Prenez un fil circulaire. Ce cercle peut être orienté de différentes manières en 3D. Si vous avez un champ magnétique externe, vous savez peut-être que cela peut induire un courant électrique, proportionnel à la vitesse de changement de la quantité circulant à travers le cercle (pensez à combien les flèches perforent la zone). Si les vecteurs de champ magnétique sont parallèles au cercle (et donc orthogonaux à son vecteur normal), ils ne « perforent » pas du tout la zone, de sorte que le flux à travers cette zone est nul.Par contre, si les vecteurs de champ sont orthogonaux au plan (cest-à-dire parallèles à la normale), on « perforera » au maximum cette zone et le flux sera maximal.

si vous changez lorientation de entre ceux-ci deux états, vous pouvez obtenir du courant électrique.

Commentaires

• +1 pour la mention des champs magnétiques. Tous les vecteurs de surface utilisés en physique ne sont pas différentiels.
• Merci. Juste quelques clarifications. Vous mavez demandé dimaginer une personne debout sur un papier & considérer la direction de sa tête comme représentant le vecteur normal. Mais supposons que cette personne se trouve exactement sur la face opposée, alors ‘ que lorientation du papier reste la même? Mais maintenant, la direction du vecteur est dans la direction opposée. Veuillez clarifier.
• Deuxièmement, vous avez dit que ce concept ‘ ne fonctionne pas si bien dans les dimensions supérieures. Cela signifie-t-il que ma question sur la direction de la zone dune sphère ‘ est invalide? Si tel est le cas, laire est-elle un scalaire dans ce cas particulier puisque la considérer comme un vecteur ne peut pas spécifier son orientation dans lespace?
• quest-ce que ‘ vous empêche dêtre satisfait ?
• Il ‘ nest pas satisfaisant car bien que axb soit un vecteur, | axb |, cest-à-dire laire, est un scalaire, il nest donc pas convaincant que laire un vecteur.

Le principal régime dutilisation est lorsquune zone est infiniment petite, comme on le ferait utiliser dans une intégrale. Dans ce cas, nous pouvons facilement voir quil est plat et que la forme na pas vraiment dimportance. Dans ce cas, nous pouvons encoder les informations sous forme de vecteur, la magnitude représentant la zone (scalaire); le choix (comme vous remarqué) de signaler un côté donné est exactement cela — un choix — mais qui peut être fait de manière cohérente. Nous pouvons étendre cela à des plans non infinitésimaux, mais cela ne fonctionne pas très bien pour les surfaces courbes.

Pour être précis, ce que vous voulez vraiment, cest un co-vecteur . Il sagit dun gadget abstrait qui prend un vecteur et crache un scalaire. Pour un plan, vous voulez que cela représente la « quantité » du vecteur qui traverse le plan — donc il doit être linéaire dans le vecteur (doubler le vecteur double la sortie) et il doit prendre en compte langle auquel le vecteur le frappe (donne un facteur de $ \ cos $). Maintenant, nous pouvons nous poser la question de savoir comment représenter ce co-vecteur abstrait, et il savère quun vecteur est une bonne idée! Plus précisément, nous pouvons représenter laction comme prenant le produit scalaire, qui code naturellement la linéarité et le cosinus. Maintenant, en général, cela arrive à avoir le même nombre de dimensions quun vecteur propre, mais cela nencode quune zone (une surface 2D) en 3D — en 2D, vous obtiendrez une ligne, en 4D un volume (oui! Un 4-vecteur coupe un volume en un point!).

Si vous voulez en savoir plus sur ce genre de chose, vous voulez étudier la géométrie différentielle, où tout ce quil faut pour être clair sur ce genre de chose et ne pas mélanger les vecteurs et les co-vecteurs (appelés formulaires dans ce champ). Une bonne référence lisible est Champs de jauge, nœuds et gravité qui part dun aperçu de base des mathématiques et les développe pour une utilisation physique.

Commentaires

• Dans le contexte des théories des champs, comme avec lélectromagnétisme, le concept de  » la quantité dun vecteur (champ ) qui passe par un segment de plan  » reçoit le nom flux . Ainsi, vous pouvez penser que la zone est caractérisée par une fonction qui mappe les vecteurs (ou un champ vectoriel) au flux de ce vecteur (champ) à travers la zone.
• @luksen le livre quil a mentionné est bon pour quel niveau de connaissances mathématiques et physiques? Pour reformuler, quels sont les prérequis pour commencer à suivre efficacement le livre? Et sagit-il dun livre de deuxième cycle ou de premier cycle?

Pensez à Force est la zone de temps de pression ($ F = P \ cdot A $). Vous savez que la pression est un scalaire (aucune direction ne lui est associée) et quune force est un vecteur (elle agit le long dun axe). Alors quest-ce que cela signifie pour la pression.

Prenez une petite zone et voyez sa contribution à la force totale due à la pression

$$ {\ rm d} F = P ( x, y, z) \, {\ rm d} A $$

La direction de la force est normale à la zone, et sa magnitude est proportionnelle à la taille de la zone. Cest pourquoi un aire infinitésimale $ {\ rm d} A $ peut être un vecteur. Il est pratique de penser à (vector) = (scalaire) * (vecteur).

Il existe un exemple particulièrement pittoresque de la loi de Pythagore en trois dimensions appliquée aux aires dun simplexe. (Où par «simplex» je crois que je veux dire une section despace délimitée par trois avions et un plan arbitraire.) La somme des carrés (des aires) des trois petites faces est égale au carré de laire de la face oblique. Cela sexplique facilement par les arguments de type pression / débit avancés dans les autres réponses postées ici, plus la condition physique évidente quun fluide non perturbé est en équilibre avec lui-même.