Théorème de superposition
«  Le théorème de superposition des circuits électriques indique que pour un système linéaire le réponse (tension ou courant) dans nimporte quelle branche dun circuit linéaire bilatéral ayant plus dune source indépendante est égale à la somme algébrique des réponses provoquées par chaque source indépendante agissant seule, où toutes les autres sources indépendantes sont remplacées par leurs impédances internes . « 

Quels types de circuits peut être résolu par superposition?

Les circuits constitués de lun des composants suivants peuvent être résolus en utilisant le théorème de superposition

• Indépendant sources
• Éléments passifs linéaires – Résistance, condensateur et inducteur
• Transformateur
• Sources linéaires dépendantes

Quelles sont les étapes pour résoudre un circuit en utilisant le théorème de superposition?

Suivez lalgorithme:

1. Réponse = 0;
2. Sélectionnez la première source indépendante.
3. Remplacez toutes les sources indépendantes du circuit dorigine à lexception de la source sélectionnée par son impédance interne.
4. Calculez la quantité (tension ou courant) ) dintérêt et ajouter à la réponse.
5. Quitter sil sagissait de la source indépendante finale. Sinon Passez à létape 3 en sélectionnant la source suivante.

Limpédance interne dune source de tension est nulle et celle dune source de courant est linfini. Remplacez donc la source de tension par un court-circuit et la source de courant par un circuit ouvert lors de lexécution de létape 3 de lalgorithme ci-dessus.

Comment les différents types de sources sont-ils traités lorsque résolution par superposition?

Les sources indépendantes doivent être traitées comme expliqué ci-dessus.

En cas de sources dépendantes, ne les touchez pas.

La superposition ne sapplique que lorsque vous avoir un système purement linéaire, cest-à-dire:

\ begin {align *} F (x_1 + x_2) & = F (x_1) + F (x_2) \ \ F (ax) & = a F (x) \ end {align *}

Dans le contexte de lanalyse de circuit, le circuit doit être composé de éléments (condensateurs, inductances, transformateurs linéaires et résistances) avec N sources indépendantes, et ce que vous « résolvez pour » doit être des tensions ou des courants. Notez que vous pouvez prendre une solution super-imposée de tension / courant pour trouver dautres grandeurs qui ne sont pas linéaires (ex. puissance dissipée dans une résistance), mais vous ne pouvez pas superposer (ajouter) des quantités non linéaires pour trouver la solution pour un système plus grand.

Par exemple, prenons une seule résistance et regardez la loi dOhm (je suis en utilisant U et J pour tension / courant respectivement, sans raison particulière) et voyez comment le courant a contribué de la source \ $ i \ $ affecte la tension:

\ begin {align *} U = JR = R \ left (\ sum_ {i = 1} ^ N J_i \ right) = \ sum_ {i = 1} ^ NR J_i = \ sum_ {i = 1} ^ N U_i \ end {align *}

Je peux donc trouver la tension à travers une résistance en additionnant la contribution de courant de chaque source indépendante de toute autre source . De même, pour trouver le courant traversant la résistance:

\ begin {align *} J = \ frac {U} {R} = \ frac {1} {R} \ sum_ {i = 1} ^ N U_i = \ sum_ {i = 1} ^ N \ frac {U_i} {R} = \ sum_ {i = 1} ^ N J_i \ end {align *}

Cependant, si je commence en regardant la puissance, la superposition ne sapplique plus:

\ begin {align *} P = JU = \ left (\ sum_ {i = 1} ^ N J_i \ right) \ left (\ sum_ {j = 1} ^ N U_j \ right) \ neq \ sum_ {i = 1} ^ N J_i U_i = \ sum_ {i = 1} ^ N P_i \ end {align *}

Le processus général de résolution un circuit utilisant la superposition est:

1. Pour chaque source \ $ i \ $, remplacez toutes les autres sources par leur source nulle équivalente, cest-à-dire que les sources de tension deviennent 0V (court-circuits) et les sources de courant deviennent 0A ( circuits ouverts). Trouvez la solution \ $ F_i \ $, quelles que soient les inconnues qui vous intéressent.
2. La solution finale est la somme de toutes les solutions \ $ F_i \ $.

Exemple 1

Prenons ce circuit avec deux sources:

^{simuler ce circuit – Schéma créé à laide de CircuitLab}

Je veux résoudre le J actuel qui traverse R1.

Choisissez V1 comme source 1 et I1 comme source 2.

En résolvant pour \ $ J_1 \ $, le circuit devient:

^{simuler ce circuit}

Nous savons donc que \ $ J_1 = 0 \ $.

Résolution en cours pour \ $ J_2 \ $, le circuit devient:

^{simule ce circuit}

Nous pouvons donc trouver que \ $ J_2 = I_1 \ $.

Application de la superposition, \ begin {align *} J = J_1 + J_2 = 0 + I_1 = I_1 \ end {align *}

Exemple 2

^{simuler e is circuit}

Maintenant je mintéresse au courant passant par R4 \ $ J \ $. En suivant le processus général décrit précédemment, si je désigne V1 comme source 1, V2 comme source 2 et I1 comme source 3, je peux trouver:

\ begin {align *} J_1 & = – \ frac {V_1} {R_1 + R_2 + R_5 + R_4} \\ J_2 & = \ frac {V_2} {R_2 + R_1 + R_4 + R_5} \\ J_3 & = -I_1 \ frac {R_2 + R_5} {R_1 + R_4 + R_2 + R_5} \ end {align *}

Ainsi la solution finale est: \ begin {align *} J & = J_1 + J_2 + J_3 = \ frac {V_2 – V_1} {R_1 + R_2 + R_4 + R_5} – I_1 \ frac {R_2 + R_5} {R_1 + R_2 + R_4 + R_5} = \ frac {(V_2 – V_1) – I_1 (R_2 + R_5)} {R_1 + R_2 + R_4 + R_5} \ end {align *}

Le pouvoir de superposition vient de poser la question « et si je veux ajouter / supprimer une source? » Dites, je veux ajouter une source actuelle I2:

^{simuler ce circuit}

Au lieu de recommencer depuis le début, la seule chose que je dois faire maintenant est de trouver la solution pour ma nouvelle source I2 et de lajouter à mon ancienne solution: \ begin {align *} J_4 & = I_2 \ frac {R_1 + R_2 + R_5} {R_1 + R_2 + R_5 + R_4} \\ J & = \ sum_ {i = 1} ^ 4 J_i = \ frac {(V_2 – V_1) – I_1 (R_2 + R_5) + I_2 (R_1 + R_2 + R_5)} {R_1 + R_2 + R_4 + R_5} \ end {align *}

Commentaires

• Jai quelques commentaires qui, je lespère, seront utiles: 1. Je trouve lutilisation U et J sont quelque peu déroutants, V et moi sont meilleurs; 2. La première équation pour U ne doit pas être la somme, car elle ‘ s pour la i ‘ ème source seule; 3. Les autres sommations devraient, je crois, être prises de i = 1 à N, et non de i à N; 4. La superposition dans la théorie des circuits nest utilisée que pour le courant et la tension, donc je déplacerais la discussion sur la puissance plus tard dans le texte; 5. Dans lexemple suivant le simple exemple de I1 et R1, ‘ t J3 = -I1 (…), car I1 agit dans le sens opposé à J3?
• 1. Jai choisi dutiliser U et J parce que jai étiqueté mes sources avec V et I, et je ne voulais ‘ pas la confusion causée par \ $ I_3 = I_1 \ cdot (\ textrm {blah} ) \ $. Jénonce clairement ce que sont U et J dans lespoir de limiter la confusion. 2. Oui, jai clarifié la notation de la variable de sommation et de lindice de départ. 4. Mon idée était de mettre toutes les informations de base sur la théorie de la superposition avant les exemples. Jai clarifié les sections dexemples pour séparer les deux. 5. Oui, cétait mon erreur.