La sphère Bloch est magnifiquement minimaliste.

Par convention, un qubit a quatre paramètres réels; $ ae ^ {i \ chi} | 0 \ rangle + be ^ {i \ phi} | 1 \ rangle. $ Cependant, un aperçu rapide révèle que le $ a $ -vs- $ b $ le compromis na quun seul degré de liberté en raison de la normalisation $ a ^ 2 + b ^ 2 = 1 $ et une analyse plus approfondie révèle que, de la façon dont nous construisons les valeurs dattente dans QM, vous ne pouvez pas observer $ \ chi $ ou $ \ phi $ eux-mêmes mais uniquement la différence $ \ chi – \ phi $ , qui est $ 2 \ pi $ -périodique. (Ceci est couvert plus en détail dans les commentaires ci-dessous mais brièvement: QM ne prédit que les moyennes $ \ langle \ psi | \ hat A | \ psi \ rangle $ et en décalant la phase globale dune fonction donde par un $ | \ psi \ rangle \ mapsto e ^ {i \ theta} | \ psi \ rangle $ sannule donc dans chaque prédiction.)

Donc, si vous pensez de manière la plus abstraite à ce dont vous avez besoin, tracez simplement une ligne de 0 à 1 représentant le $ a $ -vs – $ b $ compromis: combien cela coûte-t-il dans lun de ces deux états? Ensuite, vous dessinez des cercles autour de lui: quelle est la différence de phase? Ce qui l’empêche d’être un cylindre, c’est que la différence de phase n’a plus d’importance lorsque $ a = 1 $ ou $ b = 1 $ , donc les cercles doivent se réduire en points. Et voila , vous avez quelque chose qui est topologiquement équivalent à une sphère. La sphère contient toutes les informations dont vous avez besoin pour les expériences, et rien dautre.

Cest aussi physique, une vraie sphère dans lespace 3D.

Cest le fait le plus choquant. Compte tenu de la simple image ci-dessus, vous pourriez être pardonné de penser que tout cela était des mathématiques inoffensives: non! En fait, le qubit par excellence est un système spin- $ \ frac 12 $ , avec les matrices de Pauli indiquant la façon dont le système tourne autour des mathématiques $ x $ , $ y $ ou $ z $ axes. Il sagit dun système où nous identifions $ | 0 \ rangle $ avec $ | \ uparrow \ rangle $ , $ | 1 \ rangle $ avec $ | \ downarrow \ rangle $ , et la différence de phase intervient par choisir laxe $ + x $ via $ | {+ x} \ rangle = \ sqrt {\ frac 12} | 0 \ rangle + \ sqrt {\ frac 12} | 1 \ rangle. $

Les directions orthogonales de lespace ne sont pas orthogonales de Hilbert dans le traitement QM, car ce nest tout simplement pas ainsi que la physique de ce système fonctionne. Les états orthogonaux de Hilbert sont incommensurables: si vous êtes dans cet état, vous n’êtes certainement pas dans celui-là.Mais ce système a un spin avec une magnitude totale définie de $ \ sqrt {\ langle L ^ 2 \ rangle} = \ sqrt {3/4} \ hbar $ , mais seulement $ \ hbar / 2 $ de celui-ci pointe dans la direction dans laquelle il est « le plus pointé le long », ce qui signifie quil doit être distribué sur une sorte de « anneau » autour de cette direction. Par conséquent, lorsque vous mesurez quil est dans la direction $ + z $ , il savère quil est également en quelque sorte la moitié dans le $ + x $ , la moitié dans le sens $ – x $ . (Ici, «sort-of» signifie: cest le cas, si vous faites un suivi avec une mesure de $ x $ .)

Alors demandons  » Dans quelle direction la rotation $ \ frac12 $ tourne-t-elle le plus? » Cela nécessite de construire un observable. Pour donner un exemple, si le $ + z $ -direction est le plus tourné par un état $ | \ uparrow \ rangle $ alors lobservable pour $ z $ -spin est la matrice de Pauli $ \ sigma_z = | \ uparrow \ rangle \ langle \ uparrow | – | \ downarrow \ rangle \ langle \ downarrow |, $ $ + 1 $ dans cet état, $ -1 $ dans létat Hilbert-perpendiculaire $ \ langle \ downarrow | \ uparrow \ rangle = 0. $ De même si vous regardez $ \ sigma_x = | \ uparrow \ rangle \ langle \ downarrow | + | \ downarrow \ rangle \ langle \ uparrow | $ vous verrez que létat $ | {+ x} \ rangle $ défini ci-dessus est un vecteur propre avec la valeur propre +1 et de même, il devrait y avoir un $ | {-x} \ rangle \ propto | \ uparrow \ rangle – | \ downarrow \ rangle $ satisfaisant $ \ langle {+ x} | {-x} \ rangle = 0, $ et vous pouvez récupérer $ \ sigma_x = | {+ x} \ rangle \ langle {+ x} | – | {-x} \ rangle \ langle {-x} |. $

Puis létat orthogonal à $ | \ psi \ rangle = \ alpha | 0 \ rangle + \ beta | 1 \ rangle $ est $ | \ bar \ psi \ rangle = \ beta ^ * | 0 \ rangle – \ alpha ^ * | 1 \ rangle, $ donc lobservable qui est +1 dans cet état ou -1 dans létat opposé est: $$ \ begin {align} | \ psi \ rangle \ langle \ psi | – | \ bar \ psi \ rangle \ langle \ bar \ psi | & = \ begin {bmatrix} \ alpha \\\ beta \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} \ alpha ^ * & \ beta ^ * \ end {bmatrix} – \ begin {bmatrix} \ beta ^ * \\ – \ alpha ^ * \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} \ beta & – \ alpha \ end {bmatrix} \\ & = \ begin {bmatrix} | \ alpha | ^ 2 – | \ beta | ^ 2 & 2 \ alpha \ beta ^ * \\ 2 \ alpha ^ * \ beta & | \ beta | ^ 2 – | \ alpha | ^ 2 \ end {bmatrix} \ end {align} $$ En écrivant ceci comme $ v_i \ sigma_i $ où le $ \ sigma_i $ sont les matrices de Pauli que nous obtenons: $$ v_z = | \ alpha | ^ 2 – | \ beta | ^ 2, \\ v_x + i v_y = 2 \ alpha ^ * \ bêta. $$ Laisser maintenant $ \ alpha = \ cos (\ theta / 2) $ et $ \ beta = \ sin (\ theta / 2) e ^ {i \ phi} $ nous découvrons que ce sont: $$ \ begin {align} v_z & = \ cos ^ 2 (\ theta / 2 ) – \ sin ^ 2 (\ theta / 2) & = & ~ \ cos \ theta, \\ v_x & = 2 \ cos (\ theta / 2) \ sin (\ theta / 2) ~ \ cos (\ phi) & = & ~ \ sin \ theta ~ \ cos \ phi, \\ v_y & = 2 \ cos (\ theta / 2) \ sin (\ theta / 2) ~ \ sin (\ phi) & = & ~ \ sin \ theta ~ \ sin \ phi. \ end {align} $$ Ainsi, la prescription de Bloch utilise un $ (\ theta, \ phi) $ qui sont simplement les coordonnées sphériques du point sur la sphère dans laquelle un tel $ | \ psi \ rangle $ « tourne le plus dans la direction de ».

Donc, au lieu dêtre purement théorique visualisation, nous pouvons dire que le système spin- $ \ frac 12 $ , le qubit prototypique, tourne en fait dans la direction donnée par les coordonnées de la sphère de Bloch! (Du moins, dans la mesure où un système de spin-up tourne.) Cest impitoyablement physique : vous voulez lenvoyer dans un coin mathématique et il dit: «non, pour les vrais systèmes, je suis pointé dans cette direction dans un espace 3D réel et vous devez faire attention à moi. « 

Comment ceux-ci répondent à vos questions.

1. Oui, N et S sont spatialement parallèles mais dans l’espace de Hilbert, ils sont orthogonaux. Cette orthogonalité de Hilbert signifie quun système ne peut pas être à la fois spin-up et spin-down.À linverse, le manque dorthogonalité de Hilbert entre, par exemple, les directions $ z $ et $ x $ signifie que lorsque vous mesurez le $ z $ -spin, vous pouvez toujours avoir des mesures différentes de zéro de la rotation dans le $ x $ -direction, qui est une caractéristique clé de ces systèmes. Il est en effet un peu déroutant davoir deux notions différentes de «orthogonal», une pour lespace physique et une pour lespace de Hilbert, mais cela vient davoir deux espaces différents que vous regardez.

2. Une façon de voir pourquoi les angles sont physiquement très utiles est donnée ci-dessus. Mais comme mentionné dans la première section, vous pouvez également le voir comme un exercice purement mathématique pour essayer de décrire lespace de configuration avec une sphère: alors vous avez naturellement langle polaire comme différence de phase, qui est $ 2 \ pi $ -périodique, donc cest une coordonnée naturellement azimutale; par conséquent, la façon dont la coordonnée se trouve le long de 0/1 doit être une coordonnée polaire avec $ 0 $ mappant vers $ | 0 \ rangle $ et $ \ pi $ mappage vers $ | 1 \ rangle $ . La façon la plus évidente de le faire est de mapper $ \ cos (\ theta / 2) $ de 1 à 0 le long de cette plage, comme amplitude de la état de $ | 0 \ rangle $ ; le fait que $ \ cos ^ 2 + \ sin ^ 2 = 1 $ signifie que le $ | 1 \ rangle $ doit prendre une amplitude de $ \ sin (\ theta / 2) $ pour correspondre.

Commentaires

• Jai une confusion similaire concernant la sphère Bloch comme lOP. Pourriez-vous peut-être expliquer un peu ce que vous entendez par  » et un aperçu plus attentif révèle que, dans la façon dont nous construisons les valeurs dattente dans QM, vous ne pouvez pas observer $ \ chi $ et $ \ phi $ eux-mêmes mais seulement la différence $ \ chi – \ phi $, qui est $ 2 \ pi $ -periodic « ?
• @Moses: bien sûr. toutes les prédictions de QM sont des valeurs despérance de la forme $ \ langle A \ rangle = \ langle \ psi | \ hat A | \ psi \ rangle. $ Calculez ceci pour $ ae ^ {i \ chi} | 0 \ rangle + be ^ {i \ phi} | 1 \ rangle $ avec $ A_ {ij} = \ langle i | \ hat A | j \ rangle $ (so $ A_ {ij} = A_ {ji} ^ * $) pour trouver $ \ langle A \ rangle = a ^ 2A_ {00} + b ^ 2A_ {11} + 2ab ~ \ text {Re} \ Big (A_ {10} e ^ {i (\ chi- \ phi)} \ Big). $ Non La valeur de lespérance révèle donc quelque chose sur $ \ phi $ ou $ \ chi $ lui-même, mais seulement potentiellement $ \ delta = \ phi- \ chi $ via ce $ e ^ {i \ delta} $ terme qui est évidemment $ 2 \ pi $ – périodique en $ x $.
• Plus généralement, la phase globale dune fonction donde nest pas observable; ces crochets dattente indiquent que les attentes dans létat $ | \ psi ‘ \ rangle = e ^ {i \ varphi} | \ psi \ rangle $ doivent être $$ \ langle A \ rangle_ {\ psi ‘} = \ langle \ psi | e ^ {- i \ varphi} \ hat A e ^ {i \ varphi} | \ psi \ rangle = e ^ {- i \ varphi} e ^ {i \ varphi} \ cdot \ langle \ psi | \ hat A | \ psi \ rangle = 1 \ cdot \ langle A \ rangle _ {\ psi}. $$
• Cela pourrait aider OP à internaliser le naturel de $ \ frac {\ theta} {2} $ pour souligner que cela correspond au fait que nous avons affaire à une particule de spin – $ \ frac {1} {2} $. Le demi-tour conduit les générateurs de rotation à ne pas être $ \ sigma $ mais plutôt $ \ frac {\ sigma} {2} $ (pour maintenir la valeur propre étant $ \ pm \ frac {\ hbar} {2} $). Ainsi, la transformation qui agit sur létat pour une rotation physique de $ \ theta $ devient $ e ^ {- i \ hbar \ frac {\ theta} {2} \ sigma} $ – conduisant à une rotation de $ \ frac {\ theta} {2} $ pour létat.
• Pourquoi avons-nous besoin dune sphère 3D et pas seulement dun cercle sur un plan? Si lon imagine le qubit comme les 2 valeurs possibles du spin dun atome ou de sa superposition … Quelle est ‘ la signification physique de langle azimutal ϕ?

Vous pouvez associer des points sur la surface dune sphère unitaire à des états de spin purs de la manière simple suivante.

Un point de la sphère $ (n_x, n_y, n_z) $ est associé à un vecteur propre de lopérateur $ n_x \ sigma_x + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z $ avec une valeur propre positive et vice versa. Cela inclut tous les états de spin dune seule particule de spin 1/2.

Et ce nest ni aléatoire, ni visualisation, ni mathématiques. Si vous avez un appareil Stern-Gerlach avec une inhomogénéité du champ magnétique pointant dans la direction $ (n_x, n_y, n_z) $ alors il déviera systématiquement ce faisceau dans une direction particulière quand il a cet état propre à $ n_x \ sigma_x + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z. $

Mais nest-ce pas très déroutant? Si les pôles nord et sud sont choisis, les deux états sont sur la même ligne et plus orthogonale,

Ce nest pas déroutant du tout. La géométrie est liée à lorientation de lappareil physique dans le laboratoire auquel votre état donne des résultats fiables.Lappareil orienté de manière opposée donne également des résultats fiables. Ceci est courant pour les états orthogonaux où les états teonorthgonaux peuvent être propres au même opérateur.

Ainsi, différents points de la sphère de Bloch identifient différentes orientations qui donnent le résultat « up » pour différents états. Ne confondez pas lorientation du dispositif de mesure dans lespace 3D avec la géométrie des états dans lespace de spin.

alors comment choisir un point arbitraire $ p $ à la surface de la sphère et éventuellement la décomposer en termes de $ 0,1 $ états afin de trouver $ a $ et $ b $?

Cest linverse. Comment avez-vous décidé dappeler un état 0 et un autre 1? Vous avez choisi une orientation aléatoire et lavez appelée z et orienté votre appareil pour que le point dinhomogénéité du champ magnétique soit de cette façon. Cela vous a donné un haut et un bas.

Mais maintenant nous pouvons spécifier nimporte quel état de rotation. Vous même vous avez un point arbitraire $ (n_x, n_y, n_z) $ puis trouvez le vecteur propre de $ n_x \ sigma_x + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z. $ Avec une valeur propre positive. Appelez-le $ \ left | s \ right \ rangle, $ then $$ \ left | s \ right \ rangle = \ langle 0 \ left | s \ right \ rangle \ left | 0 \ right \ rangle + \ langle 1 \ left | s \ right \ rangle \ left | 1 \ right \ rangle $$ donc il y a vos $ a $ et $ b $ sauf que vous ne connaissez pas la phase et la magnitude globales mais un état de spin à une seule particule nen a pas .

Cela signifie-t-il que lon ne devrait pas considérer la sphère de Bloch comme une base valable pour notre système et que ce nest quune aide à la visualisation?

Non, cela signifie que vous ne devriez pas confondre la géométrie du laboratoire avec la géométrie de l’espace de Hilbert. La physique est une science expérimentale, donc ils le sont très certainement liés mais ils ne sont pas les mêmes.

Si vous voulez projeter un vecteur sur un espace eigens, vous ne projetez pas les étiquettes les unes sur les autres. Vous pouvez avoir un état de rotation et un autre état de rotation et lorsque vous en mettez un à travers un appareil Stern-Gerlach orienté pour lautre, les degrés de liberté spatiaux se divisent et se séparent en un qui est vers le haut dans cette direction et un qui est spatialement vers le bas à partir de cela. la direction et létat de rotation changent littéralement pour pointer vers le haut dans le faisceau qui est monté spatialement et pour pointer vers le bas dans le faisceau qui est descendu. Ainsi, le spin dune particule est devenu intriqué avec sa propre position.

La taille de la projection de Hilbert vous indique la taille des parties spatiales qui ont été déviées et divisées. Mais vous nen avez pas non plus littéralement besoin. pour se souvenir de règles comme ça. Si vous notez léquation de Schrödinger pour le dispositif de Stern-Gerlach, le faisceau se divise et se sépare en parties de taille correcte et les spins salignent dans les deux polarisations et cela se produit sans que vous lui disiez de le faire.

Donc alors létat de rotation est clair. Il vous indique la direction dans laquelle il ira de manière fiable si vous lui donnez une chance. Et si vous le mettez dans un Stern-Gerlach orienté différemment, il sera forcé daller dans lune des deux directions permises par cette orientation et il se divisera et ira dans les deux. Pour obtenir les tailles de chaque partie, vous pouvez faire évoluer léquation de Schrödinger ou calculer les vecteurs propres de lopérateur $ n_x \ sigma_x + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z $ et le doter du vecteur propre de valeur propre positive orthogonal à lautre vecteur.

Et oui, il existe des moyens plus simples de le faire et vous pouvez en tirer plus. Mais jespère que vous voyez lautre géométrie.

Pourriez-vous montrer comment on obtient alors les $ cos \ theta / 2 $ et $ e ^ {i \ phi } $ termes?

Jutilisais les opérateurs de spin de Pauli, si vous voulez choisir une base, vous pouvez les écrire sous forme de matrices (un opérateur est une fonction sur un espace vectoriel , une matrice remplace un opérateur après avoir sélectionné une base; lopérateur existe et est le même quelle que soit la base que vous pouvez ou non sélectionner plus tard). $$ n_x \ sigma_x + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z = \ left (\ begin {matrix} n_z & n_x-in_y \\ n_x + in_y & -n_z \ end {matrix} \ right). $$

Et le vecteur propre à valeur propre positive est $ \ left (\ begin {matrix} -n_x + in_y \\ n_z-1 \ end {matrix} \ right), $ sauf si $ n_z = 1 $ alors cest $ \ left (\ begin {matrix} 1 \\ 0 \ end {matrix} \ right). $ Traitons le cas de $ n_z = 1 $ dabord, dans ce cas $ a = 1 $ et $ b = 0 $ et $ \ theta = 0 $ donc $ a = \ cos (\ theta / 2) $, $ b = e ^ {i \ phi} \ sin (\ theta / 2) $ tout fonctionne.

Si vous voulez écrire le vecteur propre comme vecteur unitaire, vous obtenez $ \ frac {1} {\ sqrt {2-2n_z}} \ left (\ begin {matrix} -n_x + in_y \\ n_z-1 \ end {matrix} \ right). $ Si vous voulez ajuster la phase pour que la première coordonnée soit réelle et positive alors vous obtenez $ \ frac { 1} {\ sqrt {2-2n_z} \ sqrt {n_x ^ 2 + n_y ^ 2}} \ left (\ begin {matrix} n_x ^ 2 + n_y ^ 2 \\ (n_x + in_y) (1-n_z) \ end {matrix} \ right). $

Le reste est de la trigométrie, par exemple $ \ frac {n_x + in_y} {\ sqrt {n_x ^ 2 + n_y ^ 2}} = e ^ {i \ phi }. $ Il suffit donc de montrer que $ \ cos ( \ theta / 2) = \ sqrt {\ frac {n_x ^ 2 + n_y ^ 2} {2-2n_z}} $ et que $ \ sin (\ theta / 2) = \ sqrt {\ frac {1-n_z} { 2}}.$ Cette dernière est une identité trigonométrique $ \ sin (\ theta / 2) = \ sqrt {\ frac {1- \ cos (\ theta)} {2}}. $

La première est $$ \ sqrt {\ frac {n_x ^ 2 + n_y ^ 2} {2-2n_z}} = \ sqrt {\ frac {n_x ^ 2 + n_y ^ 2 + n_z ^ 2-n_z ^ 2} {2-2n_z}} $ $ $$ = \ sqrt {\ frac {1-n_z ^ 2} {2-2n_z}} = \ sqrt {\ frac {(1-n_z) (1 + n_z)} {2-2n_z}} $$ $$ = \ sqrt {\ frac {1 + n_z} {2}} = \ sqrt {\ frac {1+ \ cos (\ theta)} {2}} = \ cos (\ theta / 2). $$

Commentaires

• Pourquoi avons-nous besoin dune sphère 3D et pas seulement dun cercle sur un plan? Si lon imagine le qubit comme les 2 valeurs possibles du spin dun atome ou de sa superposition … Quelle est ‘ la signification physique de langle azimutal ϕ?

A. Systèmes à deux états

Soit un système à deux états, les états étant indépendants des coordonnées spatio-temporelles. Dans ce cas, le système a un nouveau degré de liberté . Un exemple classique est une particule avec un moment angulaire de spin $ \: \ frac12 \ hbar \: $ .

Laissons aux deux états correspondre le états de base \ begin {équation} \ vert u \ rangle = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} \ equiv \ text {up state} \ ,, \ quad \ vert d \ rangle = \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} \ equiv \ text {down state} \ tag {01} \ label {01} \ end {equation} nommé état haut et bas respectivement.

Un état système est exprimé par le vecteur détat \ begin {equation} \ vert \ psi \ rangle = \ xi \ vert u \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta \ vert d \ rangle \ quad \ text {où} \: \: \: \ xi, \ eta \ in \ mathbb {C} \ quad \ text {et} \: \: \: \ vert \ xi \ vert ^ {2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta \ vert ^ {2} = 1 \ tag {02} \ label {02} \ end {equation} Les nombres complexes $ \: \ xi, \ eta \: $ sont les amplitudes de probabilité et les réels non négatifs $ \: \ vert \ xi \ vert ^ { 2}, \ vert \ eta \ vert ^ {2} \: $ les probabilités dêtre le système dans létat $ \: \ vert u \ rangle, \ vert d \ rangle \: $ respectivement.

Lespace de Hilbert des états système est à bien des égards identique à (la sphère unitaire de) lespace complexe $ \: \ mathbb {C} ^ {2} $ .

Une observable du système serait représentée par un $ \: 2 \ times2 \: $ matrice hermitienne A de la forme \ begin {equation} A = \ begin {bmatrix} a_3 & a_1 \! \ boldsymbol {-} \! ia_2 \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ a_1 \! \ boldsymbol {+} \! ia_2 & a_4 \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad \ text {avec} \: \: \: \ left (a_1, a_2, a_3, a_4 \ right) \ in \ mathbb {R} ^ {4} \ tag {03} \ label {03} \ end {equation} donc lespace linéaire du $ \: 2 \ times2 \: $ matrices hermitiennes est à bien des égards identique à $ \: \ mathbb {R} ^ {4} $ . A partir de la base habituelle de $ \: \ mathbb {R} ^ {4} \: $ nous construisons une base pour cet espace de matrices \ begin {equation} E_1 = \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad, \: \: \: E_2 = \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ boldsymbol {-} i \ vphantom {\ tfrac {a} {b} } \\ i & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad, \: \: \: E_3 = \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ Hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b }} \\ 0 & \! \! \ Hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad , \: \: \: E_4 = \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ Hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} { b}} \\ 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ v phantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ tag {04} \ label {04} \ end {equation}

Maintenant, si les états de base $ \: \ vert u \ rangle, \ vert d \ rangle \: $ de léquation \ eqref {01} correspondent aux états propres des valeurs propres $ \: \ boldsymbol {+} 1, \ boldsymbol {-} 1 \: $ respectivement dune observable alors cette observable serait représentée par la matrice
\ begin {equation} \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b} } \\ 0 & \! \! \ Boldsymbol {-} 1 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ tag {05} \ label {05} \ end {equation} non inclus dans \ eqref {04}. Mais au lieu de la base \ eqref {04}, nous pourrions utiliser les combinaisons linéaires suivantes d’entre eux \ begin {align} E « _1 \! = \! E_1 \! = \! & \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom {\ tfrac { a} {b}} \\ 1 & \! \!\ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ qquad \ qquad \ quad \, E « _2 \! = \! E_2 \! = \! \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ boldsymbol {-} i \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ i & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ nonumber \\ E « _3 \! = \! \ left ( E_3 \! – \! E_4 \ right) \! = \! & \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \\ 0 & \! \! \ boldsymbol {-} 1 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ qquad E « _4 \! = \! \ left (E_3 + E_4 \ right) \! = \! \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ tag {06} \ label {06} \ end {align} et en changeant les symboles et arrangement

\ begin {equation} I = \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ hphantom { \ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom { \ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad, \: \: \: \ sigma_1 = \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad, \: \: \: \ sigma_2 = \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ boldsymbol {-} i \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ i & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom { \ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad, \: \: \: \ sigma_3 = \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \\ 0 & \! \! \ boldsymbol {-} 1 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ tag {07} \ label {07} \ end {equation} où $ \: \ boldsymbol {\ sigma } = \ left (\ sigma_1, \ sigma_2, \ sigma_3 \ right) \: $ les matrices de Pauli .

Maintenant, les états de base $ \: \ vert u \ rangle, \ vert d \ rangle \: $ de léquation \ eqref {01} sont des états propres de $ \: \ sigma_3 \: $ donc il « est nécessaire dêtre exprimé avec lindice $ \: » 3 « \: $ \ begin {equation} \ vert u_3 \ rangle = \ begin {bmatrix} \: \: 1 \: \: \ vphantom {\ dfrac { a} {b}} \\ \: \: 0 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ ,, \ quad \ vert d_3 \ rangle = \ begin {bmatrix} \: \: 0 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ \: \: 1 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ tag {08} \ label {08} \ end {equation} Ceci doit être fait pour les amplitudes de probabilité $ \: \ xi, \ eta \: $ aussi \ begin {equation} \ vert \ psi \ rangle = \ xi_3 \ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_3 \ vert d_3 \ rangle \ quad \ text {où} \: \: \: \ xi_3, \ eta_3 \ in \ mathbb {C} \ quad \ text {et} \: \: \: \ vert \ xi_3 \ vert ^ {2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta_3 \ vert ^ {2} = 1 \ tag {09} \ label { 09} \ end {equation} La raison en est que nous pouvons également utiliser comme états de base de lespace de Hilbert les états propres $ \: \ vert u_1 \ rangle, \ vert d_1 \ rangle \: $ de valeurs propres $ \: \ boldsymbol {+} 1, \ boldsymbol {-} 1 \: $ respectivement de $ \: \ sigma_1 \: $ \ begin {équation} \ vert u_1 \ rangle = \ frac {\ sqrt {2} } {2} \ begin {bmatrix} \: \: 1 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ \: \: 1 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} { b}} \ end {bmatrix} = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} \ vert d_3 \ rangle \ right) \ ,, \ quad \ vert d_1 \ rangle = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ begin {bmatrix} \: \: 1 \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ -1 \: \, \ vphantom { \ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {-} \ vert d_3 \ rangle \ right) \ tag {10} \ label {10} \ end {equation} pour que \ begin {equation} \ vert \ psi \ rangle = \ xi_1 \ vert u_1 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_1 \ ve rt d_1 \ rangle \ quad \ text {où} \: \: \: \ xi_1, \ eta_1 \ in \ mathbb {C} \ quad \ text {et} \: \: \: \: \ vert \ xi_1 \ vert ^ { 2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta_1 \ vert ^ {2} = 1 \ tag {11} \ label {11} \ end {equation} ou le correspondant à $ \: \ sigma_2 \: $ \ begin {equation} \ vert u_2 \ rangle = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ begin { bmatrix} \: \: 1 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ \: \: i \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix } = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} i \ vert d_3 \ rangle \ right) \ ,, \ quad \ vert d_2 \ rangle = \ frac { \ sqrt {2}} {2} \ begin {bmatrix} \: \: 1 \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ -i \: \, \ vphantom {\ dfrac {a} { b}} \ end {bmatrix} = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {-} i \ vert d_3 \ rangle \ right) \ tag {12} \ label {12} \ end {equation} pour que \ begin {equation} \ vert \ psi \ rangle = \ xi_2 \ vert u_2 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_2 \ vert d_2 \ rangle \ quad \ text {où} \: \: \: \ xi_2, \ eta_2 \ in \ mathbb {C} \ quad \ text {et} \: \: \: \ vert \ xi_2 \ vert ^ {2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta_2 \ vert ^ {2} = 1 \ tag {13} \ label {13} \ end {equation} Les états propres $ \ vert u_1 \ rangle, \ vert d_1 \ rangle, \ vert u_2 \ rangle, \ vert d_2 \ rangle $ sont représentés schématiquement sur la figure 04.

Maintenant, \ begin {align} \ xi_1 & = \ tfrac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ xi_3 \ boldsymbol {+} \ eta_3 \ right) \ tag {14a} \ label {14a} \\ \ eta_1 & = \ tfrac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ xi_3 \ boldsymbol {-} \ eta_3 \ right) \ tag {14b} \ label {14b} \ end {align} donc \ begin {align} \ vert \ xi_1 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ mathrm {Re} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) \ tag { 15a} \ label {15a} \\ \ vert \ eta_1 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ mathrm {Re} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) \ tag {15b} \ label {15b} \ end {align} Aussi \ begin {align} \ xi_2 & = \ tfrac {\ sqr t {2}} {2} \ left (\ xi_3 \ boldsymbol {-} i \ eta_3 \ right) \ tag {16a} \ label {16a} \\ \ eta_2 & = \ tfrac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ xi_3 \ boldsymbol {+} i \ eta_3 \ right) \ tag {16b} \ label {16b} \ end {align} donc \ begin {align} \ vert \ xi_2 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ mathrm {Im} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) \ tag {17a} \ label {17a} \\ \ vert \ eta_2 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ mathrm {Im} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) \ tag {17b} \ label {17b} \ end {align} Dans les équations \ eqref {15a}, \ eqref {15b}, \ eqref {17a}, \ eqref {17b} par $ \: z ^ {\ boldsymbol {*} } \: $ nous désignons le conjugué complexe du nombre complexe $ \: z \: $ et par $ \: \ mathrm {Re} \ left (z \ right), \ mathrm {Im} \ left (z \ right) \: $ les parties réelles et imaginaires de $ \: z $ .

Depuis $ \: \ vert \ xi_3 \ vert ^ {2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta_3 \ vert ^ {2} = 1 \: $ nous définissons (voir Figure-01) \ begin {align} \ xi_3 & = \ cos \ omega_3 \ cdot e ^ {i \ alpha_3} \: \:, \ qquad 0 \ le \ omega_3 \ le \ frac {\ pi} {2} \ tag {18a} \ label {18a} \\ \ eta_3 & = \ sin \ omega_3 \ cdot e ^ {i \ beta_3} \ tag {18b} \ label {18b} \\ \ theta_3 & = 2 \ omega_3 = \ text {angle polaire par rapport à $ x_3- $ axis} \: \:, \ qquad 0 \ le \ theta_3 \ le \ pi \ tag {18c} \ label {18c} \ end {align} donc \ begin {align} \ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 & = \ cos \ omega_3 \ cdot e ^ { i \ alpha_3} \ sin \ omega_3 \ cdot e ^ {\ boldsymbol {-} i \ beta_3} = \ cos \ left (\ dfrac {\ theta_3} {2} \ right) \ cdot \ sin \ left (\ dfrac { \ theta_3} {2} \ right) \ cdot e ^ {\ boldsymbol {-} i \ left (\ beta_3 \ boldsymbol {-} \ alpha_3 \ right)} = \ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ cdot e ^ {\ boldsymbol {-} i \ phi_3} \ tag {19a} \ label {19a} \\ \ phi_3 & = \ beta_3 \ boldsymbol {-} \ alpha_3 = \ text {angle azimutal par rapport à $ x_3- $ axis} \: \:, \ qquad 0 \ le \ phi_3 \ le 2 \ pi \ tag { 19b} \ label {19b} \ end {align} Sous ces définitions \ begin {align} \ mathrm {Re} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) & = \ mathrm {Re} \ left (\ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ cdot e ^ {\ boldsymbol {- } i \ phi_3} \ right) = \ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ cos \ phi_3 = \ rho_3 \ cos \ phi_3 \ tag {20a} \ label {20a} \\ \ mathrm {Im} \ gauche (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) & = \ mathrm {Im} \ left (\ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ cdot e ^ {\ boldsymbol {-} i \ phi_3} \ right) = \ boldsymbol {-} \ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ sin \ phi_3 = \ boldsymbol {-} \ rho_3 \ sin \ phi_3 \ tag {20b} \ label {20b} \\ \ rho_3 & = \ vert \ xi_3 \ vert \ cdot \ vert \ eta_3 \ vert = \ cos \ omega_3 \ sin \ omega_3 = \ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ tag {20c} \ label {20c} \ end {align} et équations \ eqref {15a}, \ eqref {15b}, \ eqref {17a}, \ eqref {17b} donnent les probabilités suivantes \ begin {align} \ vert \ xi_1 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ mathrm {Re} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ rho_3 \ cos \ phi_3 = \ frac12 \ left (1 \ boldsymbol {+} \ sin \ theta_3 \ cos \ phi_3 \ right) \ tag {21a} \ label {21a} \\ \ vert \ eta_1 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ mathrm {Re } \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ rho_3 \ cos \ phi_3 = \ frac12 \ left (1 \ boldsymbol {-} \ sin \ theta_3 \ cos \ phi_3 \ right) \ tag {21b} \ label {21b} \ end {align} \ begin {align} \ vert \ xi_2 \ vert ^ {2 } & = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ mathrm {Im} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ rho_3 \ sin \ phi_3 = \ frac12 \ left (1 \ boldsymbol {+} \ sin \ theta_3 \ sin \ phi_3 \ right) \ tag {22a} \ label {22a} \\ \ vert \ eta_2 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ mathrm {Im} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ rho_3 \ sin \ phi_3 = \ frac12 \ le ft (1 \ boldsymbol {-} \ sin \ theta_3 \ sin \ phi_3 \ right) \ tag {22b} \ label {22b} \ end {align}

Notez que létat $ \ vert \ psi \ rangle $ de léquation \ eqref {09} pourrait être exprimé comme \ begin {equation} \ vert \ psi \ rangle \ boldsymbol {=} e ^ {i \ alpha_3} \ left [\ cos \ left (\ dfrac {\ theta_3} {2} \ right) \ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} e ^ {i \ phi_3} \ sin \ left (\ dfrac {\ theta_3} {2} \ right) \ vert d_3 \ rangle \ right] \ tag {23} \ label {23} \ end {equation} ou en ignorant la phase factor $ e ^ {i \ alpha_3} $ \ begin {equation} \ vert \ psi \ rangle \ boldsymbol {=} \ cos \ left (\ dfrac {\ theta_3} {2} \ right) \ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} e ^ {i \ phi_3} \ sin \ left (\ dfrac {\ theta_3} {2} \ right ) \ vert d_3 \ rangle \ tag {24} \ label {24} \ end {équation}

---

B. On Sphere – In Ball

Dans la figure 01, nous voyons les détails des définitions \ eqref {18a}, \ eqref {18b} et \ eqref {18c}. Il sagit dune vue en plan depuis un point sur le plan du cercle $ \: \ rm {K_3} \ Xi $ sur la figure 03. Notez que cette Figure-01 est valide si tous les indices $ \: « 3 » \: $ seront remplacés par $ \ : « 1 » \: $ ou $ \: « 2 » $ . La définition et la signification de divers points seront données ci-dessous.

Dans la Figure 02, nous voyons la géométrie des équations \ eqref {21a}, \ eqref {21b} et \ eqref {22a}, \ eqref {22b}. Il sagit dune vue en plan depuis un point sur les points positifs de laxe $ \: x_3- $ .

Voir une vue 3D de la Figure 03 ici

Dans la Figure 03, nous avons une sphère de diamètre 1 dans un espace à 3 dimensions $ \: \ mathbb {R} ^ {3} \: $ nest pas identique à lespace physique. Sur la sphère, un point $ \: \ Xi \: $ représente un état du système \ begin {equation} \ psi = \ xi_1 \ vert u_1 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_1 \ vert d_1 \ rangle = \ xi_2 \ vert u_2 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_2 \ vert d_2 \ rangle = \ xi_3 \ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_3 \ vert d_3 \ rangle \ tag {25} \ label {25} \ end {equation} Maintenant pour $ \: \ jmath = 1,2 , 3 \: $ \ begin {align} \ rm A _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = point \ : \: on \: \: + 1/2 \: \: of \: \: x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \! – \! axis \: \: représentant \: \: le \: \: \ vert u _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: eigenstate \ tag {26.01} \ label {26.01} \\ \ rm B _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = point \: \: on \: \: – 1/2 \: \: of \: \: x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \! – \! axis \: \: représentant \: \ : le \: \: \ vert d _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: eigenstate \ tag {26.02} \ label {26.02} \\ \ rm K _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = projec tion \: \: of \: \: the \: \: state \: \: point \: \: \ Xi \: \: on \: \: x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \! – \! axis \ tag {26.03} \ label {26.03} \\ \ Xi \ rm A _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ vert \ eta _ {\ boldsymbol {\ jmath} } \ vert = magnitude \: \: of \: \: probabilité \: \: amplitude \: \: of \: \: \ vert d _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: eigenstate \ tag { 26.04} \ label {26.04} \\ \ Xi \ rm B _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ vert \ xi _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ vert = magnitude \: \: de \: \: probabilité \: \: amplitude \: \: de \: \: \ vert u _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: eigenstate \ tag {26.05} \ label {26.05} \\ \ rm K _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rm A _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ vert \ eta _ {\ boldsymbol {\ jmath }} \ vert ^ {2} = probabilité \: \: of \: \: \ vert d _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: eigenstate \ tag {26.06} \ label {26.06} \\ \ rm K _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rm B _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ vert \ xi _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ vert ^ { 2} = probabilité \: \: of \: \: \ vert u _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: eigenstate \ tag {26.07} \ label {26.07} \\ \ theta _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ angle (\ Xi \ mathrm O _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ mathrm A _ {\ boldsymbol {\ jmath}}) = polar \: angle \: with \: respect \: to \: the \: x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \! – \ ! axis \ tag {26.08} \ label {26.08} \\ \ phi _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ angle (\ Xi \ mathrm O _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ mathrm A _ {\ boldsymbol {\ jmath}}) = azimutal \: angle \: with \: respect \: to \: the \: x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \! – \! axis \ tag {26.09} \ label {26.09} \\ \ omega _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ angle (\ Xi \ mathrm B _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ mathrm K _ {\ boldsymbol {\ jmath}}) = half \: the \: polar \: angle \: \ theta _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ tag {26.10} \ label {26.10} \\ \ rm K_ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ Xi & = \ vert \ xi _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ vert \ cdot \ vert \ eta _ {\ boldsymbol {\ jmath} >

Un simple commentaire prolongé rationalisant la bonne réponse de @Timaeus sous une forme plus mémorable.

Le vecteur détat
$$ | \ psi \ rangle = \ begin {pmatrix} \ cos \ theta / 2 \\ e ^ {i \ phi} \ sin \ theta / 2 \ end {pmatrix} $$ définit une matrice de densité détat pure via son opérateur de projection, $$ \ bbox [yellow] {| \ psi \ rangle \ langle \ psi | = \ begin {pmatrix} \ cos ^ 2 \ theta / 2 & \ sin \ theta / 2 ~ \ cos \ theta / 2 ~ e ^ {- i \ phi} \\ \ sin \ theta / 2 ~ \ cos \ theta / 2 ~ e ^ {i \ phi} & \ sin ^ 2 \ theta / 2 \ end {pmatrix} = \ rho} ~.$$ Notez linvariance manifeste sous le rephasage global de $ | \ psi \ rangle $ .

Lexpression principes généraux «  de cette matrice de densité hermitienne idempotente est aussi, évidemment, $ $ \ rho = \ frac {1} {2} (1 \! \! 1 + \ hat n \ cdot \ vec \ sigma), $$ avec $ \ hat n = (\ sin \ theta \ cos \ phi, \; \ sin \ theta \ sin \ phi, \; \ cos \ theta) ^ T. $

Autrement dit, le Laxe $ \ hat z $ tourne vers laxe $ \ hat n $ par angles de rotation complets (adjoints) , en spécifiant une expression dopérateur demi-angle (spineur, fondamental).

Pensez à la rotation des photons

Réfléchir à ce cas plus concret ma aidé à obtenir des images utiles dans ma tête. Il y a même un plus connu. analogique orienté optique à retenir: la Poincaré Sphere .

Le spin du photon est un système quantique à deux états , qui, comme mentionne Frobenius , est ce que modélise la sphère de Bloch.

Le spin des photons est également facile pour comprendre / visualiser / manipuler expérimentalement.

Filtres polariseurs physiques

Premièrement pensons à la chose la plus concrète possible: les filtres polariseurs.

Il existe deux types de filtres polariseurs auxquels vous pourriez penser:

• polariseur linéaire, à nimporte quel angle entre -90 et 90.

  Par exemple voici « un à 90 degrés:

  

  et voici celle à 45 degrés:

  

  et en voici un à 0 degré:

  

  Source

  Wikipedia décrit quelques façons de créer de tels filtres. Les images ci-dessus sont des filtres Polariod , qui sont utilisés dans les lunettes de soleil et la photographie et donc facilement disponibles .

  Dun point de vue de la mécanique quantique, les orientations 90 et 0 degrés font la même mesure: la seule différence est que lun laisse passer le photon mais lautre le bloque. Mais on peut utiliser les deux de manière égale pour déterminer le niveau de polarisation verticale linéaire du photon: il suffit de prendre le complément le val ue.

  Et puisque chaque mesure correspond à une matrice hermitienne , nous pouvons représenter à la fois 0 et 90 avec une seule matrice:

  $$ M_0 = \ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \ end {bmatrix} $$

  Et la matrice pour 45 degrés est:

  $ $ M_ + = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \ end {bmatrix} $$

• polariseur circulaire, qui comme lexplique Wikipedia est généralement réalisé avec une lame quart donde + une lame linéaire polariseur:

  

  Source .

  Sa matrice correspondante est:

  $$ M_i = \ begin {bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \\ \ end {bmatrix} $$

Les matrices ci-dessus sont les soi-disant matrices de Pauli .

Quelques vecteurs détat intéressants

Donnons maintenant des noms à 6 pôles représentant 6 états photoniques intéressants possibles sur la sphère de Bloch et essayez de comprendre comment ils interagissent avec les filtres.

Source .

$$ \ begin {alignat *} {4} & \ vert 0 \ rangle & & = & & \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} & & = \ text {90 ° linéaire} \\ & \ vert 1 \ rangle & & = & & \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} & & = \ text { linéaire 0 °} \\ & \ vert + \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} & & \ begin {bmatrix} 1 \\ 1 \ end {bmatrix} & & = \ text {45 ° linéaire} \\ & \ vert – \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} & & \ begin {bmatrix} 1 \\ – 1 \ end {bmatrix} & & = \ text {linear -45 °} \\ & \ vert i \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} & & \ begin {bmatrix } 1 \\ i \ end {bmatrix} & & = \ text {circulaire dans le sens des aiguilles dune montre} \\ & \ vert -i \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} & & \ begin {bmatrix} 1 \\ – i \ end {bmatrix} & & = \ text {circulaire dans le sens anti-horaire} \\ \ end {alignat *} $$

La première chose que nous remarquons est que ce qui suit les paires sont toutes des bases:

• $ \ vert 0 \ rangle $ et $ \ vert 1 \ rangle $
• $ \ v ert + \ rangle $ et $ \ vert – \ rangle $
• $ \ vert i \ rangle $ et $ \ vert -i \ rangle $

Par exemple, nous pourrions représenter:

$$ \ begin {alignat *} {3} & \ vert 0 \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (\ vert + \ rangle & & + \ vert – \ rangle) \\ & \ vert 1 \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (\ vert + \ rangle & & – \ vert – \ rangle) \\ & \ vert 0 \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (\ vert i \ rangle & & -i \ vert -i \ rangle) \\ & \ vert 1 \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (- i \ vert i \ rangle & & + i \ vert -i \ rangle) \ end {alignat *} $$

Et puis, nous observons aussi que:

• $ \ vert 0 \ rangle $ et $ \ vert 1 \ rangle $ sont des vecteurs propres de $ M_0 $
• $ \ vert + \ rangle $ et $ \ vert – \ rangle $ sont des vecteurs propres de $ M _ + $
• $ \ vert i \ rangle $ et $ \ vert -i \ rangle $ sont des vecteurs propres de $ M_i $

Si lon se souvient que le résultat dune mesure en mécanique quantique est le vecteur propre dune valeur propre, avec une probabilité proportionnelle à la projection, on obtient les probabilités déchantillon suivantes pour ces tests:

• $ \ vert 0 \ rangle $ état sur:

  • polariseur linéaire 90 °: 100% pass

  • polariseur linéaire 0 °: 0% passe

  • polariseur linéaire 45 °: 45% passe, car:

    $$ \ vert 0 \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (\ vert + \ rangle + \ vert – \ rangle) $$

  • polariseur linéaire -45 °: 45% passe

  • polariseurs circulaires: 45% passe.En effet, un état linéaire 0 peut être décomposé en deux polarisations circulaires:

    $$ \ vert 1 \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2 }} (- i \ vert i \ rangle + i \ vert -i \ rangle) $$

• $ \ vert 1 \ rangle $ :
  • linear 90 °: 0% pass
  • linear 0 °: 100% pass
  • linéaire 45 °: 45% passe
  • linéaire -45 °: 45% passe
  • circulaire: 45% passe
• $ \ vert + \ rangle $ :
  • linear 90 °: 45% pass
  • linear 0 °: 45% pass
  • linéaire 45 °: 100% passe
  • linéaire -45 °: 0% passe
  • polariseurs circulaires: 45% passe
• $ \ vert i \ rangle $ :
  • linéaire 90 °: 45% passe
  • linéaire 0 ° : 45% passe
  • linéaire 45 °: 45% passe
  • linéaire -45 °: 45% passe
  • circulaire dans le sens des aiguilles dune montre: 100% passe
  • circulaire dans le sens anti-horaire: 0% de réussite

Phase relative

Une intuition semi-classique importante à retenir est que:

circulaire polarisation == deux polarisations linéaires orthogonales déphasées à 90 degrés:

Source .

Par exemple, dans :

$$ \ vert i \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end { bmatrix} + \ frac {i} {\ sqrt {2}} \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ vert 0 \ rangle + \ frac {i} {\ sqrt {2}} \ vert 1 \ rangle $$

nous avons une phase relative de 90 degrés à cause du $ i $ différence de phase relative entre $ \ vert 0 \ rangle $ et $ \ frac {i} {\ sqrt {2}} \ vert 1 \ rangle $ .

Mais dans la diagonale, ils sont en phase par rapport à $ \ vert 0 \ rangle $ et $ \ vert 1 \ rangle $ :

$$ \ vert + \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} + \ frac {i} { \ sqrt {2}} \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ vert 0 \ rangle + \ frac {1} {\ sqrt {2} } \ vert 1 \ rangle $$

donc la phase relative est 0 pour celle-là.

Promenez-vous la sphère

Une façon courante de représenter un état dans la sphère de Bloch est de ne donner que les deux $ \ thêta $ et $ \ phi $ angles comme indiqué ci-dessous:

Source .

Puisquune sphère nest pas euclidienne, un bon moyen de la visualiser est de parcourir des chemins faciles à comprendre autour delle. Sur limage suivante, nous faisons deux chemins:

• commencer à 0, passer par +, 1, -, et revenir à 0
• commencer à 0, passer par i , 1, -i et revenir à 0

Source .

Marcher de + à i, -, -i et revenir à + est laissé comme exercice: le cercle deviendrait une éclipse oblique, et samincit de plus en plus en une ligne à 45 degrés.

Cela conduit à une interprétation claire des angles:

• $ \ theta $ : plus il est grand, plus il est probable que $ \ vert 1 \ rangle $ devient comparé à $ \ vert 0 \ rangle $
• $ \ phi $ : la phase relative entre $ \ vert 0 \ rangle $ et $ \ vert 1 \ rangle $ . Cette phase relative ne peut être détectée par un polariseur vertical ou horizontal

Comment passer de 4 nombres réels à seulement 2 dans létat ?

Sur la sphère de Bloch, on peut représenter létat avec seulement 2 paramètres réels: les angles $ \ theta $ et $ \ phi $

Mais dans les vecteurs détat complet plus explicites, il semble y avoir 2 nombres complexes, et donc 4 nombres réels:

$$ \ begin {alignat *} {4} & \ begin {bmatrix} a + ib \\ c + id \ end {bmatrix} \\ \ end {alignat *} $$

Pourquoi lun des nombres doit être supprimé est simple: la probabilité totale doit être 1, et donc:

$$ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = 1 $$

donc à ce stade, nous sommes déjà limités à une 3-sphères .

Le second est plus intéressant: nous pouvons supprimer un autre paramètre car la phase globale de létat ne peut être détectée par aucune expérience et donc nous sommes libres de le choisir arbitrairement.

Une phase globale est un nombre imaginaire. Le module de ce nombre doit être 1 pour maintenir la probabilité totale. Les tests ne peuvent pas détecter les déphasages globaux car les résultats de la mesure:

$$ k_0 \ vert 0 \ rangle + k_1 \ vert 0 \ rangle $$

sur lun des filtres est le même que celui de la mesure:

$$ \ text {phase} \ times k_0 \ vert 0 \ rangle + \ text {phase} \ times k_1 \ vert 0 \ rangle $$

parce que $ | \ text {phase} | = 1 $ .

Un choix naturel est donc de choisir une phase globale qui fait pivoter létat de telle sorte que le multiplicateur de $ \ vert 0 \ rangle $ devient un nombre réel, cest-à-dire en définissant $ b = 0 $ .

Par exemple, en multipliant par un nombre imaginaire, nous pourrions mapper des états plus généraux vers des états plus restreints tels que

$$ \ begin {alignat *} {2} & \ begin {bmatrix} i \\ 0 \ end {bmatrix} \ times -i & & = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} & & = \ vert 0 \ rangle \\ & \ begin {bmatrix} -i \\ 0 \ end {bmatrix} \ times i & & = \ begin {bmatrix } 1 \\ 0 \ end {bmatrix} & & = \ vert 0 \ rangle \\ & \ begin {bmatrix} 0 \\ – 1 \ end {bmatrix} \ times -1 & = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} & & = \ vert 0 \ rangle \\ & \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ begin {bmatrix} i \\ i \ end {bmatrix}) \ times -i & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ begin {bmatrix } 1 \\ 1 \ end {bmatrix} & & = \ vert + \ rangle \\ \ end {alignat *} $$

Pourquoi y a-t-il exactement trois matrices de Pauli?

Je pense quil y a des raisons mathématiques profondes et claires qui expliquent cela, liées au fait quelles sont la base de lespace de la matrice hermitienne 2×2 comme mentionné à: https://physics.stackexchange.com/a/415228/31891 et https://en.wikipedia.org/wiki/Bloch_sphere#Pure_states et cest au cœur de la question de savoir pourquoi la sphère de Bloch est utilisé, mais je ne lai pas bien compris.

Mais en termes plus pratiques: les trois appareils de mesure que nous cribed sont les trois seules possibilités (jusquaux rotations globales) telles quaprès avoir traversé lune, vous perdez toutes les informations sur les deux autres (probabilité de 50% sur les deux autres expériences).

Par conséquent, elles sont orthogonales dans un certain sens, et maximal car il ny a pas dautre expérience que nous pourrions ajouter à cet ensemble dexpériences telle que cette propriété soit vérifiée.

Jouer avec Quirk

https://algassert.com/quirk

Ceci est une autre suggestion intéressante. Cliquez sur ces images jusquà ce que tout ait du sens.