Conservation du 4-momentum en relativité restreinte

Je comprends que le produit interne de deux 4-vecteurs est conservé sous les transformations de Lorentz

Oui, $ p_1.p_2 $ est un invariant de Lorentz

Alors que la valeur absolue des quatre momentum est le même dans nimporte quel cadre de référence.

Il est Il nest pas correct de parler de la « valeur absolue » dun vecteur (quadri). Ce qui est conservé dans une transformation de Lorentz est $ p ^ 2 = (p ^ o) ^ 2 – \ vec p ^ 2 $

Cest ce que je (probablement à tort) la pensée était signifiée par la conservation de lélan.

Non, la conservation de lélan est une chose complètement différente. En fin de compte, vous avez une théorie décrivant les champs et les interactions, décrivant par une action qui est invariante par certaines symétries. Si laction est invariante par les traductions spatio-temporelles, alors il y a une quantité conservée qui est impulsion / énergie.

Je ne comprends pas pourquoi des équations telles que P 1 = P 2 + P 3 (P i sont des vecteurs à 4 impulsions pour différentes particules dans une collision par exemple) devrait tenir, dans un cadre de référence. On ma dit que vous ne pouvez pas simplement ajouter quatre vitesses en cas de collision de particules, alors pourquoi devriez-vous être capable de faire cela avec les vecteurs de momentum?

Si laction théorique est invariante par les traductions espace / temps, alors limpulsion / énergie est conservée, donc limpulsion / énergie totale des particules initiales est la même que le total impulsion / énergie des particules finales:

$$ (p_ \ textrm {tot}) _ \ textrm {in} ^ \ mu = (p_ \ textrm {tot}) _ \ textrm {out} ^ \ mu \ tag {1} $$

Sil y a plusieurs particules initiales, elles sont considérées comme indépendantes (létat global est le produit tensoriel des états des particules initiales). Lindépendance signifie que vous ont:

$$ (p_ \ textrm {tot}) _ \ textrm {in} ^ \ mu = \ sum_i p_i ^ \ mu \ tag {2} $$ où la somme est abou t toutes les particules initiales. Une équation similaire est valable pour les particules finales.

En relativité restreinte, si vous ajoutez deux vitesses, vous devez utiliser la formule

$$ v = (v_1 + v_2) \ left (1+ \ frac {v_1v_2} {c ^ 2} \ right) ^ {- 1} \ text {.} $$

Vous ne pouvez donc pas simplement ajouter deux vitesses ensemble. Habituellement, la vitesse nest pas une bonne variable avec laquelle travailler en relativité restreinte. Il est beaucoup plus facile dutiliser la conservation à quatre impulsions, qui est simplement donnée par

$$ p = p_1 + p_2 \ text {,} $$

pour une collision de particules où deux particules avec $ p_1 $ et $ p_2 $ se heurtent puis se collent ensemble et ont lélan $ p $. Puisque les quatre impulsions sont données par

$$ p = \ begin {pmatrix} E / c \\ \ vec {p} \ end {pmatrix} \ text {,} $$

la conservation de quatre impulsions nest rien dautre que la conservation de lénergie $ E $ et la conservation de trois impulsions $ \ vec {p} $.

Pour répondre à vos questions:

Pourquoi peut nous ajoutons quatre impulsions dans une collision de particules? Parce que la conservation de lénergie et de la quantité de mouvement tient également en relativité.

Pourquoi peut « t on ajoute quatre vitesses dans une collision de particules? Parce quil ny a pas de « conservation de la vitesse », ni de manière classique, ni en relativité.

Commentaires

• Cette réponse était excellente. Jai une question de clarification – $ (P_1 + P_2) ^ 2 $ sera-t-il invariant, donc $ (P_1 + P_2) ^ 2 = – (m_1 + m_2) ^ 2c ^ 2 $?

Vous pouvez simplement vérifier chaque composant et ils ne sont que la conservation de lélan en 3 temps. Il ny a pas de conservation de la vitesse, vous ne pouvez donc pas les additionner.