Dérivation de la masse réduite [duplicate]

Le système à deux corps peut être analysé plus simplement en utilisant une masse réduite, car le problème se réduit essentiellement à un seul corps. La première approximation peut être obtenue en supposant que, m1 >> m2, comme une planète en orbite autour de létoile, car le centre de gravité coïncide avec m1. On peut donc supposer que le corps lourd est au repos et que lon se déplace plus léger autour de lui.

Dérivation: $$ \ text {Let} \, m_1, \ vec r_1 \ text {une masse et une position du corps massif et} \, m_2, \ vec r_2 \, \ text {le plus léger.} $$

$$ \ text {On suppose que} \, m_1 > > m_2 \, \ text {La force entre les masses (gravité) dépend de la différence des vecteurs de positions}: \ vec F_ {12} = \ vec F (\ vec r_ {12}), \ text {where}: $$

$$ \ vec r_ {21} = \ vec r_2- \ vec r_1 \\ \ vec F_ {12} \, \ text {est la force sur le corps 1 due au corps 2} $$ Dans notre approximation, nous supposons que la masse lourde est à reste à lorigine. Ainsi: $$ \ vec r_ {21} = \ vec r_2 $$ Et léquation du mouvement devient: $$ \ vec F (\ vec r_ {21}) = m_2 \ frac {d ^ 2 \ vec r_ {21}} {dt ^ 2} = m_2 \ frac {d ^ 2 \ vec r_ {2}} {dt ^ 2} $ $ qui peut être résolu pour obtenir la position.

Pour obtenir un mouvement « vrai », il savère que notre approximation peut être rendue exacte en considérant le centre de masse (CM). (qui est une masse moyenne pondérée des positions de deux masses dans ce cas) $$ \ vec R_ {CM} = \ frac {m_1 \ vec r_1 + m_2 \ vec r_2} {m_1 + m_2} = \ frac {m_1 \ vec r_1} {m_1 + m_2} + \ frac {m_2 \ vec r_2} {m_1 + m_2} $$ $$ \ text {Nous le ferons quantité dappels} \ frac {m_2m_1} {m_1 + m_2} = \ mu \, \ text {masse réduite} $$ $$ \ text {Donc}: \ vec R_ {CM} = \ frac {\ mu \ vec r_1} {m_2} + \ frac {\ mu \ vec r_2} {m_1} $$ On peut facilement montrer que la force externe nette sur le système équivaut au masse totale multipliée par laccélération du centre de masse. Si vous nêtes pas convaincu, jai écrit avant une telle dérivation dans ce POST

Puisquil est supposé quaucune force externe nest présente (la force de gravité entre les masses « compte » comme interne), le centre de masse se déplace à vitesse constante. $$ \ frac {d ^ 2 \ vec r} {dt ^ 2} = 0 \ implique \ frac {d \ vec r} {dt} = const. $$ Soit CM comme origine dun système de coordonnées inertielles. Ainsi, la position des deux masses est donnée par: $$ \ vec R_ {CM} = 0 \ implique \ frac {\ mu \ vec r_1} {m_2} = – \ frac {\ mu \ vec r_2} {m_1} \ implique \ vec r_1 = – \ frac {m_2 \ vec r_2} {m_1}; \, \ vec r_2 = – \ frac {m_1 \ vec r_1} {m_2} $$ $$ \ text {Depuis}: \ vec r_ {21} = \ vec r_2- \ vec r_1 \, \ text {nous obtenons:} $$ $$ \ vec r_ {21} = – \ frac {m_1} {m_2} \ vec r_1- \ vec r_1 = – \ vec r_1 (\ frac {m_1 + m_2} {m_2}) \ implique \ vec r_1 = – \ frac {\ mu} {m_1} \ vec r_ {21} $$ $$ \ vec r_ {21} = \ vec r_2 + \ frac {m_2} {m_1} \ vec r_2 = \ vec r_2 (\ frac {m_1 + m_2} {m_1}) \ implique \ vec r_2 = \ frac {\ mu} {m_2} \ vec r_ {21} $$ $$ \ text {Par conséquent, les équations de mouvement sont}: $$ $$ \ vec F (\ vec r_ {21}) = m_2 \ frac {d ^ 2 \ vec r_ {2}} {dt ^ 2} = \ mu \ frac {d ^ 2 \ vec r_ {21}} {dt ^ 2} $$ $$ \ vec F (\ vec r_ {12}) = \ vec F (- \ vec r_ {21}) = m_1 \ frac {d ^ 2 \ vec r_ { 1}} {dt ^ 2} = – \ mu \ frac {d ^ 2 \ vec r_ {21}} {dt ^ 2} $$ W voici notre équation obtenue précédemment dans notre approximation à masse réduite. Notez que si m1 >> m2 de masse réduite est presque identique à m2.

Ce système de mouvement à deux corps se compose de son CM et du mouvement autour de lui. Le mouvement autour de lui peut être décrit en termes dune masse unique et réduite se déplaçant autour dun centre fixe.