Différence entre les nombres entiers et les nombres décimaux

« Comptage » (menant à compter les nombres) est un cas particulier (avec des ambiguïtés) de «mesurer», où le rôle de «la mesure / unité» est plus visible. De toute évidence (je pense) lunité naturelle impliquée dans les situations de «comptage» est une unité atomique pertinente (comme «une personne opérationnelle entière», plutôt quune partie plus petite dune personne pas si fonctionnelle).

Cest-à-dire que le comptage des mesures implicitement avec lunité la plus petite / atomique faisable / mesure opérationnelle (souvent si universellement implicite que cela est au-delà de toute discussion).

Un analogue plus sophistiqué apparaît lorsque des étudiants de premier cycle plus avancés sont dabord exposés au lidée que les sommes infinies (alias «séries») tombent sous légide des «intégrales», mais avec «mesure de comptage» … et que les ensembles discrets ont au moins une mesure de Borel positive régulière naturelle, à savoir, la mesure de comptage. / p>

Commentaires

• 1. Cest ce à quoi je faisais allusion dans ma phrase douverture et donc, bien sûr, je suis daccord et jaime la teinte particulière que vous lui donnez. 2. Mais comment répondez-vous aux étudiants débutants très crus qui demandent  » Pourquoi ‘ t nous dire 0,04 DekaPeople puisque nous pouvons dire 0,04 KiloPeople? Dune manière ou dune autre, 0,04 DekaPeople = 0,4 personnes et 0,04 KiloPeople = 40 personnes naide pas: leur point de vue est quune fois que nous opérons dans le système décimal-métrique, il ne devrait y avoir aucun recours à des considérations étrangères et les choses ne devraient pas dépendre du fait que le  » dénominateur  » est Personnes ou litres de lait .
• @schremmer, je ‘ soutiens que sans  » le recours à des considérations étrangères  » larithmétique a toujours du sens, bien sûr, mais la pertinence / lapplicabilité peuvent parfois en souffrir. Le contexte compte.
• Bien sûr, le contexte est essentiel, comme cela arrive la plupart du temps. Cependant, ce sont des étudiants en développement et il est très difficile de prendre en considération la logique.Mais ensuite, une fois quils ont commencé, naturellement, ils sont accrochés à des choses comme ça. Jessaye de leur dire quils pourront toujours dire du  » dénominateur « , auquel ils sont daccord, mais ils insistent toujours que  » il devrait y avoir une règle  » indépendamment du fait que nous parlons des gens de litres de lait. Cest ce que je ne sais ‘ pas répondre.
• @schremmer, vous pourriez leur dire que tout (même en maths) ne peut pas être réduit à un liste de règles non ambiguës. Je me rends compte quil existe diverses situations de développement, mais jessaie quand même dassurer aux élèves à tous les niveaux quils ne devraient pas suspendre leur propre jugement critique … mais / et quils ont la responsabilité de en lutilisant , plutôt quen utilisant simplement la pensée magique ou en invoquant des  » règles  » inexplicables.
• Ma réponse à une question comme  » Pourquoi ‘ t nous disons 0,04 DekaPeople [0,4 personne]  » est que nous pouvons dire quelque chose comme ça. Par exemple. Question: Quelle est la densité de population des îles Falkland par kilomètre carré? Réponse: 0,26 personnes. link

Pourquoi » t we say  » 0.04 People  » puisque nous pouvons dire  » 0,04 KiloPeople « ?

Certaines quantités (par exemple, des personnes) sont les quantités discrètes et certaines (par exemple, les mètres, les dollars) sont des quantités continues.

La discussion suivante est tirée de ici . (Jai souligné les mots  » nombre naturel  » et  » décimal. « )

Classification des quantités

Une quantité est soit discrète , soit continue . Une quantité discrète est la grandeur dun ensemble dénombrable (dont les éléments sont «séparés les uns des autres et individuellement distincts»). Sa valeur numérique est un nombre naturel («la division en une quantité inférieure à une unité ne peut pas être prise en compte») et son unité est clair au début. Un exemple de quantité discrète est «trois garçons».

Une quantité continue est la grandeur dun «continuum» («une entité continue qui peut être divisée en un nombre quelconque de parties plus petites» de telle sorte que «tout deux de ces entités peuvent être combinées en une plus grande »). Sa valeur numérique (une decimal ou une fraction) et son unité « nont pas été déterminées a priori . » Un exemple de quantité continue est «trois dollars».

Une quantité continue est soit extensive , soit intensive . Le premier exprime la largeur ou la grandeur (comme la superficie ou le poids); ce dernier exprime la qualité ou lintensité (comme la densité ou la vitesse). Une quantité extensive a une additivité: lattribut de lunion de deux corps est égal à la somme des attributs des deux corps. Une quantité intensive na pas dadditivité. Par exemple, le poids de deux corps est nécessairement la somme de leurs poids, mais la vitesse de deux corps nest pas nécessairement la somme de leurs vitesses.

Le texte est écrit pour les enseignants en mathématiques, mais il peut être reformulé pour être plus facilement compris par les débutants.)

Ma réponse originale (incluse ici pour le contexte) que le PO a souligné na pas répondu à la question voulue:

Certaines quantités, comme, par exemple, $ 1/3 $ litre, ont des représentations décimales ( $ 0. \ overline {3} $ litres) mais pas de représentation de nombres entiers.

Commentaires

• Quest-ce que cela a à voir avec ma question?
• Votre question était  » Où tracez-vous la ligne entre entier et décimal et comment lexpliquer aux étudiants débutants qui veulent comprendre ?  » I je propose que vous traciez la ligne lorsque la représentation décimale ne se termine pas et que cet exemple devrait être clair pour les élèves  » début très brut  » .
• @Les débutants très crus avec lesquels jai affaire nont aucune idée de ce que peut représenter une décimale, encore moins dune représentation décimale qui ne se termine pas. De plus, 1/3 litre de lait est 1 , qui est un nombre entier qui dénomme les choses _ dénommées_ par dont il prend 3 pour faire un litre de lait donc voici votre représentation numérique entière.En tout cas, cela na pas grand-chose à voir avec la question initiale.
• Alors, quen est-il de $ \ sqrt {2} $ mètres, la longueur de lhypoténuse dun triangle rectangle isocèle avec chaque jambe de longueur $ 1 $ mètre? Seriez-vous daccord pour dire quil a une représentation décimale mais pas une représentation de nombre entier?
• Bien sûr, mais quest-ce que cela a à voir avec la question originale? Vous répondez toujours à une question que je nai jamais posée . La question que jai posée se retourne: pourquoi ‘ t nous disons  » 0,04 personnes  » puisque nous pouvons dire  » 0,04 KiloPeople « ?

Je pense que la confusion est en grande partie une conséquence du fait que beaucoup de gens trouvent les préfixes du système métrique ( kilo- , centi- , etc.) peu familier, et trouve les décimales (même terminales) moins intuitives que les « fractions vulgaires » quelles représentent.

Si quelquun me demandait « Comment 0,004 kilomètre, un nombre décimal, peut-il être la même chose que 4 mètres, un nombre entier « ? (comme lOP le mentionne dans les commentaires ci-dessous sa question), je répondrais par quelque chose comme ceci:

Êtes-vous également gêné par le fait que $ 1 / 2 $ une douzaine dœufs, une fraction, équivaut à 6 œufs, un nombre entier?

Ce qui viendrait ensuite dépend de la réponse de linterlocuteur . Mais supposons quils répondent par quelque chose comme: « Daccord, je suppose que jai compris. Mais pourquoi est-ce que je peux dire » 0,04 kilopople « mais je ne peux pas » t dire « 0,04 personne »? « Dans ce cas, je répondrais par :

Êtes-vous également gêné par le fait que vous pouvez faire bouillir une demi-douzaine d’œufs, mais que vous ne pouvez pas faire bouillir un demi-œuf?

Le but de ces réponses, pour être clair, nest pas darrêter la conversation avec un zinger, mais plutôt de faire ressortir les problèmes sous-jacents:  » 1 kilopople « signifie la même chose que » 1 000 personnes « , et vous pouvez avoir un demi-mille personnes de la même manière que vous pouvez en avoir une demi-douzaine des œufs. Dun autre côté, vous ne pouvez pas avoir 1/7 $ de mille personnes, exactement de la même manière que vous ne pouvez pas avoir 1/7 $ dune douzaine dœufs.

Commentaires

• Mon problème avec une question comme  » Pourquoi ‘ t nous disons ‘ 0,04 personnes ‘ « , est-ce Il me semble que nous pouvons certainement le dire. Par exemple, cela pourrait être la densité de population par kilomètre carré dans une certaine région. En fait: 0,04 personne est en fait exactement la densité de population (par km ^ 2) dans les îles Svalbard et Jan Mayen en Norvège. link .
• @mweiss Les élèves en développement qui commencent à poser des questions naiment pas quon leur réponde une question. Ils rejetteraient votre  » Êtes-vous également dérangé …  » comme enseignant  » astuce « . Plus tard, dans la discussion, bien sûr, ils nauraient aucune objection à votre raisonnement et seraient en fait daccord avec lui. Cependant, ce que je pense que leur question porte vraiment, comme je lai dit à Paul Garrett, est:  » une fois que nous opérons dans le système décimal-métrique, il ne devrait y avoir aucun recours à des considérations étrangères et les choses ne devraient pas dépendre du fait que le  » dénominateur  » est des personnes ou des litres de lait.  »