La fonction de transfert du filtre de Bessel est définie via des polynômes de Bessel. Si lon considère par exemple un filtre du 2ème ordre, la fonction de transfert est: $$ H (s) = \ frac {3} {s ^ 2 + 3 * s + 3} $$ Je voulais construire une simulation pour un tel filtre avec une architecture Sallen-Key. Cest pourquoi jai consulté ce guide de conception de TI. Ils définissent la fonction de transfert dun passe-bas de 2e ordre comme suit:
Ao vaut 1 car je veux que le gain soit égal à lunité. Jai regardé le tableau ci-dessous afin de calculer correctement les valeurs C et R.
La fonction de transfert devient donc: $$ H (s) = \ frac {1} {0,618 * s ^ 2 + 1,3617 * s + 1} $$
Jai lancé la simulation et regardé lintrigue de Bode. Il a montré le résultat souhaité (la fréquence de coupure de -3db était telle que calculée).
Cependant, je ne comprends pas pourquoi la fonction de transfert est si différente. Ce nest certainement pas un polynôme de Bessel. Jai vérifié la réponse échelonnée et observé un dépassement de 0,4% comme on pouvait sy attendre pour un filtre Bessel. Pour cela, jai 3 questions:
- Comment se fait-il que la fonction de transfert dans le guide de conception ti ne soit pas un polynôme de Bessel.
- Si lemplacement du pôle dun filtre de Bessel de 2e ordre être le même pour nimporte quel filtre avec une certaine fréquence de coupure?
- Un passe-bas de Bessel de second ordre peut-il avoir un facteur Q différent de 0,5773?
Merci!
Commentaires
- La constante du dénominateur de la dernière équation H (s) doit être » 1 » au lieu de » 3 « . Dernière question: NON!. Cest uniquement le facteur Q qui détermine la réponse de Bessel.
- vous avez raison, cétait une faute de frappe. Na toujours pas grand-chose à faire avec un polynôme de Bessel.
- Pourquoi pas? Il sagit dune fonction de filtre typique avec une réponse en fréquence appelée » Thomson-Bessel « . Quel est votre problème? Bien entendu, la fonction de filtrage nest pas identique au » polynôme mathématique de Bessel « .
- Je ne ‘ t comprendre pourquoi vous avez cette définition mathématique dun côté, et une fonction de transfert qui est complètement différente de lautre côté. Doù viennent ces coefficients?
- Les coefficients des filtres dits de Bessel sont calculés sur lexigence dun retard de groupe au maximum plat dans la bande passante (à comparer avec une amplitude plat au maximum pour les filtes de Butterworth) . On peut montrer que lors du calcul des coefficients, nous utilisons les polynominaux de Bessel connus (il sagit dune procédure assez complexe) – mais cela ne signifie pas que lampleur de la fonction de transfert a une réponse qui ressemble à des fonctions de Bessel. Cest – comme mentionné – la procédure mathématique derrière la recherche des coefficients. OK?
Réponse
Comment se fait-il que le transfert La fonction dans le guide de conception ti nest pas un polynôme de Bessel.
Regardons la fonction de transfert que vous avez écrite: –
\ $ H (s) = \ dfrac {1} {0,618s ^ 2 + 1,3617s + 1} \ $
Réorganisation: –
\ $ H (s) = \ dfrac {1.6181} {s ^ 2 + 2.2034s + 1.6181} \ $
Léquation est maintenant sous forme standard: \ $ H (s) = \ dfrac {\ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ zeta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} \ $
Et clairement \ $ \ omega_n \ $ = \ $ \ sqrt {1.6181} \ $ doù 2.2034 / \ $ \ sqrt {1.6181} \ $ = 1.732. Ce bit est important car il est \ $ \ sqrt3 \ $.
Pour un filtre passe-bas de 2e ordre de Bessel 2 \ $ \ zeta \ $ = \ $ \ sqrt3 \ $ donc zeta est 0,866.
Dans limage, jai manipulé R pour me donner un rapport damortissement (zêta) précis de 1,732 – regardez le pic dans le réponse échelonnée – 1,00433 volts – exactement ce quil faut pour Bessel. Regardez le retard de phase tracé sur le graphique supérieur – au maximum plat et devenant progressivement 90 degrés à la fréquence de résonance naturelle. Fd (la fréquence amortie) est précisément 0,5 – également indicatif de Bessel.
Un passe-bas de Bessel de second ordre peut-il avoir un facteur Q différent de 0,5773?
0,5773 est la réciproque de \ $ \ sqrt3 \ $ et non, il ne doit pas être ce Q pour un LPF de Bessel.
Commentaires
- La raison pour laquelle le polynôme est différent est la mise à léchelle de la fréquence. Un Bessel non mis à léchelle (première formule de OP ‘) aura \ $ \ omega_0 = \ sqrt {3} \ $, avec une atténuation de ~ -1.597 dB à 1 Hz – rien d’inhabituel, Bessel est normalement pour un retard de groupe plat, pas de fréquence – alors TI l’a mis à l’échelle de sorte qu’il ‘ soit le classique -3 dB.
- @aconcernedcitizen pourquoi ne pas en faire une réponse plutôt que de lépingler à ma réponse à moins, bien sûr, que vous ne signaliez trop subtilement une erreur dans ma réponse que je ‘ suis trop stupide reconnaître?
- Javais écrit ceci comme un commentaire afin que la réponse à laquelle je fais le commentaire puisse être mise à jour, si nécessaire. Mais si vous dites que cela devrait être une réponse, quil en soit ainsi. ‘ je ne sais pas doù vient le » stupide « .
Réponse
Un filtre de Bessel a, comme vous lavez correctement montré dans votre première formule, \ $ \ omega_0 = \ sqrt { 3} \ $. Ce nest pas inhabituel si vous pensez que, normalement, un filtre de Bessel est utilisé pour son retard de groupe plat, plutôt que pour son comportement en fréquence (comme @LvW le dit dans son commentaire). Mais implémenter un filtre avec cette fonction de transfert donnera un ~ Atténuation de 1,597 dB @ 1 Hz, ce qui ne rend pas la réponse classique. Ainsi, TI a appliqué une mise à léchelle de fréquence de sorte que latténuation soit de -3 dB à 1 Hz. En loccurrence, la fréquence au carré (pulsation) est \ $ \ phi \ $ = 1,618 …, après quoi ils ont réorganisé les termes pour sadapter à leur topologie opamp.