Interpolation bicubique

Voici une assez bonne explication.

Je vais commencer par considérer le cas 1D de linterpolation cubique (car cest plus facile à expliquer) et ensuite passer au cas 2D.

Lidée de base de linterpolation cubique est destimer les valeurs entre deux points comme une fonction cubique, $ f (x) $, avec la première dérivée, $ f « (x) $

$$ f (x) = ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d $$ $$ f « (x) = 3ax ^ 2 + 2bx + c $$

pour que, lorsquelle est épissée aux splines cubiques adjacentes à gauche et à droite, la fonction interpolée (le « dérivé zéro ») et sa première dérivée sont continues. Cela signifie quà la limite gauche dune spline donnée, les dérivées zéro et premières sont égal à ceux de la limite droite de la spline adjacente immédiatement à gauche.

Sans perte de généralité, nous pouvons supposer que nous interpolons entre $ x = 0 $ et $ x = 1 $ . Sur les limites gauche et droite, nous voyons que

$$ f (0) = d $$ $$ f (1) = a + b + c + d $$ $$ f « (0) = c $$ $$ f « (1) = 3a + 2b + c $$

Résolution des coefficients polynomiaux

$$ a = 2f (0) – 2f (1 ) + f « (0) + f » (1) $$ $$ b = -3f (0) + 3f (1) – 2f « (0) – f » (1) $$ $$ c = f « ( 0) $$ $$ d = f (0) $$

Considérons maintenant les quatre points autour de la région estimée, qui sont $ (- 1, y _ {- 1}) $, $ (0 , y_0) $, $ (1, y_1) $, $ (2, y_2) $, et imposer des conditions aux limites qui

$$ f (0) = y_0 $$ $$ f (1) = y_1 $$

et définissez les deux dérivées de frontière comme

$$ f « (0) = \ frac {y_1-y _ {- 1}} {2} $$ $$ f « (1) = \ frac {y_2-y_0} {2} $$

ce qui est cohérent avec la façon dont elles seront définies pour les splines adjacentes.

Alors

$$ a = – \ frac {y _ {- 1}} {2} + \ frac {3y_0} {2} – \ frac {3y_1} {2} + \ frac {y_2} {2} $$ $$ b = y _ {- 1} – \ frac {5y_0} {2} + 2y_1 – \ frac {y_2} {2} $$ $$ c = – \ frac {y _ {- 1}} {2} + \ frac {y_1} {2} $$ $$ d = y_0 $$

une fois que les coefficients sont connus, vous pouvez interpoler $ f (x) $ pour tout point entre les 2 points centraux, $ (0 , y_0) $ et $ (1, y_1) $.

Pour linterpolation bicubique, le principe est à peu près le même mais vous estimez une surface en utilisant 16 points (grille 4×4) plutôt quune simple courbe. Une façon simple de le faire est dinterpoler dabord les colonnes, puis dinterpoler les lignes résultantes.

Commentaires

• ce sont, BTW, également appelé Hermite polynômes.
• Je nai jamais compris ce quétait tout le tapage autour des splines hermites cubiques avant de lire cette réponse. Cest tellement génial, merci beaucoup!
• Lorsque vous faites une interpolation bilinéaire, vous faites une interpolation linéaire pour une variable, puis une interpolation linéaire pour lautre. Linterpolation bicubique est donc la même: faire une interpolation cubique pour une variable, puis une interpolation cubique pour lautre, non?