La loi de Biot-Savart est-elle obtenue empiriquement ou peut-elle être dérivée?

$ \ def \ VA {{\ bf A}} \ def \ VB {{\ bf B}} \ def \ VJ {{\ bf J}} \ def \ VE {{\ bf E}} \ def \ vr {{\ bf r}} $ La loi de Biot-Savart est une conséquence des équations de Maxwell.

Nous supposons Les équations de Maxwell et choisissez la jauge de Coulomb, $ \ nabla \ cdot \ VA = 0 $. Puis $$ \ nabla \ times \ VB = \ nabla \ times (\ nabla \ times \ VA) = \ nabla (\ nabla \ cdot \ VA) – \ nabla ^ 2 \ VA = – \ nabla ^ 2 \ VA. $ $ Mais $$ \ nabla \ times \ VB – \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {\ partial \ VE} {\ partial t} = \ mu_0 \ VJ. $$ En régime permanent, cela implique $$ \ nabla ^ 2 \ VA = – \ mu_0 \ VJ. $$ Ainsi, nous avons léquation de Poisson pour chaque composante de léquation ci-dessus. La solution est $$ \ VA (\ vr) = \ frac {\ mu_0} { 4 \ pi} \ int \ frac {\ VJ (\ vr « )} {| \ vr- \ vr » |} d ^ 3 r « . $$ Il ne nous reste plus quà calculer $ \ VB = \ nabla \ times \ VA $. Mais $$ \ nabla \ times \ frac {\ VJ (\ vr « )} {| \ vr- \ vr » |} = \ frac {\ VJ (\ vr « ) \ times (\ vr- \ vr »)} {| \ vr- \ vr « | ^ 3} $$ et donc $$ \ VB (\ vr) = \ frac {\ mu_0} {4 \ pi} \ int \ frac {\ VJ (\ vr ») \ times (\ vr- \ vr « )} {| \ vr- \ vr » | ^ 3} d ^ 3 r « . $$ Cest la loi de Biot-Savart pour un fil dépaisseur finie. Pour un fil fin, cela se réduit à $$ \ VB (\ vr) = \ frac {\ mu_0} {4 \ pi} \ int \ frac {I d {\ bf l} \ times (\ vr- \ vr « )} {| \ vr- \ vr « | ^ 3}. $$

Addendum : En mathématiques et en sciences, il est important de garder à lesprit la distinction entre le développement historique et le développement logique dun sujet. Connaître lhistoire dun sujet peut être utile pour se faire une idée des personnalités impliquées et parfois pour développer une intuition sur le sujet. La présentation logique du sujet est la la façon dont les praticiens le pensent. Il encapsule les idées principales de la manière la plus complète et la plus simple. De ce point de vue, lélectromagnétisme est létude des équations de Maxwell et de la loi de la force de Lorentz. Tout le reste est secondaire, y compris la loi Biot-Savart.

Commentaires

• Mais comment jai ‘ vu cela, Maxwell ‘ sont dérivées de la loi de biot-savart, qui ferait cette circulaire.
• @JLA: Jai ‘ ajouté quelque chose à adresser la  » circularité  » à laquelle vous faites référence.
• @JLA, il nest pas possible de dériver mathématiquement Maxwell ‘ de la loi de Biot Savart. Ce que les gens font parfois, cest déduire (arriver à) les équations de Maxwell ‘ à partir de la loi de Biot-Savart pour un cas spécifique comme les courants stationnaires, puis les généraliser à toutes les situations par mot.
• Par souci de clarté, les opérateurs différentiels sont appliqués sur $ {\ bf r} $ et non sur $ {\ bf r ‘} $, que ‘ comment ils sont échangés avec des intégrales sur $ {\ bf r ‘} $.
• @AG En effet, prendre la dérivée par rapport à $ {\ bf r ‘} $ na aucun sens.Nous avons $ \ nabla = \ sum \ hat e_i \ partial / \ partial x_i $, et non $ \ sum \ hat e_i \ partial / \ partial x ‘ _i $ (pour lequel je écrirait $ \ nabla ‘ $ ou quelque chose du genre).

Il est peut-être vrai que jadis, les gens mesuraient la force résultant dun courant filamentaire, découvrant la loi de Biot-Savart, puis sen servaient à leur tour comme source dinspiration pour construire les équations de Maxwell. comment cela sest réellement passé historiquement, très bien.

Mais cest analogue à un archéologue extraterrestre dans 10 millions dannées à trouver une main et un pied squelettiques dans la Terre. De la main, larchéologue en vient à comprendre ce que lanimal qui avait cette main aimait en faire: quil puisse saisir et utiliser des outils, etc. Du pied, larchéologue, il en vient à comprendre que lanimal auquel il appartenait marchait sur deux pattes et quil pesait généralement à lâge adulte entre 100 et 300 livres.

Ce nest que plus tard que larchéologue que la main et le le pied appartenait tous deux au même animal – un être humain. Mais la nature du travail signifie que lénigme de ce quétait un être humain doit être décomposée en morceaux qui peuvent être individuellement compris avant que limage entière puisse se rassembler. Cela dit, il serait inversé de suggérer que la main et le pied sont plus fondamentaux que lêtre humain lui-même.

Les équations de Maxwell ont été construites pour être cohérentes avec la loi de Biot-Savart et dautres informations , comme la loi de Coulomb. Ainsi, vous pouvez dériver Biot-Savart de Maxwell, mais pas linverse, car Maxwell est plus général et englobe tout.

Si vous savez déjà la loi de la force de Lorentz, vous pouvez déduire la force du champ magnétique dun fil simplement en tirant sur des particules de test chargées près du fil et en observant leur mouvement. Mais cela remet en question la façon dont vous connaissez déjà la loi de la force de Lorentz, et donc

Vous pouvez tourner en rond toute la journée sur ce qui est ou non fondamental, sur ce qui doit être basé sur une observation expérimentale et sur ce qui est simplement construit pour être cohérent avec ces observations, mais souvent il ya une préférence pour les observations expérimentales «simples» considérées comme des constructions fondamentales vs théoriques t ils incorporent de nombreuses observations de ce genre – voir le commentaire de Chris White selon lequel les équations de Maxwell peuvent être dérivées de la loi de Coulomb et dautres choses.

Pour moi, cest idiot. Les équations de Maxwell incorporent la somme totale de nos observations (celles qui correspondent au régime classique, au moins). Pour moi, cest cest ce que nous savons de lélectromagnétisme classique. Dire que vous pouvez dériver Maxwell  » s équation avec un seul résultat plus quelques hypothèses … eh bien, cela ne tient pas compte du fait que ces hypothèses aussi devaient être testées et vérifiées en premier lieu. Pour moi, il est très très arriéré de distinguer des cas particuliers (champs électriques purs, purs champs magnétiques, statiques ou dynamiques) et de les traiter comme « fondamentaux ».

Edit: mais vraiment, un physicien doit travailler dans les deux sens. Pour créer une nouvelle théorie, nous avons souvent des cas particuliers dont nous ne savons pas quils sont liés et que nous devons les relier. Cest la construction des équations de Maxwell à partir de la loi de Coulomb et de Biot-Savart. Pour analyser plus facilement un problème particulier, pour lequel nous ne sommes pas sûrs quil existe une formule de cas particulier, nous devons recourir à la description la plus générale (Maxwell) et essayer de le réduire à quelque chose de plus simple et de plus facile à résoudre (dans le cas dabsence de courant et de dépendance temporelle, vous pouvez revenir à la loi de Coulomb). Les deux approches sont nécessaires pour être aussi flexible que possible.

À partir dune expérience de type Rowland Ring, il est possible de définir perméabilité en tant que mesure du flux généré en volume unitaire par ampère-tour. Si nous supposons ensuite que ce flux se dissipe comme une loi carrée inverse, nous obtenons la loi de biot savart comme un analogue magique de la loi de Coulomb avec laddition du produit croisé en prenant soin de la perpendicularité de la direction du champ et strictement sur la compréhension que cest une hypothèse de travail validée par son utilité puisquun élément courant ne peut exister isolément du reste de son circuit. Mon conseil – Ignorez toutes les tentations de tomber dans plus de maths que le minimum nécessaire, cela vous mènera à la compréhension. Jespère que cela aide .

Veuillez suivre le lien suivant. https://en.wikipedia.org/wiki/Jean-Baptiste_Biot et veuillez aller à la rubrique « Travail ». Il est dit que la loi a été découverte expérimentalement en 1820, soit 45 ans avant la publication des équations de Maxwell. La formulation générale de la La loi Biot-Savart a été donnée par P. Laplace. Lexpression de la loi Biot-Savart (lintégration) montre que le pri Le principe de superposition y est déjà inclus.Les équations de Maxwell ont été développées plus tard et elles ont été conçues de manière appropriée pour englober les implications de la loi de Biot-Savart. Cest peut-être la raison pour laquelle nous pouvons dériver les équations de Maxwell de la loi de Biot-Savart et vice versa.

Veuillez accéder à ce lien https://en.wikipedia.org/wiki/Lorentz_force et accéder à la section « Historique ». Il est indiqué dans en 1881, soit 16 ans après la publication des équations de Maxwell, Thomson a dabord dérivé une forme de loi de force de Lorentz à partir des équations de Maxwell. Enfin la forme moderne de loi de force de Lorentz a été dérivée par Lorentz en 1892 des équations de Maxwell. p> Donc la séquence historique est comme ceci:

Loi de Biot-Savart ==> Équations de Maxwell ==> Loi de force de Lorentz.

Mais dans les salles de classe, nous sommes enseigné dans lordre suivant:

Premièrement: La loi de la force de Lorentz, pour introduire le concept selon lequel le champ magnétique exerce une force sur une charge en mouvement.

Deuxièmement: La loi de Biot-Savart, pour introduire le concept que le cha en mouvement Les rges produisent un champ magnétique.

Troisièmement: les équations de Maxwell; la généralisation de toutes les observations expérimentales en électromagnétisme.

Donc la conclusion est:

(1) La loi de Biot-Savart est une loi observée expérimentalement. Cette loi inclut également lidée ce principe de superposition est également valable en magnétostatique. Cette loi a fourni la base de la magnétostatique.

(2) Les équations de Maxwell ont été dérivées de manière à englober les résultats de la loi de Biot-Savart ( ainsi que dautres observations expérimentales de lélectromagnétisme). Cest une généralisation théorique. Les équations de Maxwell sont plus fondamentales que toute autre observation expérimentale parce que les expériences sont généralement effectuées dans certaines circonstances et ne peuvent donc pas donner une information généralisée.

(3) La loi de la force de Lorentz a été dérivée des équations de Maxwell mais peut être directement vérifié expérimentalement.

NOTE

« Observation puis généralisation »: je pense que cest ainsi que se développe la physique. Lobservation (expérience) établit toujours le fondement. La généralisation englobe lobservation et étend son utilisabilité à dautres configurations, cas et circonstances imaginables. Par conséquent, il est toujours possible de dériver une généralisation à partir de lobservation et vice versa [La loi de Biot-Savart peut être dérivée des équations de Maxwell et les équations de Maxwell peuvent être dérivées de la loi de Biot-Savart ] .

Ici, il est souligné que la loi de Biot-Savart est lobservation importante qui a commencé le domaine de la magnétostatique. Les équations de Maxwell (généralisation) et le concept de potentiel vectoriel (une propriété générale du champ vectoriel) peuvent être utilisés dériver la loi de Biot-Savart mais cela ne signifie pas que la loi nest quune étape intermédiaire dans le développement des connaissances en matière de magnétostatique. Quil est possible de dériver la loi de Biot-Savart des équations de Maxwell et que le concept de potentiel vectoriel certifie seulement que la généralisation dans les équations de Maxwell est correcte.

Commentaires

• Mais le PO ne demandait pas lordre historique des événements.

Nous devons regarder la chronologie (lhistorique). La loi Biot-Savart a été publiée avant la publication des équations de Maxwell. Cest donc la loi de Gauss pour les champs magnétiques (la deuxième équation de Maxwell) qui est dérivée de la loi de Biot-Savart et non linverse. La dérivation de la loi de Gauss pour les champs magnétiques (la deuxième équation de Maxwell ) de la loi Biot-Savart peut être lu ici Loi de Gauss pour les champs magnétiques

Le problème avec la loi de Biot-Savart est quelle est théoriquement formulée en termes de courant éléments $ Idl $ puis intégrés. Mais dans la plupart des manuels, il est également formulé pour les frais de POINT, en termes de $ qv $ . Le problème ici est que lorsquune charge ponctuelle $ q $ se déplace avec une vitesse $ v $ , le champ magnétique dans espaces proches CHANGEMENTS avec le temps, cest-à-dire que nous avons un $ \ frac {dB} {dt} $ , puis des effets dinduction se produisent et la condition magnétostatique est violée. En revanche, lorsque $ Idl $ est intégré le long dun fil continu, le champ $ B $ est constant, (magnétostatique ). Les deux situations sont très différentes et à ma connaissance, le champ de charge ponctuelle $ B $ na jamais été mesuré directement. La Force sur $ qv $ , oui, mais pas le champ produit par $ qv $ .